Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Найти решение системы линейных уравнений хг+Зхе+2хз+ хе=1, 2хэ+4хэ+ хэ — 2хч=4, Зхг+Зхэ+ хз — Зхэ=-5, — х~+ х + 2хз — х4 = — 1 Запишем эту систему а виде матрицы 132 1 241 — 2 3 3!' — 3 — 112 — ! Умножая первую строку этой матрицы на — 2, — 3, 1 и складывая ее соответ- ственно со второй, третьей и четвертой строками, получаем новую матрицу ! 3 2 1 0 — 2 — 3 — 4 0 — 6 — 5 0 0 4 4 0 0 Умножим вторую строку полученной матрицы на числа — 3 и 2 и сложим полученные результаты соответственно с третьей и четвертой ее строками, тогда матрица примет вид 1 1 3 2 ! 0 — 2 — 3 — 4 0 0 4 12 0 0 — 2 — 3 Умножим третью строку этой матрицы на 1/2 и сложим с четвертой ее строкой: 1 32 1 0 — 2 3 — 4 0 04 !2 0 00 — 2 Полученной матрице соответствует система линсйнык уравнений, эквива- лентная заданной: хг + Зле + 2хз+ хч 1 — 2хэ — Зхз 4хч — 2, 4хэ+ 12хэ = — 4, — 2хе — — 2.
Система уравнений привелась к треугольному виду Следовательно, она является совместной и определенной. Последовательно решая уравнении системы 50 снизу вверх, получим решение: ха= — 1, ха=2, ха= — 2, х,=4. Выполненные в этом примере действия удобно записать в таком виде: 3 2 1 — 2 — 3 — 4 2 2 — 6 — 5 4 1 4 1 О О 3 2 1 — 2 — 3 — 4 О 4 !2 ΠΠ— 2 1 3 Π— 2 — 3 — 4 О О 1 3 О О О 1 Знак сю здесь означает эквивалентность систем уравнений.
Пример 2. Найти решение системы линейных уравнений х,+Зх,+2хз+ ха=1, 2хз+4хт+ хз — 2х4=4, Зх +Зх,+ х +Зх =5, хг — Зхт — Зхз+ ха=3 системой эквивалентные преобразования (процесс Гаусса), Π— 2 — 3 Π— 6 — 5 Π— 6 — 5 2 1 Π— 2 ΠΠΠΠ— 4 12 12 — 4 — 4 О сю Π— 2 — 3 — 4 2. Последней матрице (в ней мы отбросили нулевую строку) соответствует система линейных уравнений трапепеидального вида Такая система является совместной и неопределенной. Если перенестя одно, например четвертое, иеизисчтнсе'в правую часть уравнений системы, получим решение: хз = (1 + Зхч), хч —— хг = 1+бх4 3 — бха 2 Неизвестному х, можно придать любые значения, поэтому система имеет бесчис- ленное множество решений. 51 3 2 1 4 1 — 2 3 1 3 1 2 — 1 1 3 Π— 2 О О О О Выполнив над получим 1 3 2 2 4 1 3 3 1 1 — 3 — 3 -! 2 1 — 3 — 4 4 12 — 2 — 8 ! 1 — 4 2 О '2 О 2 1 3 2 1 Π— 2 — 3 — 4 О О- 4 12 О О О О Пример 3.
Найти решение системы линейных уравнений хь+Зхв+222+ х2=1, 221+4хь+ хз — 2х2=4, 321+ Зхв+ х2+ 322 = 5, х1 — Зхз — Зхз+ 22=2. Имеем 2 1 1 3 2 1 1 1 3 2 4 1 — 2 3 3 1 3 Π— 2 — 3 — 4 Π— 6 — 5 О 1 — 3 — 3 1 Π— 6 — 5 О 1 1 1 3 2 3 2 1 — 2 — 3 — 4 Π— 2 — 3 — 4 О О 4 12 О О О 1 3 О О О О О 4 !2 — 5 О Система несовместна, так квк нз последней матрицы получаем протнворечнвый результат: О= — 1. 3. Система и линейных уравнений с и неизвестными. Рассмотрим систему, содержащую и линейных уравнений с и неизвестными: а11х1+ а12хв + ° ° ° + а1~х~ 51 а21х1 + 1122хв + + 112 ххв ('2 (7) а„,Х,+аввХ,+... +а„„Х„=Ь„. Определитель а1, а„... а,„ аы авв " ав» (8) авк а„, ... авв 52 составленный из коэффициентов ау при неизвестных, называется главным определителем системы.
