Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Нетрудно убедиться, что расстояние между векторами обладает следующими свойствами: 1. Расстояние мелсдд двумя различными векторами есть положительная величина, а расстояние между одним и тем же вектором равно нулю, т. е. р(х, х) =О, р(х, у))0 при х~у, (42) !(х у)!' - (х х) (у, у). (35) Предположим, что векторы х и у не пропорциональны, тогда ЛуФх и х — Лу~О. В этом случае скалярный квадрат (х — Лу, х — Лу) ) О, и в выражении (32) имеем строгое неравенство.
Если х и у пропорциональны, т. е. х=Лу, то скалярное произведение (х — Лу, х — Лу) =0 и в этом случае выражение (32) становится равенством. и Докажем теперь, что справедливо неравенство !! х+у !! ( !! х !!+ !!у !!. (36) Для этого вычислим скалярный квадрат !!х+)(!е: ~х+у/!'=(х+у, х+у) =(х, х)+(х, у)+(у, х)+ +(у у)=!!х!!'+(х, у)+(х, у)+!!у!!е (37) Так как модуль суммы меньше или равен сумме модулей, то найдем !!!х+у!!е!(!!!х!~!+!(х, у)',+!Сх,-у)!+!!/у!!'!. (38) Но так как квадрат длины вектора есть действительная положительная величина, а модули комплексно-сопряженных чисел равны, то получим !!х+у!!' =.!! х/!'+2! (х, у) !+//у~'.
Из неравенства Коши — Буняковского следует, что !(х у)1=-!!х!!!!уЬ (40) 2. Расстояние между двумя векторами не зависит от того, в каком порядке берутся зти векторы, т. е. р(х, у)=р(у, х). (43) д. Расстояние между двумя векторами не превьииает сумм расстояний каждого из этих векторов до произвольного третьего вектора, т. е. р(х у) р(х з)+р(з, у), (44) где з — произвольный вектор. Свойства 1 и 2 вытекают из свойств скалярного произведения. Докажем свойство 3. Из определения расстояния между векторами, используя неравенство (37), имеем: р(х, у)=Цх — уЦ=Ц(х — з)+(з — у)ЦчаЦх — зЦ+Цз — уЦ= =р(х, з)+.р(з, у).
И 5. Симметричные и ортогональные преобразования. Воспользовавшись свойствами унитарного пространства, рассмотрим некоторые специальные классы линейных преобразований. Квадратная матрица А= [ау) размера пхп, где ау — некоторые комплексные числа, называется зрмитовой, если ее элементы подчиняются условию а!7=ау, т. е. эрмитова матрица — это такая матрица, которая не изменится, если ее транспонировать и заменить элементы комплексно-сопряженными числами. Транспонирование матрицы А и замена элементов матрицы А' на комплексно- сопряженные приводят к матрице, которую обозначим Аь, тогда для эрмитовой матрицы имеем Аь= А. Эрмитова матрица с действительными элементами называется симметричной. Для симметричной матрицы А'=А.
Рассмотрим линейное преобразование унитарного пространства, задаваемое при некотором ортонормированном базисе эрмитовой матрицей А. Такое преобразование называется симметричным. Теорема 5. Если при некотором ортонормированном базисе е„ в„ ..., е„ унитарного пространства У„ задано симметричное преобразование е ~, то справедливо равенство (о.бх, у) = (х, о'бу), (45) где х, у — произвольные векторы пространства У„. Доказательство. Выражая векторы х и у через базис, получим и и х= Х йсв!, у= Х тув;. (46) ! ! ! ! Рассмотрим образы этих векторов аКх и аЕу.
