Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Для линейной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами = пмхд+Омхз+ ° . +о1ихл+)г (1)э Ых~ Нх~ — = амх,+амх,+ ... +аз„х„+(з(1), (13) ахи — „" =-а„,х,+а„,х,+ ... +а,„х„+)„Я матрица из коэффициентов этой системы числовая и векторная запись ее имеет вид — = Ах+ д(1). (! 4) Методы исследования и способы решения дифференциальных уравнений с помощью теории матриц рассмотрены в четвертой главе. 2. Примеры векторной записи дифференциальных уравнений автоматических систем.
Векторная запись дифференциальных уравнений широко используется в теории автоматического регулирования. 1, Пусть звено системы автоматического регулирования описывается дифференциальным уравнением Та — „;+ 2$Т вЂ” + х=К)(!), (15) Получим систему двух дифференциальных уравнений первого порядка, эквивалентных уравнению (15): М вЂ” =х, в'! вхе 1 2к К вЂ” ' = — — х,— — х,+- — ! (!). л! т т т (18) При этом матрица (19) а векторы х и Т"(1) будут иметь вид (20) 2, На рис. 2 приведена структурная схема системы автоматического регулирования, рассмотренной в $ 15, где передаточные е' Определение передаточной функции си. в 1 !З.
2 п. р. Чемоданова. х. 3 здесь Т и $ — параметры звена; х — сигнал на выходе звена; 7(!) — сигнал на входе звена. Этому дифференциальному уравне- нию соответствует передаточная функция "! колебательного звена К МР) тар +2стр+ ! ' (15) где р — символ дифференцирования. Рис. ! В теории автоматического регулирова- ния условно принято представлять диффе- ренциальные уравнения графически в виде структурных схем, где передаточная функция звена записывается в прямоугольнике, а стрелками, входящими и выходящими из этого прямоуголь- ника, обозначаются входной и выходной сигналы (рис.
1), Перейдем к векторной записи вида (12) дифференциального уравнения (15). Обозначим в'х Пх, к=х,, — -= — =х,. пу пг (17) функции Ю',(р), 11(р) и 2(р) соответственно равны: о( ) = Р(Рт+1 2Р+ !) !О 02Р+ !) (21) г1(Р)= 0 ! ! л(Р)=10Р ° На структурной схеме кружками условно обозначена операция алгебраического суммирования соответствующих переменных системы, причем зачерненный сектор обозначает операцию вычитания, а светлый — сложения. Переменные системы обозначены буквами х, г, у, е, и, а выходной сигнал д(1). Надо найти дифференциальное уравнение этой системы, записанное в векторном виде. Рис. 2 Рассматриваемой автоматической системе соответствует система дифференциальных уравнений, записанных в операторном виде: (0,02р'+ 1,024р'+ 1,22р'+ р) х = 4г, у =- 1Ор'х, (22) е=-д — х, (0,1р+1) и =(50р+1) е, г=у — и.
Исключая из этой системы уравнений переменные г, у, е и и, получаем (0,002р'+ 0,1224рэ+ 5,146рз+ 41,32рз+ 20! р+ 200) х = = 200 (р+ П д. (23) Оператор р соответствует операции дифференцирования, поэтому в обычной форме записи дифференциальное уравнение (23) имеет вид 0,002 ~, + 0,1224 ~ — + 5,145 '), + 41,32 '~, + 201 — — + 200х = — 200 (--'„'-!! +у(1Д.
(24) Введем обозначения: ЙЪ = — =х 31 г1хз г11 з — =х. <Рх Ыгз = Хз йгз иг сРх и1з кзх г1зз г1Х ихз — = — = Хм И= Ш х=х,, (25) Векторная запись дифференциального уравнения (24) в этом случае будет иметь вид д —— Ах+ Су ((), (2б) где 0 0 0 1 0 0 х, 201 0,002 0,1224 0,002 200 0,002 С =10-410 0 0 1 1], 3. Векторная запись уравнений особенно удобна при исследовании систем автоматического регулирования, в которых имеется й 'г-.
