Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Всяку[о квадратичную форму можно записать в матричном виде: 1(х, х) =х'Ах. (4) где х' — транспонированный вектор-столбец х (»' = 1$1 $1 " ьй)). Действительно, согласно правилу умножения матриц имеем: а„айй ... а,„ А*А=[1,!,...1,] " " '" '" — ~~,$ ~~,[,...Л ~„], (.й=! й-! й 1 а„й а„,...а„„ Ь П [[ А З Х Ах — ~ ~~~ аййьй „У аййьй ' ' ' „~~ айАьй~ й=[ й-1 й=[ ьл А / А Л А = ~ ~'~',ай„Дй)$„= ~;5', ай гД, т-[ й=! А[ 1 й=[ где $! (1 =1, 2, „н) — координаты вектора х в некотором базисе.
Квадратичная форма ~ (х, х) =,У,',У, аДД может быть запи- [' 1 !=! сана также в виде скалярного произведения /(х, х)= ~ч~~ ~, 'а!ДД~ — — х'Ах=(х, Ах), (б) 1 1/ ! где А = А' матрица квадратичной формы. Действительно, полагая, что А есть также матрица некоторого линейного преобразования, заданного в ортонормированном базисе, из равенства (19) $ 7 имеем г" и А А [[ [А, А [-([1[. (й .Ай]) = А, !, А, й„ай = А, А .,1!А ° / 1 ! 1=1 / 1 [ 1! 1 Выясним, как изменяется матрица квадратичной формы при переходе к новому базису, Теорема 1. Ври переходе к другому базису пространства У„ матрица квадратичной формы А изменяется по закону В=- С'АС, (б) где С вЂ” матрица перехода к новому базису, Док аз а тельство.
Согласно формуле, определяющей координаты вектора прн переходе к новому базису (42) 2 5, имеем $1 Ч1 ь2 С Ч2 ! (7) $п Чп или в матричной форме х=Су, (8) здесь у — тот же вектор х, но записанный в координатах при новом базисе. Подставив выражение (9) в (4), получим ' г(х х) =х~Ах=(Су)~ А(Су) =у~С~АСу, (9) или, если СТАС В то 7(х, х) =7(у, у) =у'Ву. (11) Для того чтобы матрица В была матрицей квадратичной формы, необходимо, чтобы она была симметричной. Покажем симметричность этой матрицы. Имеем В =(С АС ) =(АС') С=С'А'С„но так как А~= А (в силу симметричности матрицы квадратичной формы), то и В=-В, т. е.
 — симметричная матрица. Й Из теоремы следует, что при переходе к новому базису, матрица квадратичной формы изменяется по правилу (10). 2. Канонический внд квадратичной формы. Выясним простейший вид квадратичной формы, который можно получить путем рационального выбора базиса. Введем новое определение. Если матрица квадратичной формы имеет диагональный вид, т.
е. А = й(ад (Л, Л, ... Л„1, (12) то соответствующая ей квадратичная форма г(х, х)= Я ЛДз з-! (13) называется квадратичной формой, приведенной к каноническому виду. Покажем, что всякую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. 1оз Теорема 2.
Квадратичная форма Г(х, х) = ~ ~ аддч!йг с по!=-! г=! мощью линейного преобразования с ортогональной матра!(ей С может быть приведена к каноническому виду ) (х, х) = ~~ Лй[!. д=! Доказательство. В евклидовом пространстве У„рассмотрим матрицу А квадратичной формы как матрицу симметричного преобразовавия при том же ортонормированиом базисе, в нотором задана квадратичная форма. Из теоремы 8 $ 7 следует, что существует такая ортогональная матрица С того же размера, что и матрица А, которой соответствует матрица В=С'АС диагонального вида, т. е. В= С'АС = б[ад [Лд Л, Л„), (14) где Л„Лч, ..., ˄— вобственные значения матрицы А.
Перейдем от старого базиса к новому, причем в качестве матрицы перехода к новому базису выберем матрицу С. Тогда, обозначив вектор квадратичной формы в новых координатах через у, согласно равенству (42) Э 5 найдем х=Су, х'=(Су)'= =у"С', откуда х Ах = (уС)' А (Су) = у'С'АСу = у'Ву. (15) Составляя выражение для квадратичной формы, исходя из матрицы В, получим ее канонический вид л )(х, х)= ~', Лдд[ч, И ь:= ! (16) (17) Допустим, что число не равных нулю коэффициентов Л! равно т.
Пусть для определенности ЛдФО, Л,чьО, ..., Л ФО, Л +, —— О, ..., Л„=О, тогда В=-й[ад[Лд Л, ... Л О ... О). (18) дот Следующая теорема показывает, что число слагаемых в равенстве (16) определяется рангом матрицы А исходной квадратичной формы. Теорема 3. Если квадратичная форма Ях, х) с матра!!ей А при переходе к некоторому базису приведена к виду (16), то число не равных нулю членов в выражении (16) равно г — рангу исходной квадратичной формы. До к а з а тел ь ство. Составим матрицу В квадратичной формы канонического вида. В выражении (16) отсутствуют члены, содержащие произведения разных координат, поэтому матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид В=8[за [Л, Л ... Л„], В левом верхнем углу матрицы В расположен минор т-го порядка Л, О ...
