Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Действительно, пусть в некотором базисе заданы два линейных преобразования пространства матрицами А и В, т. е. я= = В(Ах). Из свойств ассоциативности произведения матриц имеем где ' =А ' . (12) = (ВА) = В(А) Суммой линейных преобразований, задаваемых матрицами А и В, называется такое линейное преобразование, которое задается матрицей А+В. Рассмотрим свойства линейных преобразований. Свойство 1, Линейное преобразов ние линейной комбинации векторов равно той же линейной комбинации преобразований зтих векторов, т. е. л 1 л а'К ( ~х~ ~цх; [ = ~х , ')ч (а Их~). ~К=1 ! Свойство 2.
Линейным преобразованием нулевого вектора является нулевой вектор, т. е. а ЕЮ=О, (14) Свойство 3. Линейным преобразованием противоположного вектора — х является вектор, противоположный образу вектора х, т. е. а К ( — Х) = — а Ех. (15) Справедливость свойств линейного преобразования легко доказать, используя указанные в З 1 свойства матриц, Рассмотрим произвольный базис пространства 1/„ е, е, е= еп и преобразуем его с помощью линейного преобразования с матрицей Т=[т; [, причем с1е1Т=~О, в новый базис г Р] Из равенства (30) 9 5 следует, что т= Т'е. Вектор х в старом базисе представим в виде х = зте1+ й,в, +...
+ $„е„. (16) (17) Пусть матрица А =- [ач) задает линейное преобразование вектора х в вектор у в базисе е„е„..., е„. Найдем матрицу линейного преобразования вектора х в вектор у для нового базиса который получаем с помощью матрицы перехода к новому базису Т: х=4,е,+Г„е,+... +$ е.=с1Л+~ь~л+...+$.1., (18) здесь $, (1 = 1, 2, ..., и) — координаты вектора х в новом базисе т" у=ч1ег+Ч е~+ "+ч.е.=чД'г+чД2+ "+ч Т.. (19) Из равенства (42) 9 5, определяющего координаты вектора при переходе к новому базису, получим Ь Ь Ч1 Ч1 ТЬ=Ь тч =ч (20) $и ьи Чл Чл По определению линейного преобразования имеем Чг Ь =А (21) Ча $л где А — матрица линейного преобразования, заданного в базисе е. Подставляя значения координат векторов в старом базисе из формул (20) в.формулу (21), получим Ч1 Ч2 Ь $2 =АТ (22) Умножая полученное равенство слева на Т-г, найдем Чт =Т'АТ (23) т.
е. матрица С линейного преобразования вектора х в вектор у при новом базисе т" выражается через матрицу А линейного пре- 70 образования при старом базисе е с помощью формулы С=-Т 'АТ, (24) где Т вЂ” матрица перехода от старого базиса к новому. Матрица С, определяемая равенством (24), называется матрицей, подобной матрице А, Теорема 1. Если линейное преобразование задается нееырожденной матрицей А, то и подобное ему преобразование с матриг(ей С= Т 'АТ также задается невыролсденной матрицей.
Доказательство. Определитель произведения квадратных матриц, согласно теореме 7 2 2, равен произведению определителей сомножителей, поэтому а ~С~=1 Т д(1 А~ ~ Т~( кроме того, из определения подобной матрицы следует, что йе1 Т чь О, Следовательно, если с1е1 АФО, то и с1е1 СФО, т. е. С вЂ” не- вырожденная матрица, И Рассмотрим ряд примеров линейных преобразований векторов. Г(ример К Пусть за базис двумерного геометрического пространства приняты единичные орты е,-д ее=1 осей декартовой системы координат х(ду, а за другой базис этого же пространства выбраны единичные орты осей Тд=уд, системы координат хдоу„полученной поворотом исходной системы координат на угол а (рис.
6). Вычислить матрицу Т перехода к новому базису, в также матрицу С линейного преобразования в базисе Тд, Т"„ если это линейное преобразование в базисе е,, е, задаемся матрицей А. Из Рис. 6 следУет, что веитоРы базиса Т"„ Тз выРажакпсн чеРез вектоРы базиса е,, е, формулами Тд = соз аед + з|п ае„уз = — з1п ае, + аж ае„. Нэ этих равенств следует, что матрица перехода к новому базису имеет вид ~ — з(п сд ан а~ Согласно равенству (24), линейное преобразование в базисе Тд, Тэ задается матрицей С, подобной матрице А: С=(Т) 'АТ.