'и хг хг Рис. 3 несколько регулируемых величин, причем изменение одной из них вызывает изменение других. Такие системы нззываются системами многосвязного регулирования. Общий вид многосвязной системы автоматического регулирования приведен на рис. 3. Эта система состоит из объекта регулирования и регулятора. К объекту приложены п возмущающих воздействий 1„1„..., )„. Задача регулирования состоит в том, чтобы обеспечить возможно меньшее отклонение значений регулируемых координат х„х„..., х„ сч управляющих воздействий до д„..., д„. Рассмотрим более подробно двухканальную систему регулирования, показанную на рис.
4. Здесь введены следующие обознаЧения: х,(1=1, 2) — 1-я координата объекта; иг(1=1, 2) — упра- 35 0 1 0 0 41,32 0,002 0 0 1 0 5,146 0,002 вляющее воздействие для регулируемой координаты 1-го объекта; ),(1=1, 2) — возмущающее Воздействие по каналу 1; е,=д,— х, (1 = 1, 2) — отклонение координаты объекта от управляющего воздействия; Р, (р) — передаточная .функция регулятора по каналу 1 (1 = 1, 2); К 1Р) — передаточная функция объекта регулирования по каналу 1 (1 = — 1, 2); г, (р) — передаточная функция влияния отклонения 1 регулируемой координаты объекта от управляющего воздействия на канал 1 (1=1, 2); аи(р) — передаточная функция влияния регулируемой координаты)объекта на канал ~' (1, ) =-1, 2); [)ц(Р) — пеРедаточнаЯ фУнкциЯ влиЯниЯ возмУщениа по каналУ 1 на канал 1 (1=1, 2).
Рис. 4 Рассматриваемой двухсвязной системе автоматического регулирования соответствует следующая система уравнений, записанных в операторном виде: х, (г) = К, (р) [Г, (р) [(д, (Г) — х, (1)+гы (р) (д, (г) — х, (1)))в — а (Р)х (1)+1 (Р)6(0+1 (р)Ь(1)), (27) хз (1) = Из (Р) (1'а (Р) [(кз(1) — хз (1)+Го (Р) (к1(Г) х1 (1)Ц вЂ” а,1 (р) х, (1) + [)„(р) [, (1) + рз, (р) ~, И) ). Полученную систему уравнений приведем к виду [1+ )Р', (р) У, (р)1 х, (1) + Ф, (р) Г, (р) гм (р) х, (1) + + В'~ (Р) аи (Р) хз (г) = иг1 (Р) 1'1 (Р) 81 (г) + ~'1 (Р) 1'~ (Р) гы (р) Ыз (г) + +В'(Р) [)ы(Р)1аИ)+)Р (Р) 1 (Р) 6(~) (28) [1 -1- Я7 (р) ~l (р)1 х~ (1) + Уз (р) $~з (р) гм (р) х1 (Г) + + В' (Р) а (р) х (1) - (р' (Р) 1' (р) а. (1)+ В' (Р) ~'~ (Р) (р) 81 (1)+ + В з (Р) [)аг (Р) 6 (О + )ра (Р) [)зз (Р) 6 (1) 36 Введем обозначения: ам (Р) = 1+ )г1 (Р) 11 (Р). ам (Р) = 1 + (гз (Р) 1 з (Р). ам(Р) = Ю~ (Р) [1'1(Р) сы(Р)+ам(Р)1, а21 (Р) Ю 2 (р) [1 2 (Р) см (Р)+ ~~21 (р)1 Ьм (Р) ~~ г (Р) ~м (Р) Ьы (Р) 1 1 (Р) М1 (Р) г Ь„(р) = Я7, (р) ()ц, (р), Ь„(р) = йт, (р) ()„(р), с„(р) = К,(р) $/1(р), с„(р) = Я7з(р) $'1(р) см(р), сы (Р) %1 (Р) 1 1(Р) IЫ (Р) См (Р) )р2 (Р) 1 2 (Р) (29) С учетом новых обозначений система уравнений (28) примет вид ам (р) х1 (г)+ а„(р) х, (1) = с„(р) д, (г)+сы (р) д, (г) + + Ьм (Р) У1)+ Ь„(р) У1), ам(Р) хз(г)+ам(Р) х1 (г) =см(Р)йз (г)+см(Р)В1(г) + + Ьм (Р) ~1 ( ) + Ь22 (р) ~2 (1) ° или ~х~ ал (р) х~ (М) =,У, сц (р) а; (1) + ~ Ьп (р) ~» (~) (1 = 1, 2).