Следующая теорема устанавливает связь между значением главного определителя и условием разрешимости системы линейных уравнений. Теорема 3. Если главный определитель системы и линейных уравнений с п неизвестными не равен нулю, то система имеет единственное решение, если все мпот определитель равен нулю, то система является либо неопределенной, либо несовместной. Доказательство. Выполним над системой уравнений (7) элементарные преобразования. Из свойств определителей следует, что при таких преобразованиях главный определитель всех эквивалентных систем не равен нулю, если он не равен нулю у исходной системы, и будет равен нулю, если он равен нулю у исходной системы.
Аналогичным образом, если главный определитель одной из эквивалентных систем окажется равным нулю, то он равен нулю и у исходной системы. Таким образом, если в результате элементарных преобразований система уравнений окажется несовместной или приводится к трапецеидальному виду, т.
е. окажется неопределенной, то главный определитель, составленный из коэффипиентов при неизвестных в эквивалентной системе, имеет по крайней мере одну нулевую строку. В этом случае, согласно свойству 2 (см. 9 2), указанный определитель равен нулю, т. е. равен нулю и главный определитель исходной системы уравнений. Если же в результате элементарных преобразований система уравнений приводится к треугольному виду, т.
е. исходная система оказывается определенной (система имеет единственное решение), то главный определитель эквивалентной системы не равен нулю, так как в этом случае эквивалентная система не имеет нулевых строк. Поэтому в последнем случае не равен нулю и главный определитель исходной системы уравнений. И Система линейных уравнений, у которой все правые части равны нулю, называется однородной. Положив в системе (7) 6,=0(1=1, 2, ..., п), получим однородную систему уравнений амхт+а„х,+ ...
+а„,х„=О, а„х,+а.„х,+ ... +а,„х„=О, (9) а 1х~ + авьхь+ .. + а„„х„= О, или в векторном виде Ах=О. (10) Однородная система всегда совместна, так как всегда существует по крайней мере одно решение хе=О, ..., х„=О х,=О, (11) или (12) Такое решение называется нулевым или тривиальным решением однородной системы.
Теорема 4. Однородная система п линейных уравнений с и неизвестными имеегп ненулевые или нетривиальные решения, когда ее определитель равен нулю. Доказательство. Если главный определитель однородной системы (9) не равен нулю, то согласно предыдущей теореме система имеет единственное решение. Это решение является тривиальным.
Если же главный определитель равен нулю, то система в соответствии с теоремой 2 может быть или несовместной, или неопределенной. Однако система уравнений (9) несовместной быть не может, так как существует тривиальное решение. Следовательно, система (9) является неопределенной, т, е. кроме нулевого существуют еще и другие решения.
И 4. Правило Крамера. Выведем формулы, позволяющие вычислить решение совместной неоднородной системы и линейных уравнений с и неизвестными, Пусть главный определитель системы уравнений (7) не равен нулю, т. е. аз » а„... а~ азз азз аз (13) а„, а»з , а»» Чтобы найти решение системы (7), умножим левые и правые части уравнений этой системы соответственно на алгебраические дополнения Лы, Асм ..., А„» и почленно сложим указанные уравнения; ы+азз'4»»+ . ° . +а„»А») х -1- + (а,зА,»+а„А,» 1 ° ° .
+а„А„) '' + (аз»А»»+аз»Л»»+ .. 1 а „Л ) + А +' "+ "'А" =" Л +Ь,Л,» На основании теоремы 4 2 2 все слагаемые в левой части написанного равенства, кроме й-го, равны нулю. Поэтому, учитывая теорему 3 5 2, можно записать: Вх»=Ь»Аь»+Ь»Аз»+ ... +Ь„А„». Рассмотрим вспомогательный определитель 0», полученный из главного определителя системы 0 при замене его и-го столбца столбцом из свободных членов системы уравнений (7): ам а,з ... Ь, ... азз а„аз» " Ьз ...
