Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 21
Текст из файла (страница 21)
3. Требование выполнения условия Липшица не обязательно для су1цествовзния решения уравнения (1). Существуют другие методы доказательства существования решения при предположении лишь непрерывности функции 1(1, х). Но для единственности решения требуется выполнение условий Липшица. Покажем, что правая часть уравнения х'=23/х, рассмотренного в примере 2 $ 9, не удовлетворяет условию Липшица в интервале (О, со). Действительно, пусть 1(1, х) =2)Гх, тогда, если условие Липшица удовлетворяется, то должно выполняться неравенство (1(1, хх) — 1(1, х,)~(Е~х,— х,), т. е.
~1(' ') 1('х')1. Е (хд — 'хх ) д((б.х) 1 и частная производная ' = — должна быть огранн- дх г'х ченной. В рассматриваемом примере д)(й х) 1 — т. е. дх )х' д)(П х) — ~ со при х э-О. Следовательно, условие Липшица не удовлет- дх здесь х,(х(х,. Таким образом, условиеЛипшица выполняется, и постоянная Лнпшица (.=У.
Но класс функций, удовлетворяющих условию Липшица, шире, чем класс функций, имеющих ограниченные частные про- изводные по х. Например, в уравнении х'=~х~ имеем: )(1, х) = = 1х!. При х=О частная производная ' не существует. д/(и х) Но модуль )~(1, х) — Г(У, х) (=((х,! — (х,)((! х1 — х,(, т. е. здесь условие Лнпшица выполняется и постоянная 1,=1. 2. Теорема существования и единственности решения для нормальной системы уравнений.
Пусть имеется нормальная система дифференциальных уравнений х,'=~~(1, х„..., х„) (1=1, 2, ..., а), (9) или в векторной форме Их д — =У"(1, х). (1О) Общим решением системы (9) в области 6 называется совокупность п функций х~=$(1, с„..., с„) (1=1, 2, ..., и), из которой путем выбора произвольных постоянных с„с„..., с„ можно получить любое решение, принадлежащее области 6. Будем говорить, что функция г(й х„..., х„) удовлетворяет условию Лнпшица в области 6 по переменным х„..., х„, если существует такое постоянное число А~О, что для любой пары точек (1, х„..., х„) и (1, 2„..., 2„), принадлежащих 6, выполняется неравенство У(1, х» ..., х„) — 1(1, 21, ..., х„)~ 1.
~„'!х,— 2,) (11) в ! Выше в $ 9 была сформулирована задача Коши для нормальной системы уравнений. Приведем без доказательства теорему воряется, н поэтому уравнение не имеет единственного решения, несмотря на непрерывность его правой части. 4. Если в области 6 функция ~(1, х) имеет ограниченную частную производную по х, т. е.
~ — ~(Ф, где У вЂ” некоторое д) постоянное число, то во всей этой области выполняется условие Липшица. В самом деле, оценим модуль ~~(1, х,) — )(1, х,) ~ для любой пары точек (1, х,), (1, х,) ~ 6. По формуле Лагранжа имеем: 1~(1, х,) — ) (1, х,) (=)~,(й х) (х,— х,) !(Ж| х,— х,(, существования и единственности решения задачи Коши для нормальной системы уравнений е!. Теорема 3. Пусть задана нормальная система уравнений (9), причем функции 7!(1, х» ..., х„) непрерывны по г' и удовлетворяют условию Пипшица по х» ..., х„в некоторой области б. Тогда существует и притом единственное решение х!=А!Я ((=1, 2, ..., п) системы (9), удовлетворяющее начальным условиям Ь(вз)=хкз (1=1 2 "° и) (12) определенное на некотором отрезке !з, содержащем точку (е.
Сделаем два замечания: 1. Теорема утверждает существование единственного решения на отрезке Л, содержащем точку гз. Способом, аналогичным изложенному в замечании 2 к теореме 2, это решение может быть продолжено за пределы отрезка й вплоть до границы области 6.
