Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Матрицей, обратной по отношению к квадратной матрице А размера пхн, назовем такую матрицу А г того же размера, для которой справедливы соотношения АА '= А 'А=Е. (14) Матрица А, составленная из алгебраических дополнений транспонировапиой матрицы А', называется взаимной (присоединенной) матрицей относительно А, т, е, если (15) Следующая теорема устанавливает единственность обратной матрицы, Теорема 6. Если для данной квадратной матрицы размера пхп существует обратная матрица, то она является единственной. Дока з а тельство. Предположим, что для матрицы А существуют две обратные матрицы А' н А,. Тогда по определению обратной матрицы имеем: АА '= А 'А =Е, АА,= А,А =- = Е. Умножив последнее равенство слева на А ', получим А ' (А А1) = А 'Е.
Воспользовавшись сочетательным законом умножения матриц и определением единичной матрицы, имеем А '(АА1)=(А 'А) А1= ЕА,= А,= А 'Е= А ', т.е. А1 —— А'. И Квадратная матрица называется вырожденной или особой, если ее определитель равен нулю.
В противном случае квадратная матрица называется невырожденной или неособой. Установим теперь, при каких условиях обратная матрица существуег. Предварительно докажем теорему об определителе произведения двух матриц. Теорема 7. Если А и В в две квадратные матрицы размера и хи, то определитель их произведения равен произведению определителей, т. е. (1б) ~ АВ1=~ А) ~В~. Доказательство. Пусть даны матрицы А и В: и произведение их АВ: АВ-~: где с1;=,),' а1ВЬьг (1, /=1, 2, ..., п). (17) Рассмотрим определитель произведения этих матриц: '~, огВЬВ1 ... ~", и1ВЬВВ Сы ...
СВВ )АВ~ = СВ1 ° СВВ ~" а„ВЬм " ~А а„ВЬВ„ Согласно свойству определителей 7, если элементы некоторой строки определителя являются суммами, то его можно представить в виде суммы определителей. Вынося общие множители 26 строк за знак определителя, получаем сумму и" определителей: а,»,Ь»а ... а»,Ь»,„ ~ АВ',= а„» Ь», ... а» Ь» „ Ь „ ... Ь, ам а,» ...
ап» "Ь ...Ь л~ ' »л Переставим в определителе, стоящем под знаком суммы, строки так, чтобы первые индексы элементов в каждом столбце шли в порядке возрастания номеров. Тогда,-согласно свойству определителя 3, получим 1Ь„... Ь,„~ ! АВ! = ~ ( — 1)'а»»,а,» ... а„, ь»'" л "1Ь'„, ... Ь„~' где 1=[й1й» ... й„1. Вынося определитель Ьм ... Ь,„ В= ь'., ь„„) за знак суммы и пользуясь равенством (7), получим ~АВ~=~В~,У, ( — 1)'а»»»а»», ... а„» =1В~~А~=!А1!В~.
° »1»» "' »л Доказанную теорему можно по индукции распространить на произведение нескольких матриц. Из теоремы, в частности, следует, что произведение двух или нескольких матриц размера пха только тогда является вырожденной матрицей, когда по крайней мере один из сомножителей — вырожденная матрица. Перейдем к рассмотрению теоремы о существовании обратной матрицы, Теорема 8.
Для данной квадратной матрицы А тогда и только тогда суи1естэует обратная матраца А ', когда эта матрица неэырождгнная. Доказательство. Составим матрицу А, взаимную относительно А, и найдем произведение: АА=[Ь|Д (1, 1=1, 2, ...,и). (18) По определению операции умножения матриц имеем Ь„= ааАт»+ амА~»+ ." +а~ Ат . (19) Из равенства (10) и (12) следует, что ~А~ при 1= г', Ьи= 0 при т. е. ~ А ~ О ... О О ! А ! ... О 1А~ Е. (2О) О О ...~А Подобным же образом можно доказать, что АА = ~ А1Е. Так как, по условию, ~ А ~ ~' О, то, умножая обе части последних 1 двух равенств на †, имеем (А! ' < ~> (АА)=4(> ~< А)=Е, л (АА) =( л > А) А=Е.
Полученные выражения показывают, что для невырожденной матрицы А существует обратная матрица А' — А А (А( Пусть теперь матрица А — вырожденная, т. е. ~ А ! =О. Предположим, что и в этом случае существует обратная матрица А '. Тогда АА '=Е. Но )В~~О, т. е.
Š— невырожденная матрица. Из замечания к теореме 7 следует, что последнее равенство справедливо только тогда, когда 4 и А ' — невырожденные матрицы, Однако, по предположению, матрица А — вырожденная, Полученное противоречие доказывает, что для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует.
° Прн преобразованиях матриц часто приходится определять обратную матрипу (АВ)' '. Покажем справедливость равенства (АВ)'= В 'А ' (22) где А и  — квадратные матрицы размера пхп. Для этого нужно доказать, что (В 'А ')(АВ)=(АВ)(В 'А ') =Е. Пользуясь свойством ассоциативности умножения матриц, имеем: (В 'А 1) ( АВ) = В 1 (А 1А) В =. В 'ЕВ = В 'В = Е, (А В) (В 'А ') = А (ВВ ') А ' = А ЕА ' = А А ' = Е т. е. равенство (22) справедливо. ° В заключение введем два новых определения.
Целой положительной степенью кеодратной матрицы А называется матрица А", равная произведению и матриц А: А' АА...А. (23) Целой отрицательной степенью квадратной матрицы А называется матрица А ", равная произведению и матриц, обратных матрице А: А"=А'Ат .. А '. й 3. ПОНЯТИЮ О ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ МАТРИЦАХ !. Функциональные матрицы. Векторная запись дифференциальных уравнений. При решении ряда задач удобно ввести матрицы, элементы которых являются функциями независимого переменного 1..(В большинстве технических задач под буквой 1 понимают время.) Эти матрицы имеют вид а„ (1) аы (1) ...
