Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Из теоремы 4 следует, что равенство (46) справедливо лишь при значении уг = О (1 =- 1, 2, ..., а). (47) Но тогда, учитывая равенство (44), найдем что вследствие линейной независимости векторов хп, хгг, ..., хг, (1=1, 2, ..., а) а11 — — и12=...=2211,-— —...—— -и„=алг=...=а„,=О. (48) Таким образом, равенство (44) возможно лишь при нулевых значениях коэффициентов 22112 Отсюда следует, что векторы Х11 2 нг 2 21 ° Хлг линейно независимы. Таким образом, максимальное число линейно независимых векторов, соответствующих.
всем собственным значениям, равно сумме 11+(2+...+1„т. е. для существования базиса из собственных векторов необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство 11+1,+...+ 1,=п, что возможно только тогда, когда все значения (г=йг. И Квадратную матрицу А можно рассматривать как матрицу, задающую линейное преобразование пространства Ъ'„ в некотором базисе. При переходе к другому базису, согласно равенству (24), это линейное преобразование будет задано матрицей С, подобной матрице А, т. е. С= Т1АТ, (49) где Т вЂ” матрица перехода к новому базису (де(Т~=О). Эта матрица имеет вид $11 212 ''' 21л а В этом случае ,22 211Е1+221Е2+ +Ьл1ал Л = 212ег + аггел+. "+ Ъпге (50) (51) т. е. $,, (1, ) = 1, 2, ..., и) есть координаты векторов нового базиса Т"„ Тз, ..., Т"„, выРаженного чеРез стаРый базис е„ е„ ...
ч» Если базис у„у„..., Т", можно составить из. собственных векторов линейного преобразования озг с собственными значе- ниями Л„)е, ..., ).„т. е. если выполнены условия теоремы 5, то из теоремы 3 следует, что матрица С имеет диагональный вид С=с)(ая(Лы Лз ... Л,), (52) где каждое собственное значение Лг берется столько раз, какова его кратность йг (йг+йз+...+lг, = и). Пример б. Привести к диагональному виду матрицу А=~ Найдем собственные значения матрицы А: !2 — Л 1 ! А — )Е!=~ ~=2-ЗЛ+Лз, !О ! — Л откуда Л, = 1, Лз = 2. Вычисляем координаты собственных векторов линейного преобразования задаваемого матрицей А, используя систему уравнений (ЗО).
Для Л,= 1 имеем г +йх = О. Г1олагаЯ свободное неизвестное $з= — 1, полУчаем $г = 1. Следо- вательно, собственный вектор будет =~-'! Аналогично, для Лз при $з=О получим собственный вектор Хз=Ц Г! — 1) Матрица перехода к новому базису Т'=~ 1 является матрицей, строки !! О! которой есть координаты собственных векторов линейного преобразования. тогда Т=[ 1, У" =~ Диагональная матрица, подобная матрице А, равна Г! 01 С=Т'АТ ! )(=б!ая (1 2).
(О 2~ Пример 6. Ппивесги к диагональному виду матрицу А=101 ° Найдем собственные значения иатрицы А: 2 — Л вЂ” 1 1 ! А — ЛЕ! - 1 — Л 1 = — (Л вЂ” 1)з(),— 2), 1 — 1 2 — Л 82 откуда Л1=1, л1=2, 22=1. Вычислим координаты собственных векторов. Для Л1=1 все три уравнения системы (30) одинаковы н имеют вид ь,— ь,+ь=о, чт=вз — Ь или Придавая свободным ' координатам $2 и йз различные значения, например ам=1, йз1=0 и $ю=О, а22=1, получаем два линейно независимых вектора, соответс1вующих собственному значению Л1=1: хм= 1 и х12= О. Для Л2=2 система уравнений (3)) имеет вид — 52+53=0, В1 — !Ц +~ =О.
