Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Эти преобразования будем обозначать соответственно 1„ 1„, 11„ П„. Элементарные преобразования матриц сводятся к умножению матриц на элементарные матрицы. В самом деле, умножим матрицу А слева на элементарную матрицу первого типа: 1 О ... О ... О О ! ... О ... О а„а„...
а,„ а„а,« . а,„ а»» а»» ... аь« а„а„... а,„ аа аа ° .. аы аап аа~» ... ааы гстрока О О ... а ... О О О ... О ... ! а„, а„, ... а„„ а»а а„, ... а„„ Ьсголбеи (37) Таким образом, элементарное преобразование 1„над матрицей А эквивалентно умножению матрицы А на элементарную матрицу первого типа слева. И Аналогично можно показать, что элементарное преобразование 1„ матрицы А эквивалентно умножению матрицы А справа иа элементарную матрицу первого типа. Индексы «л» и «п» В названных выше преобразованиях связаны с умножением матрицы А на элементарную матрицу слева или справа. Покажем теперь, что умножение матрицы А на элементарную матрицу второго типа слева эквивалентно элементарному преобразованию Теорема 1. Для элементарных матриц суи(ествуют обратные матрицы, которые также являются элементарными.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Для элементарных матриц первого типа теорема очевидна. Действительно, легко проверить, что элементарная матрица первого типа Еи(а-') обратна матрице Еи (а). Элементарная матрица второго типа Š— гр(Л) Е, — обратная для матрицы Е+<р(Л) Еп. В самом деле, П, над матрицей А. Выполним умножение: (Е+ ур (Л) Ен) А = А + ср (Л) Еуу.А = О ... О ...
О О ... О .:. О аы а12 ... ауа а11 а12 ... ап П21 О22 ' П22 аы а22 ... аа» = А + ср (Л) 1'- строка О ... 1 ... О ауу ау, ... ау„ пп пм °" аы а„, а„, ... а„„а„, аа, ... ааа О ... О ... О О О ... О О О ... О + ур(Л) утстрока а;, а;, ... ау„ О О ... О ам а12 П1» а21 П2 ° (38) пу1+ ср (Л) ууу1 пу2+ р (Л) пу2 ° ° ° пууа+ ср (Л) йу~ ака П21 Паа Точно так же можно показать, что умножение матрицы А справа на элементарную матрицу второго типа эквивалентно элементарному преобразованию 11„над матрицей А. Покажем, что перемена мест двух строк матрицы А может быть осуществлена конечным числом элементарных преобразований, В самом деле, прибавим к уьй строке матрицы А ее уью строку, получим матрицу А1; затем от уьй строки матрицы А1 отнимем ее уью строку, получим матрицу А,.
К у-й строке матрицы А, прибавим ее 1-ю строку, получим матрицу А,, Окончательно: 1-ю строку матрицы А, умножим на минус единицу, в результате получим матрицу А„причем А, получается из матрицы А переменой местами 1 и 1 ее строк. Приведенные выше действия над матрицей А можно записать с помощью элементарных матриц: А, = Еу; ( — !) (Е+ ЕД (Š— Еу,ЦЕ+ ЕуД А. (39) Аналогично перемена местами двух столбцов матрицы А может быть выполнена с помощью следующих четырех элементарных преобразований: Ва = А (Е+ ЕуфŠ— ЕууЦЕ+ ЕуД Ец ( — 1). С элементарными матрицами связано понятие эквивалентности матриц. Две Л-матрицы А и В называются экаиваленупмыми, 'если от одной из них к другой можно перейтн путем конечного числа элементарных преобразований, Эквивалентность обозначают так: А с~э В.
Понятие эквивалентности матриц обладает свойством симметрии, т. е. если матрица А эквивалентна матрице В, то и матрица В эквивалентна матрице А. В самом деле, из условия эквивалентности матриц А и В имеем А = Р„... Р~ВК... Я~, (40) где Р„..., Р„и 1е„..., (е'„— элементарные матрицы. В силу того, что элементарные матрицы имеют обратные матрицы, которые также являются элементарными, получим В = Р ... Р„'АЩ ... К,*, т. е, матрица В эквивалентна матрице А.