2. Если функция ) (г, х» ..., х„) имеет ограниченные частные производные по х! в выпуклой **> области б, то эта функция удовлетворяет условию Липшица. Действительно, по формуле Лагранжа имеем: Т (1 х! ° " х ) — !' (г. зт, ° ° ., М ) = бГ(б хз+8 (х! — х,), ...; х„+6(х„— у„)), =Х 1=! где 0(З(1. Точка ((, ха+0(х,— М!), ..., х„+8(х„— х„)) принадлежит отрезку, соединяющему точки (1, х» ..., х„) и (г', У»... ..., Х„).
В силу выпуклости области 6 эта точка принадлежит указанной области 6, поэтому частные производные ограничены. Следовательно, справедливо соотношение и )~((, х» ..., х„) — )(1 У» "., х„)~(Ф ~ )х! — У!), (13) з=! т. е. условие Липшица удовлетворяется. 3. Ломаная Эйлера и е-приблнженное решение. Рассмотрим систему уравнений (9) х! =)! ((, х» ...
„х„) (1 = 1, 2, ..., и), причем будем полагать, что эта система удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности. Совокупность и функций $г(1), ..., $„(!) называется е-приближенным решением системы (9) на отрезке Ь, есяи каждая из ю доказательство втой теоремы аналогично доказательству теоремы существования и единственности для уравнения х'=1(б х) — см., напРимер: П оптт р я г н н Л.
С. Обынновенные дифференциальные уравнения., вйзука», )97ч, ею Область 6 называется выпуклой, если вместе с любой парой точек р атой области ей принадлежит отрезок, ссединякзций зги точки. 125 этих функций непрерывна, имеет кусочно-непрерывную производную Ц(1) и ~ Ц вЂ” ~~ (1, Ь~ (1), ..., $„ (1)) ~ ~ е (1 = 1, 2, ..., и) во всех точках 1~6, кроме точек разрыва непрерывности этой производной.
Пусть задана начальная точка (1„ хнн ..., х„,) и пусть функции ~,(1, х„ ..., х„) непрерывны по 1 в области 6 и удовлетво- Х ряют в этой области условию Липшица по переменным хт, х,, ... кз х„. Можно показать, что в этом случае функции ~,(1, х„ х„) будут непрерывны по совокупности переменных 1, х„...
..., х„в области 6, Из непрерывности функций ~6(1 хы, х„) в замко "а те ьл ь,т нугой области ст еле дует их равномерная Рис. 1о непрерывность *', Та- ким образом, для любого е)0 найдется такое 6)0, зависящее только от е, что при ~1 — 1~(6, (х~ — У,~(б (1=1„2, ..., п) будет справедливо неравенство 111(1, х„..., х„) — ~~(1, х„..., Х„) )~е (1=1, 2, ..., л).
(14) Построим в-приближенное решение системы (9). Для этого разобьем область Й на кубы со сторонами, меньшими б (для случая п=1 построение проведено на рис. 15, в этом случае область разбивается на квадраты). Из точки (1„хмь ..., х„,) проведем. прямую х~=х*е+Ь(1е хте "., хее) (1 — (е) (1=1 2, ..., и). (15) Эту прямую продолжим до пересечения с одной из сторон соответствующего куба.
Обозначим точку пересечения (1„хтт,... ..., х„,). Из этой точки проведем прямую х~=хм+~~(1ы хгн ..., х„т) (1 — 1т) (1=1, 2,'..., п), которую продолжим до пересечения с одной из сторон куба; обозначим точку пересечения (1„хмо ..., х,), через эту точку еч См., например: Фихтен голь п Г, М, Основы математического анализа, т. 1., еНаука», 1968, с.
240, проводим новую прямую х!=хм+)'!(1я хм ... х.,) (( — 1,) (!=1, 2, ..., п) и так далее. В результате указанных действий получим ломаную х!=$!(1) (! =-1, 2, ..., и), называемую ломаной Эйлера. Эта ломаная представляет собои непрерывную кусочно-линейную функцию. Ломаную Эйлера мы можем продолжить до границы области с!. Покажем, что ломаная Эйлера является е-приближенным решением системы уравнений (9). Очевидно, что функция $!(1) имеет кусочно-непрерывную производную, в любой неугловой точке ломаной Ц(1) =[!((ь хы,..., х„х) (!=1, 2, ..., п), где 1ы[(ь (ь!]. Так как )! ((ь хзА ". х.л) =6 (1 ~! (1), " * $.
