Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 25
Текст из файла (страница 25)
имеет вид хг (0 'с) = (1 — т) ~1 — — 1п ~ — ~) Г+'с (1 — тз) ~- — 1п ~ — ~ — 1) . (44) г г т 11+т!1 ГГ !1+11 2 ~1 — т() '12 ~1 — 1~ 146 Тогда в соответствии с формулой (25) общее решение заданного уравнения будет иметь вид Решение ор(1) однородного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям (42), будет 'Ь( 2 ~~ го!+о) о (2- "(~ ~~ Г') о+ +1(1 — 1!)(! — $)п ~ — ',+';1) !+Го(1 — Г!)( —,' !п ~ — ',+,'1-1)1х' теперь запишем искомое решение с помощью формулы Коши: х(1)=~( — 1п ~ — ).+го) 1 (1 го) (--1п ! ~ 1)~хо+ + ~(1 — 1,) (! — -- ш ~ — !) 1+ й 1! — 1,) ( — Рл ! — ~ — 1Д х, + + ~ ~11 — т) (1 — — 1п 1 — /) 1+ г 11 — то) ( — )п ! — ! — 1)1 ) (т) от.
р (!) = — 1р, (!) =: — решение системы (3). Будем искать решеЧ~ьо (!) ние системы (3) в виде х = иорь (!) +у, (45) где и — неизвестная функция; у — неизвестная вектор-функция, относительно которой будем предполагать, что ее первая компонента равна нулю, т. е. у= Уо Подставив выражение (45) в систему уравнений (3), получим "-„- "ь(!)+и "~'~" +':-,= 4(!)(иВ(!)+у). Учитывая, что гр,(1) — решение системы (3), будем иметь -- орь(!)+„— = А (!)у.
пи йу (46) (47) 147 7. Понижение порядка линейной однородной системы дифференциальных уравнений. Выше в п. 4 было показано, что для решео)х ния линейной неоднородной системы уравнений (2) — =А (!) х+ йг +у(!) требуется найти фундаментальную систему решений линейдх ной однородной системы (3) — „= А (!) х. Общих методов нахождения ре1пения однородной системы (3) с переменными коэффициентами не существует. Однако, если известны г линейно-независимых решений ор, (!», ..., ор, (!) системы (3) (г ( и), то порядок системы может быть понижен на г.
Покажем, что это справедливо для случая г=). Пусть х = Запишем систему (47) по координатам, выделив первое уравнение: "— „", <рм (г) =,'~', аы (() уы й=г и ау~ 1с1 — — ~~ ам (() уг - — „, сри (() (( = 2, 3, ..., и). аи (48) Находя — из первого уравнения системы (48) и подставляя аи ш в последующие уравнения, получаем для компонент у; вектора у следующую систему уравнений: н -"'-=~ Ьм(()уг ((=2, 3, ..., п), (49) г=г где 6м =- ам (() — — аы ((). ря (() р„(0 (50) Система уравнений (49) имеет порядок, равный (и — 1), Таким образом, если известно одно решение системы (3), то ее порядок понижается на единицу. Покажем, что если известна фундаментальная система решений системы (49), то фундамевтальная система решений системы (3) задается с помощью формулы (45).
Действительно, пусть у, = 0 =-ф(() = ', ((=2, ..., п) — линейно независимые решения тгг,() Ф (О системы (49). Определив функции иг((), ..., и„(() из соотноше- ния л -' грм(()=- ~ аи,(0грм(() ((=2, .... и), г=г (51) подучим для системы .(3) и линейно независимых решений: й(() = рг(() $,(0=и~(игр,(()+~Ф(0 ((=-2, ..., и). (52) Установим линейную независимость решений (52). Для этого составим определитель Вронского для этой системы решений Ь ((), " Ф. ((): (рм (() и, (() (ры (() ...
и„(г) ~рм(() р . (() и. (() <р . (() + фгг И " и. (() ргг (() + ф. (() ~ры (() иг (() ~ры (г) + Ч~г„ (Г) ... и (() ~р~. (() + ф.. (() = <рм (() )р г (г) р ()) " ря Я Где ))уд (() = — определитель трау (!) " трал (!) Вронского для системы решении туз(!) ", чр (().
В силу линейной независимости этих решений (Р'т(!) ~0 на интервале (а, Ь). Следовательно, н В'(!) чь0 на этом интервале, что доказывает линейную независимость решений (52). Пример 3. Нз(гти общее решение системы линейных уравнений гй — -г = х, созе !+ хз (з(п ! соз ! — 1), |(хз — =х;(1+яп !сов!)+хе з!пз!. Ж (53) Эта система имеет частное решение хы= — яп т, ! — зш |1 т.
е. |р|(г) =|Г хгз=созт, сох! Для определения второго частного решения сделаем замену переменных: х =- = шрг(!)+у, где х=~ ~, у=~ ~. Искомая Функция у, находится из уравхз з пения — - = !Гз!пз т+ —. (з!п тесн! — 1)~ у, |(уз Г . соз ! (54) о) ! з!п! г(и 1 е| Функция и(!) является решением уравнения --- = — . (яп!сент — 1) —, г(! яп т з!п !' Решив это уравнение, получим е' осе ! и= —— (56) яп т Второе решение системы (53), линейно независимое с первым, будет йч (т) = и (!) |р, (!)+у (т), (57) Г о 1 где у(!)=(! ~. Подставив значение и(!) и уз(!) в равенство (57), получим =Ьз(!)Х' 9.(т)=~;,„.„,1. (55) Общим решением системы (59) будет х = сггрг (Г) + суре (!).