Из втой системы найдем собственный вектор при 2,=11 *-8 Из теоремы 5 следует, что диагональная матрица С, подобная матрице А, имеет аид С= Т 'АТ=тйай [1 ! 2], где матрица перехода к новому базису Т составлена из координат линейно независимых собственных векторов линейвого преобразования, задаваемого матрицей А, причем ус= — 1 0 1 ° Пример 7. Привести матрицу А к диагональному виду А= 1 2 0 ° Вычислим собственные значения матрицы А: — 1 — Л вЂ” 1 1 ) А — ЛЕ )= 1 2 — Л 0 =(1 — Л)'(1+Л);. 0 — 1 — Л 51+22=0, откуда собственный вектор отсюда Л,=1, й,=2; Л,= — 1, йз=!.
Найдем координаты собственных векторов линейного преобразования. Для Л1 имеем систему уравнений %1 аз+53=0 При любых значениях $з все собственные векторы, соотвегствуюптие собственному значению Хт=!, линейно зависимы и согласно теореме б матрица А в данном примере не йриводится к диагональному виду. 4. Каноническая форма Жордана. Как видно из последнего примера, не всякую матрицу можно привести линейным преобразованием к диагональному виду.
Удобно выделить класс матриц простейшего вида, к которому можно было бы привести путем некоторых линейных преобразований любую матрицу. Рассмотрим квадратную матрицу размера пх п, элементы главной диагонали которой равны числу Х„ элементы а„+,(1 = = 1, 2, ..., и — 1) — единицы, а все остальные элементы — нули: 1 0 ... 0 О аз 1 0 О ) ... О . (53) о о 0...)„ Такая матрица называется клеткой Жордана порядка и, отвечающей собственному значению Х . Жордановой матриг!ей называется клеточно-диагональная матрица, в которой на главной диагонали стоят клетки )Кордаиа, а все элементы вне этих клеток равны нулю.
Например, матрица 2 1(0 0.:0 0 0:'О!0 0 2 ':0 О 0 0 0:'0'0 0021000::0 0 00'02 000 0 0 00':00 310 0.0 00'00 0 3! 0.0 00000030 0 (54) 00::00.:000 3:.0 0 010 0'.:0 0 0':0, :1 .г=С 'АС, (55) Предварительно докажем несколько теорем. является жордановой матрицей, состоящей из пяти клеток: двух клеток второго порядка, отвечающих собственному значению 2, клетки третьего порядка и клетки первого порядка, отвечающих собственному значению 3, и клетки первого порядка, отвечающей собственному значению 1. Покажем, что всякой матрице А соответствует подобная ей жорданова матрица г, т. е.
существует такая иевырожденная матрица С, что Теорема 6. Луста  — клетка Жордана порядка й, отвечаюи1ая собственному значению Лч, тогда матрица  — ЛЕ имеет каноническую форму вида  — ЛЕсс К= (56) О О О ... 1 0 ООО...О(Л вЂ” Л)" Доказательство. Рассмотрим матрицу (57) 0 0 ... Л вЂ” Л 1 О О' ... О Л вЂ” Л 0 0 Наибольший общий делитель минора треугольной матрицы  — ЛЕ порядка й будет равен д~=(Л вЂ” Л,)", Среди миноров порядка 1 существует минор М,=1 (1= — 1, ..., я — 11.
Следовательно, 4,=- = (Л вЂ” Л,)" и все сО=! для 1=1, ..., я — 1. По формуле 45 3 3 имеем (58) каноническая форма 0 0 0  — ЛЕЙК= 0 0 0 ... 1 0 0 0 0 ... 0 (Л вЂ” Лч)'. Рассмотрим диагональную Л-матрицу д(а5 [ср, (Л) ср, (Л) ... гр„(Л)1 и положим, что многочлены ~р,(Л) попарно взаимно просты, т. е. наибольший общий делитель многочленов ~;(Л) и ~у~(Л) равен единице, если 1~=1. Справедлива следующая теорема. 100...0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ...
0 0 Лч — Л 1 О 0 Л,— Л 1 В ЛЕ О О Ло е,(Л) =1, ее(Л) =1, е„,(Л) =1, е„(1) = (Л вЂ” Лч)~. Поэтому на основании равенства (43) 3 3 матрицы  — ЛЕ имеет вид 1 0 0 ... 0 О 1 0 ... 0 0 0 1 .;. 0 0 0 0 0 0 0 Теорема 7. диагональная д;матрица с попарно взаимно простыми диагональными элементами имеет каноническую форму вида 0 0 ... 1 0 о о ... о И р!(х) !=- ! (69) о о ... р„,(),) о о о =...