Принимая во внимание линейность преобразования, найдем: а ~х=аК ~~ч~ це!~= ~ч, "$!(а ~е!), !!!м! ! 1=1 а,; а а ~у = К ~ 'У', тье~) = Я т)! (а-Ке!), !=1 =! откуда, учитывая равенство (8), получим: ! л л ! л э (асх, у)=~~3!( Ке!), ~~',т!~е~)= ~ ~ $!тр( Е'еь еу), (47) ! 1 /=! !=!7=1 ! И а и л (Х, аКу) =~~~", $!Е!,,У, !1~(а ~Е7)) =,У', ~ Щ(Е!, а КЕ~). (48) !=! ! 1 Г=!1=! Учитывая, что векторы е„е„..., е„(в этом же базисе) имеют соответственно координаты 1 О О О 1 О (49) О О 1 учитывая равенство 11 й 6, полагая, что в базисе е, преобразо- вание а э задается эрмитовой матрнцей А, вычислим образы век- торов е! и е~.' а Ке!=аие,+а„е,+...+а е„, (60) (51) аде! = аме!+ а,~е, +...
+ а„~е„; учитывая условие ортонормированности системы векторов ем е„..., е„, имеем (а Ее!, ет) = аси (52) (е!, а Ге~) = ац. (53) ДлЯ эРмитовой матРицы ац — — и!7, поэтомУ из фоРмУл (47), (48), (52) и (53) следует, что а л (а Кх, у) =,)', У', $д~ал = (х, а Гу). ° ! !! 1 Отметим теперь ряд свойств собственных векторов и собственных значений эрмитовой матрицы. Эти свойства устанавливаются в рассмотренных ниже теоремах. -Теорема 6. Все хиршаперистические числа эрмитсэай матрицы де!)сими тельны. Доказательство.
Рассмотрим унитарное пространство У„, размерность которого совпадает с размером п хи эрмитовой мат- 101 рицы А. Матрица А при ортонормированном базисе е„е„...,' е„ будет задавать симметричное преобразование. Пусть Л вЂ” характеристическое число матрицы А. Унитарное пространство комплексное, поэтому Л есть собственное значение линейного преобразования. Пусть е — собственный вектор этого собственного значения, следовательно, справедливо равенство (аде, е)-(Ле, е) =Л(е, е).
(54) С другой стороны, ввиду симметричности преобразования имеем (а Ке, е) = (е, а;Ке) = (е, Ле) = Л (е, е). (55) Из равенств (54) и (55) следует, что Л=Л, а это может быть только тогда, когда Л вЂ” действительное число. ° Из доказанной теоремы следует, что симметричное преобразование евклидова пространства имеет по меньшей мере один собственный вектор, так как характеристические числа такого преобразования все действительны. В дальнейшем будем рассматривать только евклидовы пространства. Теорема 7.
Если е, и е, — собственные векторы симметричного преобразования, принадлежащие к различным собственным значениям Л, и Л„то они ортогональны, Доказательство. Составим скалярное произведение: (а ~е„ет) = (Л,е„е,) = Л, (е„е,), здесь а в — симметричное преобразование. Ввиду симметричности преобразования имеем (чы а ~ев) (ет> Лаве) ' Ла (е» е) ° Сравнивая два последних равенства, можно записать, что Л,(е„ е,) = Ле(е„ е») и (Л, — Лв)(е„ е,) = О. По условию теоремы Л,~ Л„поэтому Л,— Л,~О и (е„е,) =О.
Отсюда следует, что векторы в, и е, ортогональны. ° Приведем без доказательства*' теорему о существовании матрицы симметричного преобразования диагонального вида. Теорема 8. Пусть А — матрица симметричного преобразования пространства ) >„при некотором ортонормированном базисе, Тогда суи(ествует ортонормированный базис пространства $>'„из собственных векторов матрицы А, при котором мпо симметричное преобразование задается диагональной матрицей В=6)аи(Л,Л, ... Л„), (56) где 8=- Т-'АТ; Т вЂ” матрица перехода к новому базису, а Л»(1=1, 2, ..., и) — собственные значения матрицы А.
*> Доказательство см., паврвмер: Окунев Л, Я, Вккшаа алгебра. >"ь, «Просвещевае», 19бб, с. 309, 102 Введем определения. Матрица, у которой транспонированная матрица равна обратной, т. е. Т'=-Т ' (57) называется ортогональнои. Если линейное преобразование еУ евклидова пространства при ортонормированном базисе е„е„..., е„задается ортогональной матрицей, то такое преобразование называетсн ортогональным. Теорема 9. )!ри ортогональном преобразовании евклидова пространства скалярное произведение любой пары векторов не измвншпся, т.