Нетрудно убедиться, что (Т) '= Те, поэтому сова мпа~~адд ада~~сова — ми а~ оы созе а+ (а„+ о,д йп а соз а+ вм апэ сд ом созе а+ + (пзз — ап)з)п а соз а — пдэ з)п а адэ ссед а+(оэв — адд мп а соз а — адд мпз а о созе а— — (а„+ ам) мп а осе а+ ад мпэ а Пример л Положение произвольной декартовой трехмерной системы координат Ох>у»а» с ортами 1> =1>, /» = 1«, й, =1«отвосительно неподвижной системы координат Охра с ортами (=-ег, /==в„й= — е» определяется тремя углами Эйлера»р, 6 и у*' (рис. 7, а). Вычислить матрицу, задающую переход от 1М Р>1 базиса е= е к базису 1= 1, . ез Рис.
7 Рассмотрим систему декартовых координат Окуз с базисом е. Поворотом атой системы координат вокруг оси Оу иа угол »Р перейдем к новому базису г» 7= 7», при атом получим систему координат Ок'уг' (рис. 7, 61. Из предыду- га щего примера, учитывая, что ось Ор сохраняет свое положение, т. е. 7»=е«, а остальные орты преобразуются поворотом вокруг точки О в плоскости, перпендикулярной оси Оу, следует, что матрица псрехода к новому базису имеет вид с »в»р 0 — яп»р т«= О 1 О мп>р 0 соз»р *'См., например: Добронравов В. В., Никитив Н. Н., Дворников А. Л. Курс теоретической механики.
М., «Высшая школа», 1974, с. 163. От базиса 7" перейдем с помощью поворота системы координат Ох'уг' вокруг (А'1 1 оси Ог' нв угол 6 к системе Ох,у'5', который соответствусг базис у= ув .Ув (рис. 7, в). Аналогична предыдущему случаю, матрица перехода от базиса Т к базису у имеет вид со56 ип 6 О( Та(= — 5!п 6 со56 О . О О 1 Далее, выполнив поворот системы коордвнат Ох,у'г' вокруг оси Охг иа угол у, перейдем к системе координат Ох,у,го т. е. ст базиса 3 перейдем к базису ! (рис. 7, г). Матрица перехода к новому базису имеет внд г! О О 755 — О Сазу 51П у Π— мну сову) Из формулы (З)) $ б, определяющей переход к новому базису, имеем1 (=Твко, ф'= Твт)Г, 7= 7(,а.
Обьединяя зги выражения, получаем (=-7;575,7,,е Таким образом, матрица перехода от базиса е к базису ( имеет вид Ты = 77575)7 М = савву сов 6 51П 6 — ми в)со56 Яп вр Яп у — савв)1 ссн у Вп 6 с05 6 с05 7 с055р 51п 7+ 51п вр са5 т 51п 6 яп зйоют+0055)5щ у яп 6 — со56 51пу сгнзйс1%7 — 5!пвйв(пт яп 6 ( Если вектор х в старом бааисе имеет координаты 3„$5, 55, то в новом базисе его координаты 51, йв, йв, согласно выражению (43) й 3, равны =(Тга)- 55 Испосредствепным вычислением легко убедиться, что Т,=т и (Ттг,) '=-Т, Рассмотренное преобразование координат широко используе!ся, например, в системах управления летательными аппаратами.
Координаты вектора ускорения центра масс в этом случае определяются датчиками в базисе, связанном с летательным аппаратом, а управление осуществляется в системе координат, связанной с Землей, Поэтому необходимо кроме координат вектора ускорения определять углы Эйлера зр, 6 и т, а затем с помощью матрицы Т„осуществлять преобразование координат вектора ускорения в базисе земной системы координат. Пример 3. Структурная схема системы автоматического регулирования, рассмотренная в 4 3, показана иа рис. 4.
Будем полагать, что внешних воздействий к системе не приложено (вектор возмущающих воздействий нулевой). 73 В этом случае уравнение, описывающее динамику системы (33) 4 3, примет вид А(р)х(1)=С(р)л(Г). Найти зависимость вектора координат обтекга от вектора управляющих воздействий.
Умножим уравнение системы слева на матрицу А '(р): х(г)=А '(р) С(р) й (1). Если ввести матрицу Ф(р)=А '(р) С(р), то получим х(1)=-Ф(р) д(Г). Таким образом, сисгема автоматического регулирования задает линейное преобразование вектора входящих воздействий й (1), описываемое магрицей Ф(р)=А з(р) С(р), причем каждому значению вектора управляющих воадей. етний хг(Г) ставится в соответсгвие вектор координат на выходе системы х(Г).