Ь Аналогично доказывается и транзитивность свойства эквивалентности матриц, т. е. если матрица А эквивалентна матрице В, а матрица В эквивалентна матрице С; то матрица А эквивалентна матрице С. Канонической матрицей называется такая диагональная Л-матрица, у которой каждый многочлен е; (Л), расположенный на главной диагонали, делится на предыдущий (при этом будем полагать, что делить ноль на ноль можно), причем если е~ (Л) ФО, то коэффициент при старшей степени Л равен единице. Например, единичная матрица Е является канонической. Матрица 1 0 0 0 00' ОЛ вЂ” 1 0 0 00 0 0 Л вЂ” 1 0 00 0 0 0 (Л вЂ” 1)вОО 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 также будет канонической.
Теорема 2. Всякая Л-матр~ща конечным числом элементарных преобразований может быть приведена к. диагональному каноничеосому виду, Доказательство. Пусть А — некоторая Л-матрица. Рассмотрим множество матриц, эквивалентных матрице А. Среди этого множества выберем матрицу В, у которой в левом верхнем углу расположен многочлен, имеющий наименьшую степень.
Пусть Ь„Ь„... Ьгк В Ьи Ьм ° ° ° Ьгк (41) Ь„, Ь„, ... Ь„„ Покажем, что в матрице В все элементы верхней строки делятся на Ьпь Допустим противное: предположим, что Ьм не делится на Ьн т е. Ьи(Л)=Ьы(Л)ч(Л)+с(Л), где с(Л)чьО и степень многочлена с(Л) меньше степени Ь„(Л), Матрицу В подвергнем элементарным преобразованиям: из 1-го столбца вычтем первый стол- 41 бец, умноженный на с (Л); в полученной матрице поменяем местами первый и Ьй столбцы. В результате получим матрицу, эквивалентную матрице А, у которой многочлен, расположенный в левом верхнем углу, имеет меньшую степень, чем многочлен Ь„(Л). Полученное противоречие показывает, что все многочлены первой строки делятся на Ььь Аналогично можно показать, что все многочлены первого столбца делятся на Ььь В результате можно записать: Ь„=СЬЬм, Ьп — — гЬЬы (С у =2, 3, ..., и).
Умножая первый столбец на с, и вычитая результат из (-го столбца, получаем на месте элемента Ьп ноль. Аналогичные элементарные преобразования выполним над строками. Таким образом, матрица В эквивалентна Л-матрице, у которой, за исключением Ь„(Л), все элементы первой строки и первого столбца — нули, т. е. Ь„О О ...О слл Сы ° . Сил (Ьы: О ) ~О 'С~=В' 0 Слл Слз .. Слл Покажем теперь, что все элементы матрицы С делятся на Ь„(Л). Предположим, что сп(Л) (1, 1'=1, 2, ..., и) не делится на Ьпь т. е. с;;(Л) =Ь„(Л) с)(Л)+г(Л) и степень многочлена г(Л) меньше степени многочлена Ьы(Л) (г(Л) ~О).
С помощью конечного числа элементарных преобразований от матрицы В, перейдем к эквивалентной ее матрице, у которой в левом верхнем углу стоят многочлены степени меньшей, чем Ьы(Л). Это можно сделать, например, если прибавить к Ьй строке матрицы В, первую и вычесть из (ьго столбца полученной матрицы ее первый столбец, умноженный на с(Л), а затем поменять местами сначала первый и у'-й столбец, а потом первую и (-ю строки в получаемых матрицах, Но, по предположению, многочлен Ь„(Л) есть многочлен наименьшей степени; — получили противоречие, Таким образом, все элементы матрицы С делятся на Ь„(Л). Над матрицей С=(с; (Л)1 будем проводить элементарные преобразования, аналогичнйе проводимым выше преобразованиям над матрицей В, такие, чтобы в левом верхнем ее углу получить многочлен наименьшей степени, При этом все элементы преобразованной матрицы по-прежнему будут делиться на элемент Ь„(Л).
Прлучим, что матрица В эквивалентна матрице -Ь„О О... О— 0 сгл 0 ... 0 О О г(лл ... с(л„ 0 0 Аа ... С(лл причем все элементы матрицы Р=[4Д будут делиться на элементы Ь„(Л) и с„(Л). Далее такой процесс элементарных преоб- разований будем повторять над матрицей Х> до тех пор, пока не получим нулевую матрицу, в которой нельзя найти многочлен наименьшей степени, или в результате преобразований получим окончательно матрицу 1оазмера 1х1. Таким образом, построим диагональную матрицу * К вида К= бган (Ьтт сзз г(зз... О О... О] или К= с)1ад (Ь»т сзз... гэл], (42) Из построения следует, что матрица К имеет канонический вид, причем от матрицы А мы перешли к матрице К путем конечного числа элементарных преобразований, следовательно, АсзлК. И Теорема 3.