(ЗЦ Рассмотрим матрицы А(р) = [ам (р) а„(р)1 [Ьм (р) Ь„(р) ', В(р)-" а„(р) а„(р)~ Ьм (р) Ь„(р) ' [с„(р) с„(р)1 С(г)=Г,,И, „! и векторы (32) А (р) х (г) =С(р) й'(У)+В(р)у(с). (33) В эквивалентности уравнений (33) и (31) легко убедиться, записывая матрицы А, В, С и векторы х, а; у в развернутом виде и выполняя указанные в векторном уравнении (ЗЗ) действия, В случае многосвязной системы с п регулируемыми координатами матричное уравнение этой системы будет аналогично уравнению (33), но только матрицы будут иметь размер и х а, а векторы — размер ах 1.
Рассмотренная матричная запись уравнений, описывающих динамику многосвязной системы автомати- Используя введенные обозначения, систему уравнений (31), опи- сывающих динамику двухсвязиой системы, можно записать в век- торном виде: ческого регулирования, весьма удобна, так как сокращает объем записи и делает результаты более обозримыми, что в ряде случаев облегчает решение задач анализа и синтеза многосвязных автоматических систем. 3. Свойства Л-матриц. Важным частным случаем функциональных матриц являются так называемые Л-матрицы.
Матрица, элементы которой есть многочлены от переменного Л, называется Л-л!атрицей. Рассмотрим некоторые вопросы теории Л-матриц. Введем понятие элементарных матриц. Элементарной матрицей первого типа называется матрица Еи(а), полученная из единичной матрицы заменой единицы в (-й строке на число а (в общем случае комплексное), т. е. — о о ... о ...
о— о ! о ... о ... о Еи (и) = (34) (-строка. О О О ... а ... О О О О ... О ... ! [Ьстол бец Обозначим Ец((чь[) квадратную матрицу, у которой элемент, расположенный в (-й строке и [цм столбце, равен единице, а все остальные элементы — нули: О О ...
О ... О О О ... О ... О (35) 1-строка О О ... ! ... О О О ... О ... О [Рстолбец Элел)ентарной лтатрицей второго типа называется матрица вида 1 О ... О ... О ... О О 1 ... О ... О ... О (-строка, (%) Е+ср(Л) Еи= о о ... ! ... р (М ... о О О ... О ... О ... ! [Ьстолбец /-столбец где у(Л) — некоторый многочлен. Матрица второго типа получается суммированием единичной матрицы с матрицей, получаемой умножением функции ср(Л) на матрицу Ец, элемент которой, стоящий в 1-й строке и /-м столбце, равен единице, причем (~ !', а все остальные элементы — нули, 1Е+ <р (Л) Е,ф Š— ч (Л) Еп) = = ЕЕ+ ср (Л) ЕпŠ— ср (Л) ЕЕ» — «р» (Л) ЕцЕа = Е, так как ЕпЕп=О.
Аналогично имеем (Š— «р(Л)ЕпИЕ+ с(Л) Е;,1=Е. й Назовем элементарными преобразованиями матриц следуюшие действия: умножение какой-либо строки матрицы на некоторое число; умножение какого-либо столбца матрицы на некоторое число; суммирование одной из строк матрицы с другой ее строкой, умноженной на произвольный многочлен от Л, суммирование одного из столбцов матрицы с другим'ее столбцом, умноженным на произвольный мпогочлен от Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