Матрица Ф(р) называется передаточной матраигй мноэкаязной системы. Учитывая, что ! [ аэз (р) — азз (р) ) [АЭ[ 'С вЂ” аз, (Р) ап (Р)л ' азз (Р) ам (Р)1 [сгг (Р) см (Р)1 ! 4~ ~ — ам(р) ац(РЙ~с 0) с (РИ 1 — Х аы (Р) аш (Р) — аы (Р) ааг (Р) эс ! а„(р) с,г (р) — а„(р) ом (р) ам(р) с„(р) — а„(р) с,з(р)1 аы(р)см(р) — ам(р)сп(р) ап(р)с„(р) — ам(р)с,,(р)1' 2. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования. В теории линейных преобразований часто используется понятие собственного вектора, Ненулевой вектор х линейного пространства )7„ называется собственным вектором относительно линейного преобразования а ~, если аКх=Лх, где Л вЂ” некоторое число. Число Л называется собственным значением (числом) собственного вектора х для линейного преобразования ае'.
Собственное значение собственного вектора х определяется однозначно. Действительно, предположим, что собственному вектору х соответствуют два различных собственных значения Л и Л,. Тогда из равенства Лх=Л,х следует, что (Л вЂ” Л,)к=О, но, по определению, собственный вектор не равен нулю, т. е. х 4= О, поэтому Л = Лх. Матрица вида : ам — Л а„... азэ А )„Е ищ изз Л . пзч (25) а„, а„, ... а„„вЂ” Л называется характеристической матриг(ей матрицы А, Определитель характеристической матрицы А — ЛЕ называется характеристическим многочленом матрицы А. Корни характеристического многочлена матрицы называются характеристическими числами этой матрицы.
Пример 4. Найти характеуисгический многочлен матрицы дифференциального уравнения автоматическои системы, описанной в примере 2 4 3. 74 Имеем — о о о о — 20О 0,002 о о о о о о — 5,!46 — 0,1224 0,002 0,002 о 1 о о — 41,32 0,002 о о — 201 0,002 Характернсгнаескнй многочлен матрацы А равен 0 0 0 1 — 0,1224 0,002 — Л 0 0 0 1 — Л 0 0 — 201 0,002 1 0 — Л 0 0 0 — 200 0,002 1 -тЛ 0 — 41,32 0,002 1 — Л вЂ” 5,149 0,002 ! А — ЛЕ! 0 0 0 1 0 0 0 — Л 1 0 + 0 0 — Л 1 — Л 1 0 0 — Л 1 0 — Л 0 0 — Л 1 0 О 0 0 0 0 0 1 0 — Л 1 0 0 0 0 1 0 — Л 1 — 201 0,002 Ш 0,002 0 — Л 1 0 0 0 — Л 0 0 0 0 1 — 5,146 0,002 ( — 41,32) 0,002 — 0 0 0 0 — Л 0 0 0 0 — Л 0 0 0 0 — Л 200 200 0,002 0,002 0 + ( Л)+ + ' Ла+ — '( — Л)а — Л+ — ' ( — Л)4= ( — 41,32) 5,146 I 0,12241 4 0,002 0,002 !, 0,002 ) 1 — (О 002Ла+О 1224Л4+5 146Ла+41 32Ла+201Л+200) Теорема 2.
Характеристический мноеачлен матрицы, задающей линейное преобразование линеиноео пространства $г„, не зависит от выбора базиса. Доказательство. Пусть н некотором базисе линейное преобразование задается матрицей А, а в другом базисе это же линейное преобразование задается матрицей В. Из формулы (24) следует, что В= 7 'АТ, причем де! ТчьО. Вычислим характеристический многочлен матрицы В. Используя известные (см. $ 1) свойства матриц, а также теорему 7 2 2 об определителе произведения матриц, получаем 1 — ЛЕ)=~ Т 'АТ вЂ” ЛЕ)=! Т 'АТ вЂ” ЛТ 'Т)= =~ Т-'АТ вЂ” Т гЛТ)=~ Т '(А — ЛЕ) Т~ ='1 Т-'!) А — ЛЕ)! Т)= =) Т '// Т~ ~ А — ЛЕ~ =! Т-'Т!1А — ЛЕ1= = ~ Е)) А — ) Е) =) А — ЛЕ/.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