о р„ (л> Док азат ел ь ство. Доказательство проведем методом математической индукции. Рассмотрим вначале случай при й = 2, Приведем матрицу <р, (д) (60) к каноническому виду. Многочлены ср, (Х) и ср,(Х) взаимно просты, поэтому наибольшие общие делители миноров первого и второго порядков матрицы равны д, = 1 и д, =ср, (Х) <р, (Х). Согласно равен- ствам (43) и (45) $ 3, имеем с <р! ()") О !р (Х)1 !0 ЧЛ (Х) !р (Х) (6! ) Для случая й= 2 теорема доказана.
Предположим теперь, что теорема справедлива для й = и — 1, и докажем ее справедливость для и =п. По предположению, теорема справедлива при й = и — 1, поэтому 0 о ... р„,р) о о ... о р„ (л) (62) П р;().) != — ! 0 0 ... 0 ср„(х) а — ! Из условия теоремы следует, что многочлены !р„(Х) и й !р! (к) != ! взаимно просты, но для клоп!и,с я=2 доказательство было 1 0 ... 0 0 О 1 ...
0 0 -р (),) о о р.р) !р! ()) О о р ().) 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 выполнено выше, поэтому имеем - р,(Л) О ... О О = О р,(Л) ... ΠΠ— о ... о о О 1 ... О О ... р„, (Л) О О р. (Л) о о о о о о ... ! о л о о... о Ир,(л) «=! (63) В дальнейшем потребуется теорема, устанавливающая критерий подобия матриц, которую приведем без доказательства е1. Теорема 8. Для того чтобы матрицы А и В были подобны, необходимо и достаточно, чтобы их характеристические матрицы А — ЛЕ и  — ЛЕ были эквивалентны. Теорема 9. Две карданова матрицы 7! и Уз подобны тогда и только тогда, ковда они имеют одни и те оке клетки и отличаются лишь порядком следования клеток. Доказательство, Пусть две жордановы матрицы отличаются только порядком следования клеток.
Тогда их характеристические матрицы У! — ЛЕ и 7« — ЛЕ будут отличаться только порядком следования строк и столбцов. Меняя строки и столбцы матрицы 7! — ЛЕ, можно преобразовать ее в матрицу 7» — ЛЕ. Следовательно, характеристические матрицы У! — ЛЕ и .7« — ЛЕ эквивалентны. Тогда в силу теоремы 8 матрицы У! и 7« подобны. Необходимость условий теоремы доказана, Докажем их достаточность.
Пусть жордановы матрицы У! и,lз подобны, Покажем, что в этом случае они отличаются лишь порядком следования клеток. Приведем характеристическую матрицу Х! — ЛЕ к каноническому виду. Матрица .l! жорданова, каждая ее клетка определяется порядком и собственным значением, Пусть «7! клеток отвечает собственному значению Лм «7« клеток отвечает собственному значению Л„ »' Доказательство сы., например: й.
Г. К урош. Курс высшей алгебры. «Наукаь 1975, с. 376. 87 д! клеток отвечает собственному значению Ль Обозначим а= шах(!7„ !7„ ..., »7!). Согласно теореме 6, каноническая форма каждой клетки матрицы 7! — ЛЕ имеет вид б(ад(1 1 ... 1 (1 — Л!)»1, где 7з — порядок клетки, Л,— собственное значение, которому отвечает клетка, Таким образом, каждая клетка в результате элементарных преобразовании матрицы ,7! — ЛЕ приведется к каноническому виду, причем на диагонали. будут стоять либо единицы, либо члены вида (Л вЂ” Л!)"«7, где 7««!в порядок соответствующей клетки, а Л; — ее собственное значение. Выражения (Л вЂ” Л„) ч назовем элементарными делителями матрицы .71 — ЛЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