(59) 149 вместо которого, разделив переменные, получим — =(! — с(й!) Ж. Решением г(уз уз этого уравнения является е| Уз= ° яп !' (55) й нк линейные диФФевенцидльные унлвнения С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ 1. Нормальная линейная однородная система уравнений с постоянными коэффициентами. В векторной форме однородная линейная система уравнений имеет вид —,"- = Ах. Здесь А = а„... а,„ а„, ... а„„ — квадратная матрица коэффициентов уравнений — матрица-столбец (вектор) из неизвестных функций, х=Су, (2) где С вЂ” некоторая невырожденная матрица; тогда а (Су) ау — =АСу, или С--=АСу. (3) Умножая обе части равенства (3) слева на С ', получим ау Й вЂ” = С-'АСу = .гу. А,.' :Ак О Жорданова матрица г= состоит из клеток Аь О 1А„ имеющих следующую структуру: Л, 1 О ...
О О Л, 1 ... О о о ц ... о О О О ... Л где )ч — характеристическое число матрицы А, В общем случае матрицу А (см. 5 6) можно с помощью невы- рожденного преобразования привести к жордановой форме, т. е. существует такая невырожденная матрица С (ое1 С Ф 0), что С-'АС=Х Здесь Х вЂ” жорданова форма матрицы А.
Для приведения матрицы А к жордановой форме сделаем замену неизвестных функций. Положим Обозначим размерности клеток соответственно сг, вм ..., е„. Тогда систему уравнений (4) можно записать в развернутом виде е!у! — =Л,у,+у, фг еМ )!1Уг+ Уг ~Уе~-1 гУе~-1+Уе, е!! НУее л! (5) ХгУе ! егуе ~ е ! + уе +г "Уеее! л! Тогда получим первую подсистему в виде е!г! !1 ге е1г, ! е1г те — ге,у — Зе °" ! е...у— (7) Подсистема (7) легко решается, если начинать решение с последнего уравнения. Действительно, интегрируя с конца, получим еее Се, Зе,— 1 =Се,— !+Се,1 (8) !ее — 1 3! =Се+С!1+...+Сее ( Переходя по формуле (6) к переменным у,, получаем решение первой подсистемы в виде !ее — 1 У! (С!+Сгг+, +Се ! !)Сге !е, — г уг=(Сг+Сг1+ .+Се,— еге~, " (е,— а)1) У,=Се,ег е, 1в! 11уе е'геУе Каждой клетке жордановой матрицы 3 соответствует подсистема дифференциальных уравнений.
Первая подсистема системы (5) содержит е! уравнений, в которые входят только первые с, неизвестных н не входят неизвестные из других подсистем. (Эта подсистема выделена в выражении (5) пунктирными линиями.) И вообше, в любую нз подсистем системы (5) не входят неизвестные у! из других подсистем, поэтому каждую подсистему можно решать независимо от других.
Чтобы решить первую подсистему, сделаем замену переменных У! = 6 ' е1 Уг = Сг' ЗМ ° ° ° Уе, = Е ' ее,. (б) При интегрировании появилнсь произвольные постоянные с, с„..., с„, число которых равно е,. Решение остальных подсистем записывается аналогично. Напишем решение для последней под- системы: е — 1 х! Ул — е +1= Сл — е +1+Се — е +21+ ° ° ° +Сл( ! !) Е !е е и ( и и ' ' (е„ вЂ” !)!) е — 2 2!" Ул — +2= Сл — +2+ ° . ° +С„( 2)!)Е И, (л ! ул — — Слс и е здесь сл, +1, ..., сл — также произвольные постоянные.
Совокуйность решений подсистем образует решение системы дифференциальных уравнений (5). Это решение зависит от и постоянных с„с„..., с„. Выберем и раз произвольные постоянные следуюшим образом: первый раз с,=1, с,=-О, ..., с,= — О, ..., с»=-О, второй раз с,=О, с,=1, ..., с,=О, ..., с»=О, 1-й раз с,=О, с,=О, ..., с,=1, ..., с,=О, (1О) !е,— 1 ех,! (ее — !)! ее,— 2 е" ' (е! — 2)! Еье! О О е'' , .у» = У2= О О О Покажем, что эти и решений (11) образуют фундаментальную систему решений для системы (4). Для этого достаточно пока- и-й раз с, = О, с, = О, ..., с, = О, ..., сл = 1.
Каждому набору произвольных постоянных соответствует определенное решение системы уравнений (5). Решения, соответствующие указанной выше совокупности произвольных постоянных, будут иметь вид зать, что определитель Вронского ЯГ(1) системы решений (!1) отличен от нуля при некотором значении 1=12, например при 1,=0. Определитель Вронского для системы решений (11) имеет вид 2«« — ! е2,! (еЬ,! еэ,н ' '' (е! — !)! 2«« — 2 0 еь«! е! ! ' '' (е! — 2)! 0 0 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