Для энвивалентпьгх матриц А и В наиболыиие общие делители миноров й-го порядка (lг.= 1, 2, ..., п) совпадают. Доказательство. Обозначим наибольший общий делитель миноров й-го порядка матрицы А через дю а матрицы  — через с(». Тан как от матрицы А к матрице В можно перейти с помощью конечного числа элементарных преобразований, то достаточно показать, что с(»=г]» при одном элементарном преобразовании.
Пусть матрица А подвергается элементарному преобразованиго 1, (т. е. г-я строка умножается на число а~О) и ̻— минор й-го порядка матрицы А. Обозначим М» минор й-го порядка преобразований матрицы В. Возможны два случая: а) гня строка не проходит через минор Мю тогда М»=М» и М делится на с(»; б) 1-строка матрицы А проходит через минор М», тогда в силу свойства определителей 5 М»=сгМ» и минор М» делится на »1», следовательно, с(» — общий делитель миноров й-го порядка матрицы В, поэтому с]» делится на с(». От матрицы В к матрице А можно танже перейти с помощью элементарного преобразования 1,.
Повторяя дословно все рассуждения, получаем, что с(» делится на 3», Учитывая, что, по определению, коэффициенты при старших членах наибольших общих делителей с(» и г(» равны единице, имеем г(» =-с(». Пусть теперь матрица А подвергнута элементарному преобразованию П„т. е, к ее г'-й строке прибавлена )ня страна, умноженная на многочлеи ср(Х). Возможны три случая: а) в миноре М» отсутствует 1-я строка, тогда М,=М» и М» делится на г1», б) в минор М» входят 1-я и у-я страни матрицы А, тогда в силу свойства определителей 8 М»=М» и минор М» делится на д„; в) через минор М» проходит 1-я строка и не проходит 1.»г строка' матрицы А, в этом случае в силу свойства 7 определителей имеем Й»=М»+гр(Х) М», где М» — минор й-го порядка матрицы А, полученный из минора М» путем замены 1-й строки на соответствующие элементы /-й строки матрицы А. Миноры М» ю диагональной латрицеа называется кнэдрзтнзя матрица, нз главной изгоняли которой стоят элементы о»о» ...
ои, э остальные элементы †ну. изгонэльнзя матрица обозначается следующим образом: гпзй 1вгвз ". в»1. и Ма делятся на йа, следовательно, и минор т«(а делится на йм Во всех трех случаях с(„является общим делителем миноров Ма матрицы В и, следовательно, йа делится на с(а. От матрицы В к матрице А также можно перейти с помощью элементарного преобразования П„. Поэтому с(а делится на Йм следовательно, как и в предыдущем случае, па=да. Аналогично можно показать, что да=да и при элементарных преобразованиях 1„и П„. ° Следствие. Канонический вид матрицы А единствен. Пусть матрица А имеет канонический вид А счоК= й)ап'(е! (Л) е,(Л) ... е„(Л)).
(43) Рассмотрим некоторый минор й-го порядка матрицы К. Этот минор равен либо нулю, либо произведению й диагональных элементов матрицы К: М„=е! е! ... е!, причем будем считать, что тт( (е(... ( тю Рассмотрим произведение П =е,е,... еа. В силу свойства канонической матрицы К многочлен е„(Л) делится на многочлен е,(Л), где в(т„и, следовательно, минор Ма делится на П, Таким образом, многочлен П есть общий делитель миноров й-го порядка матрицы К. Но среди миноров й-го порядка есть и минор М„=П.
Следовательно, наиболыпим общим'делителем миноров й-го порядка матрицы К будет многочлен йа (Л) = П е! (Л). (44) 1=1 Допустим, что матрица А имеет ранг «, тогда все ее миноры начиная с порядка «+1 равны нулю. Следовательно, й„=О для й-:«+1. Из выражения (44) следует, что е,(Л) =с(т(Л), (Л) 4Р) е+т(Л)=О, =.д(л) (45) е„(Л) = О. г-а( ) Все диагональные элементы канонической матрицы единственным образом выражаются через наибольшие общие делители миноров матрицы А. В силу теоремы 3 наибольшие общие делители миноров матрицы А не меняются при элементарных преобразованиях„ поэтому вид канонической матрицы К пе зависит от способа перехода к ней от матрицы А, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