а„ (14) а»з а„... Ь„... а»» Согласно теореме 3 2 2, имеем Ь»Аы+Ь»А»»+" +Ь А,»=0». Следовательно, Вх» =- (7». Так как, по условию, (х ~ О, решение системы уравнений (7) получим в виде х» = †.» (й = 1, 2, ..., и). (1 5) Формулы (15) удобны для нахождения решения определенной системы и линейных уравнений с п неизвестными.
Эти формулы носят название формул Крамера. Пример 4. Найти решение системы трех ураинений с тремя неизвестными х,+2хз+Зхз —— О, 2хз — 4хз+2хз=- — Ц хз+йхз+4х»=2. Имеем: ! 2 3 — 2 — 4 2 1 5 4 о о 2 — 8 — 4 =4 ~0. 1 3 1 О 2 З вЂ” 1 — 4 2 2 5 4 о з 2 — 1 2 1 2 4 2 О 2 — 4 — 1 1 5 2 Рэ= Рэ= В соответствии с формуламн (15) найдем решение заданной системы уравнений: 25 Рэ 7 Рз 13 Р 4' ' Р '4 з — Р= 4 ° Пример 5. Система дифференциальных ураинений, описывающих угловос движение самолета вокруг центра масс при малых отклонениях в горизонталь. ном полете (рис. 5), записывается в операторной форме так: РО+00 — (лзэ+р) а=о, Оэз+ лззр) 0+ 04 — (лэр+ лм) се = — л.б.
О+э †о. Здесь лэ. л,э, ви, л„— некоторые числа, эависяжие от конструктивных параметров самолета, р — оператор дифференцирования, 0 в угол тангажа, 8 †уг Рис. 5 наклона траектории, гэ=угол атаки, 6, — угол поворота руля иысоты Найти зависимость О, й и и от 6, Вычислим главный определитель системы уравнений: р 0 — (л +р) Р= р +л,,зр 0 пер+и„=р(р'(л„+ли+и„) р+(л,+л +лм)) 1 — 1 — 1 Вспомогательные определители этой же системы уравнений равны: — (и +р) лэр+ лм — 1 (лаз+ р) пор + г|зэ — 1 0 — л,б, 0 = — л, (лл+ р) б, Р Р +лмр 1 Р Рэлзэр 1 = — Рлэбэ.
0 0 — 1 0 лэбэ 0 0 0 — 1 0 2 3 — — 1 — 4 2 =25, 0 — 3 8 о з 2 — 1 2 =7, 5 0 8 1 2 1 2 — 4 — 1 = — 13. 5 — 3 0 Воспользовавшись формулами Крамера, получим выражения для углов тангажа, наклона траектории и атаки через угол поворота руля высоты: 6 —— л ( +Р) 6д р [рд + (лд+ л„+ лд,) р+(л„+ л„лдд)[ лв ям р[рд+(лд+лм+л,д) р+(лм+ лмл„д)) 6д лд рд+(лд+ж +ла,) р+(л +лезги) откуда получаем соответствуюгцие передаточные функции для самолета по углу тапгажа )ро (р)— л. (дьм+ р) р [рд+(л +л +яд ) р+(лад+ямам)[д по углу наклона траектории [г з (Р)— Р [Рд+(яд+ям+лад) Р+(лдд+лмлдд)]' по углу атаки [Ра (Р) Р+ (лд+ лм+ лй р+ (лад+ ямлзд) ' Передаточные функции самолета используются прн синтезе и анализе системы управления его полетом. Гяавн П ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 5 5. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1. Определение и основные свойства линейного пространства. Пусть У вЂ” множество каких-либо элементов и в этом множестве определены две операции: а) сложение элементов множества и б) умножение элементов множества на число. Множество И называется линейным (векторным) пространством, если из условия, что произвольные векторы и и Ь принадлежат множеству У, следует, что их сумма а+Ь и произведение произвольного числа Х на вектор а также принадлежат пространству У, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