(Г))+ +6((ь хьь ", х.) — 6(1, $!(1), " $.(1)), а ([ ((ь хкь ", х х) — )!(г, $г(1). ", $ (1)) ~(е в силу выбора способа разбиения области с!, то справедливо неравенство !$!(1) — !!(1 4(0 " $л(1))~ =е. (16) Таким образом, построенная ломаная Эйлера является е-приближенным решением системы (9). Пусть теперь совокупность и функций ф(()) и [!Р!.(1)) есть соответственно е,- . и е,-приближенные решения системы (9). Дадим оценку разности этих решений. Оценка может быть произведена с использованием следующей леммы. Лемма.
Если Я! (!)) — е;приближенное решение, а [!р! (г)) — е,- приближенное решение сиса!емм (9), то справедливо неравенство при условии, что ~К((„) — ф!(1,) ~ =.6 для всех !'=1, 2, ..., и. Доказательство. Так как Я!(1)) — е,-приближенное решение на отрезке А, то на этом отрезке функции 5!(1) удовлетворяют системе уравнений Ц(!) =1!(1, $!(!), ..., В„(1))+О!(!) (!'=1, 2, ..., и), где !а!(Ф) /(е! на отрезке А. Аналогично, функции [ф! (!)) удовлетворяют системе уравнений !р! (() = 6 ((, !р (1), " , р.
(()) + !)! (() (! =- 1, 2, " ., и), где )!1!(1) ((е~ на отрезке Ь. Проинтегрируем обе части написанных равенств: Вс (1) = фс ((о) + $ ~с (1, фс (1), " , ф (1)) с(1 + ~ ас (с) Й (с = 1, 2, ..., и). со Аналогично получим с Р,(т)=- Р,(1,)+$),(1, Р,(1), ..., Р„(1))а+$ )с(1) (1 (с =1, 2, ..., и). Оценим по абсолютной величине разность $с(1) — с)сс(1): с 1' ! Ь (1) Ф (1) ! ~ ! Ь (1о) — с)сс Ю ! + ~ ~ ас (С) с(С ~+ ~ ~ Ч (С) с(С + 1 се с, с +!1вс, !.с!..., !.ссс-с с. с сс., с.ссс! с$ 1 са (с'= 1, 2, ..., п).
Применим к последнему неравенству условие Липшица. Для случая 1 ) 1о получим сг и 1! с! — с Рс!~с';с1(Х 1! с! — Ф(бф'~!~с-ъ)с~ — ч Ою с, с=! Просуммируем неравенство (18) по всем индексам с! и сг л Х ~! с! — Фсс~~"!»- с1(Х ~! сб — Ф юсф~сс ! и с ! + п (вт+ ес) (1 — То) (19) введем обозначение сг ссй=1[Х 1ьсй -с;йф' с» с=! и перепишем неравенство (19) в виде Й ' (1) ':„=пб + пЫ (1) + п (в!+ ес) (1 — 1с), или )т ' (1) — иаэс! (1) ~- пб + п (е, + ес) (1 — (с).
Умножим обе части последнего неравенства на е-"ьсс-с>, тогда 1Я (с) е — ьсс — Ц( пбе ис.сс — с ! с сс(в ! ес) (с 1 ) е — ис(с — си Интегрируя зто соотношение в пределах от (а до 1, будем иметь: )~ (1) е "'сс-сс! — Й (1о) =-'- — --е-™ссс-с.>+ 6 128 е + е+ (1 1 ) е(е — «ьи — гн е — еен — 8о)+ б е,+е, — — ее — е 1. б е+е е+ е '1 1)е — еьн — ь) е+ ее — есн — ьл 1 е+ е +е е +е +ь ейе АР отсюда найдем Я (1) =. — — -1- — -еееи ~ > — е' е' (1 — 1.) — „~. + .,+.. + '+ 'е ен — еа (20) еьа Теперь внесем полученную оценку (20) в неравенство (19), тогда ! $~ (1) — ф (1) ( ( лб — об+ лбе"ен — ьл — (ее+ ее) (1 — 1) ив ~ =! ее+ее 1 ее+ее „ьн еп 1 ( + ) (1 б ееи со 1 ее+ее ( пан — еа 1) е ,'~ )Ь(1) -Ф(1) ~~,'-("к-ш-1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