а„„ (1) А (1) = '~ ( ) " ( ) " ' ~" ( ) = !ЕЕЦ (1)! (1) ате (1) а (1) " а (1) и называются функциональными матрицами. Введенные выше операции сложения, умножения, определения обратной матрицы для числовых матриц полностью распространяются на функциональные матрицы. Введем несколько определений.
Пределом маеприци А (1) при стремлении независимой переменной 1 к 1, называется матрица А(1<), элементы которой есть пределы элементов матрицы А (1) при 1-~- 1ь (если они существуют), т. е. Ив ап(1) !пп аы(1) ... Ив а,„(1)' Е Е, ' Е Е, Е-Н 1пп а„(1) Ив ам (1) ... Ив а,„(1) = ~ Иваее(1)). (2) !пп А (1)= Ею Е-Ее 1пп а е (1) 1пп а , (1) ... 1пп а „ (1) Ее Произеодной матрицы А (1) по независимому переменному называется матрица А(1) вида еаи (Е) Ла, (Е) Ла,„(Е) аЕ ''' аЕ ла„ (е) ла., у) ьч.
(е) г „.„ (В т ее ле ' " ее = ~ 'е ~. (з) =3. ее А (1) = Еащ, (Е) Еан2 (Е) лад,„(Е) Йе ш '" ее Правила дифференцирования функциональных матриц Для вычисления производных пользуются следующими пра. вилами дифференцирования матриц: 1. Производная суммы матриц равна сумме произеодных этих митрием, т.
е. (4) В самом деле, имеем [А (!)+В(1Ц= — „! ([а||(|Ц+[Ь! (|Ц) = — [а; (!)+Ь|| ((Ц= за||(!) ль|| (!) 1 [ еац (!) 1 [ льу (!) ) ИА (!) нВ (!) -[ л! + л! 1 [ л! ) + [ л! ] в! + л! 2. Постоянный ч еловой множитель можно выносить за знак дифференцирования, т. е. — „„(с!А (()) = а (5) Действительно, — (с!А (()) = — „— (сс [ау ((Ц) = -„— „- [аа, ((Ц = и л |! 3. Производная произведения двух матриц равна сумме произведений первой матрицы на производную от второй матрицы и производной первой матрицы на вторую, т. е. и „, В,), лву) лд(!) По правилу умножения матриц получим || || — 'ь||||В||||-л[~ „,||!!„|||]= л .'-|~,||!!и||||]= ь=! ь=! л || ь=! ).ь=! = А (() ( + — „( В(!).
° 4. Производная обратной матрицы вычисляется по формуле — -А |(!)= — А |(!) — „( А |((). (!) По определению обратной матрицы имеем А (() А |(!) = Е; дифференцируя это равенство по правилу 3 и учитывая, что производная постоянной матрицы равна нулевой матрице, получаем А (() А '(()+ А (() А '(() = О. И В ряде задач необходимо вычислять производную от определителя квадратной матрицы а„(() ... а|„(!) А(!) = а|а (!) ... а (!) Эта производная вычисляется по формуле ааа (() ам (() ...
аа„(с) аь „ (1) а, „ (1) ... а; ,„ (с) дса(1) дса(0 " дс.(О ас,м(с) амаа(с) ... ас+аа(Г) сс ! А (с) 1 НС (9) с=! а„(1) а, (1) ... а„„(1) Для доказательства формулы (9), учитывая равенство (7) $ 2, запишем )А(1) ! — .У', ( — 1)саас,(с)пас;(1) ... а„с„(с). Хаса "' Са Полученное равенство проднфференцируем по й Согласно пра- вилу дифференцирования произведения, имеем ( — 1)'дас,(()ам,(() ... вас (1)+ СаСа"' са +,У~ ( — 1)' аы, (1) д,с, (1) васа (() ... а,с„(1) + Сай-. с» 1 ам (т) дт ~ а„(т) дт ...
') а,„(т) дт са са са с ~ им (т) дт ~ саа (т) дт ... ) аа„(т) дт В(Г)=~ А(т)д = ° (10) ~а а(т) дт о ~ а,(т) дт ... ~ а „(т) дт ь Пользуясь введенными обозначениями, можно получить компактную векторную запись дифференциальных уравнений. 31 Это равенство доказывает справедливость формулы (9), так как из него следует, что каждое слагаемое внешней суммы есть определитель ( А (а)1, у которого с-я строка заменена строкой из ее производных. ° Интегралом от матрицы А(с) в пределах от са до с называется матрица вида Рассмотрим систему и линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с и неизвестными: — ' = ам (т) х, + ам (() хз+ ... + аж (1) х„+ ) ~ (1), — „' =ам(1)х,+а„(()х,+ ...
+аз (т)а+ге(() — а„, (() х, + а„, (() х, + ... + а„„ (() х„ + („ ((). Введем векторы х. (() кю «(()= "."', И) = '."' Р. И) х„(г) и матрицу ам(() а„(() ... а,„(() ам(1) ам(1) ... а,„(1) ле-~ а„,(() а„,(1) .:. а„,(г) Система уравнений (11) может быть записана в векторном виде так: — А (() х + у ((). (12) Воспользовавшись определением производной матрицы, правилами умножения и сложения матриц, а также условием равенства матриц, нетрудно показать, что векторное равенство (12) эквивалентно системе дифференциальных уравнений (11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