О О Л, ... О = ЛхЛз ... Л О, ([9) О О ... Л а все миноры матрицы В более высокого порядка равны нулю, поэтому гапяВ=т. С другой стороны, на основании предыдущей1 теоремы В=С'АС. Матрица С является матрицей перехода к новому базису, а матрицу А можно рассматривать, как систему арифметических векторов-столбцов, Линейно независимые столбцы являются базисом этой системы.
Число векторов базиса равно рангу матрицы А. При переходе к новому базису, определяемому матрицей С, число векторов базиса не меняется, Поэтому ранг матрицы С'А равен рангу матрицы А. Аналогично, ганя С'АС =*ганя С'А= = ганя А =т. Следовательно, т=г. ~[ Пример 1. Привести квадратичную форму Г(х, х) =ЗЦ+4$Дз+Гва к каноническому виду Матрица А заданной квадратичной формы равна лоо] А [ Найдем собственные значения матрицы А: 3 — Л 2 0 [А — лн[= 2 — л о 0 О 1 — Л = (1 — Л) (Ла — ЗЛ вЂ” 4), откуда Л, 1, Лх= 4, Лз —— — 1.
Матрица В квадратичной формы в соответствии с теоремой 2 имеет кано. нический вид В СТАС = ΠΠ— 1] 108 и в новом базисе квадратичная форма равна /(х, х) Ч'+4пй — ЧЗЛ Матрицу перехода С найдем, воспользовавшись теоремой 3 4 6. Для етого вычислим собственные векторы матрицы А. Аналогично тому, как было сделано в примере 3 4 5, получим: 2$,+2$з =-0 а) ДлЯ Лч=1 ьг=ьз=о, $а 1, хт1 [00 Гй 1ʄ— З,=О, — чх+ 2сз = 0 б) для Лз=4 $з=1, фх=2, $~ О, хе=[2 1 0[1 -ЗЗ,=О, %,+(ч = О в) дли )е — 1 еы = — 1, $т = 2, $а — — О, х~~ ( — 1 2 О). 2$а = О.
Строками матрицы Ст будут нормированные собственные векторы матрицы А, т. е. О 1 1 О 'г' б 2 'г' 5 О О рб 1 1'5 Ст = и согласно равенству (8) Ь 2 1 'г'5 Р' б 1 2 'т' б г'5 у= ч, =(С)- 5, =С Р„= ыСм., например: Курош А, Г. Курс высшей алгебры. Мм «Наукаы 1975, с. 181. 3. Положительно определенные квадратичные формы.
Рассмотрим класс квадратичнык форм, широко используемый при анализе устойчивости автоматических систем. а а действительная квадратичная форма )(х, х) = ~ ~'., агЯ41 г=г( и переменных (координат) называется положшпельно опрея деленной, когда она принимает строго положительное значение при всякой ненулевой системе действительных значений переменных.
Если же эта квадратичная форма принимает строго отрицательные значения при любой ненулевой системе действительных значений переменных, то она называется отрицательно определенной. В остальных случаях квадратичная форма называется неопределенной. Можно показать, что при любом невырожденном линейном преобразовании матрицы квадратичной формы (т.
е. при переходе к новому базису) положительно определенная квадратичная форма остается положительно определенной, а отрицательно определенная остается отрицательно определеннойе'. При исследовании устойчивости автоматических систем необходимо определить, является ли заданная квадратичная форма положительно определенной. Определять собственные значения матрицы квадратичной формы бывает затруднительно, так как приходится решать характеристическое уравнение высокого порядка. Существует критерий, который позволяет выяснить, является ли квадратичная форма положительно определенной, не вычисляя собственных значений матрицы квадратичной формы.
Следующая теорема позволяет выявить, является ли исследуе- мая квадратичная форма положительно определенной. Предварительно примем два определения. Диагональным минором матрицы А называется минор, диагональные элементы которого являются диагональными элементами матрицы А. Главным диагональным минором матрицы А порядка й называется минор, составленный нз первых й строк н й столбцов матрицы А.
Теорема 4 (критерий Сильвестра), Квадратичная форма а л 1(х, х)= ~ ~ч, 'а»яд! г=!! ! положительно определена тогда и только тогда, когда все главные диагональные миноры ее матра»(ы А =[аД строго положительны. Теорему примем без доказательства *!. Пример 2. Исследовать, является ли квадратичная форма с матрицей А= 203 положительно определенной. Главные диагональные миноры матрицы А равны Ь! =- ! ~ О, о« = 0 — 4 (О, т. е.
квадратичная форма с матрнцей А не является положительно определенной. Пример 3. Исследовать, является лн квадратичная форма, заданная матрицей А [ положительно определеннон. Имеем о! = 4 ) О, бе = 8 — ! = 7, оз = 4 ° 6 — 1 3+ 3 ( — 6) = 3 ) О, поэтому, согласно критерию Сильвестра, в этом случае квцаратичная форма положительно определенная. Пример 4. Исследовать, является ли квадратичная форма Р(х„ х) — 41+!4«4,+24«а отрицательно определенной. РассмотРим квадРатичнУю фоРмУ вЂ” 7(х, х) =+й«! — !$»из+хит«, ее матРица имеет вид [ — 1 2~ Главные диагональные миноры матрицы А равны о! = 1 ~ О, оз = 2 — 1 = 1 ) О. «аким образом, квадратичная форма — !(х, х) является положительно определенной, а следовательно квадратичная форма 1(х, х) является отрицательно определенной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