е. (х,у)=(~ х, Уу). (58) Пусть Т= ~тД вЂ” ортогональная матрица, задающая ортогональное преобразование при ортонормнрованном базисе е„е„ .. ~. ел. Показательство. Выражая векторы х и у через базис, получаем Х= ~ С!е! У = ~ !1~Ел 1=! г=-! Найдем скалярное произведение векторов х и у. С учетом равенства (8), (18), (11) получим л п ! л а л (х, У)=1~ $!е!, ~ !1~е~))= ~ ~с!г1;(е!, ет)= "~$!нр (59) !=! Скалярное произведение (Тх, Ту) равно л л ь л (Ф х, вУу) =~ ~ "с!(Те!), 'У, 'з)!(Те,)) = ~ г,' В!тр(еу"е!, о~ е~).
!=! !=! !=!!=.! (60) Вычислим скалярное ,'произведение (о~ е!, оУ ет), Аналогично равенству (50) имеем !к, 1ь)=(Х .. Х !,ь=! м=! л л П = ~ ~, 'т!ьт! (е„е„)= ~ тмтль (61) ь !п~ ! В выражении (61) сумма ~ тмтть равна элементу, располоь-! женному в !-й строке и 1-м столбце матрицы произведения ТТ". По условию теоремы матрица Т вЂ” ортогональная, т. с. Т" =. Т ' и ТТ" Е, поэтому для ортогональной матрицы с !раведливы равенства: (62) 'У', т„т~а=О при 1~1, Х тмтм= Х ~та'г=1' (63) следовательно, (о' Х е' У)= Х 1ЛЬ (64) Сравнивая выражения (64) и (69), получаем (х,у) =(одах, еуу). ° Из теоремы следует, что при ортогональном преобразовании длина любого вектора пространства не изменяется.
Действительно, положив в равенстве (58) у=х, получим (х, х)=(е х, е~х), откуда 1х~ '1 ТхЦ. й 8. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1. Определение и основные свойства квадратичной формы. Рассмотрим и-мерное унитарное пространство У„. Пусть х ен $г„— произвольный вектор этого пространства, а $„$„... ..., $„— координаты вектора х в некотором базисе. Квадратичной формой 1(х, х) называется функция вектора х, которая представляет собой однородный многочлен второй степени относительно координат этого вектора, т. е.
1(х, х) =,'У', ~, 'а,ДД,, (1) С=1У=1 где ац — коэффициенты (действительные или комплексные) а>. В сумме (1) всегда можно положить ац=аи, т. е. представить (1) в симметричном виде. В самом деле, пусть ацФал. Рассмотрим сумму двух слагаемых арДД. +ауДДд = (ар+од)~Д~ — — 2Ьрв9 — — Ьц~ Р +Ь!ДД„(2) он+ ад где Ьц —— Коэффициенты Ьц и Ьд равны, т. е. левая часть равенства (1) с неравными коэффициентами всегда может быть преобразована к симметричному виду. Например, пусть ~(х, х) =Я+$тэв+2эвэт.
Суммируя второе и третье слагаемое в правой части этого равенства и деля сумму пополам, получим симметричный вид квадратичИОй фОРмЫ"' 1(Х Х)=$ +-В-$йв+ 3 Ввч . 3 3 ю В дальнейшем рассматриваются ивадратичиые формы лишь с действительными иоэффицнентами. Матрица а„а„... а/„ ам а„... а,„ а„, аАй ... а„„ составленная из коэффициентов квадратичной формы, называется й/отри/(ей квадратичной 1рорй/ы. Матрица квадратичной формы всегда симметричная, т. е. а!у=а/ь или А=А'". Ранвой/ квадратичной форй/ы называется ранг ее матрицы, В частности, если матрица А невырожденнав ([(е1 АФО), то ранг квадратичной формы равен и. Такая квадратичная форма называется невырожденной.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
