Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Пример 5. Решить однородное линейное дифференциальное уравнение х' — 2х'+х=О. Найделг корни характеристического уравнения ьз — 2Х+ 1=0: Л =)ч=). (58) В соответствии с равенствами (47) общее решение заданного уравнения есть х= с,е'+се(ь', Пример 6. Найти решение неоднородного дифференциального уравнения х" — 8х'+ 20х = 5(е" мп 25 (59) Пример 7. Решить неоднородное линейное дифференциальное уравнение х" — 2х'+ х = ег(1.
(60) Общее решение соответствующего однородного дифференциального уравнения получено выше (пример 5): х=с,г'+схггт. Так как правая часть уравнения е'/1 отлична от вида, определяемого формулой (54), то частное решение находим методом вариации произвольных постоянных. Согласно формуле (37) 4 11, для определения произвольных с, 'и с,' имеем систему с,'-1- с,'(е' = О, с',е'+ с„'(1е'+е') = е'/1. Найдем прежде всего,общее решение соответствующего однородного урав- нения х" — 8х' +20х=О, Корни характеристического уравненвя ьз †ах+20 имеют значения Хн е=4 З 2/, В соответствии с формулами (49) общее решение однородного уравнении будет х=-сгемьал г+сМЯ4 — за г ец (с~ сов 21+с Ип 21).
смтзлг — ем злз Так как енз)п21= ., а 4 ш 21 является корнем характеристи- 21 ческого уравнения, то частное решение неоднородного уравнения в соответст- вии с формулой (57) имеет вид х (1) = 1 (а, + Ьей е" ми 21+ 1 (ах+ Ьей е~ соз 21. Козффициенты ам Ьм а„, Ьа можно определить, подставив х в уравнение (59), сократив иа е" и приравняв коэффициенты у выражений вида )аа)п21 и )а соз25 Общее решение неоднородного уравнения получим в виде х=ен (сх сов 21+се з)п 20+к(1).
решив агу систему уравпепий по правилу Крамера (см, 4 4), получим: сг 0 е~ ем е' 1 с'= 0 !сд — !с +е е — ее и евг с' =-— ! ег !сг е' 1е'+е' согда се= — !+сг, се=!и (1)+се. ь;бшес решение уравнении (00) согласно формуле (Зб) $ !1 будет иметь вид х=-( — 1+ с, ) е'+ (1п ! ! ', +с )!е'=сгег+се!е'-~-1е' (!п ', ! ! — !). 5. Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными козффищ!ентами удобно записывать в символидх веской (опера!нормой) 4юрме.
Введем обозначение — — - = рх; здесь Ж символ р является опвраторол дифференцирования. Тогда й-я производная от х может быть записана в виде а (6!) С помощью введенного символа р интеграл ~ хй! можно запи- 1 1 сать следующим образом: ~ х(!) й(= — х. Действительно, замер го пив производную символом дифференцирования, получим тож- дество Операция дифференцирования является линейной операцией, т. с. если имеются дне функции х(!) и гг(!) н постоянное число а, то справедливы равенства р (х+ д) = рх+ ру, р (ах) = арх, Пусть '(, (р) = — пер" + агр"-г+... + а„— некоторый многочлеп от р степени и.
Дифференциальное уравнение (43) с учетом введенных обозначений можно записать так: Е, (р) х =- О. (62) )Ыногочлеп '!. (р) можно понимать как дифферен!!иальнай операппор, который ставит в соответствие функции х (!) линейную комбинацию производных этой функции до п-го порядка, т. е. ! (р) х=аех!"!+а,х!"-'!+...+а„х. Оператор ! (р) является линейным, т. е. для функций х (!) и у(!) и постоянного числа а справедливы равенства ! (р) (х (!) + й (!)) = !. (р) х (!) + !. (р) у (!), !.
(р) (ах (!)) = а)- (р) х (!). Пусть Ег(р) и Е,(р) два дифференциальных оператора; тогда справедливы следующие свойства: 1) (Ег (Р)+Ее (Р)1 х(() = — Ег (Р) х (()+Ее (Р) х ((); 2) Е (Р) (Ев (Р) х (()) = Ег (Р) Е (р) х (т). (63) Линейная система дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в операторной форме имеет вид ~ Ем(р)х,=О (г'=1, 2, ..., и), (64) где Егь(р) — многочлены от р с постоянными коэффициентами. Обозначим иа — наивысший порядок производной функции ха в системе (Г>4), тогда порядок системы (64) Л>=-и,+и,+...+т„, В дальнейшем будем предполагать, что определитель системы (64) не равен тождественно нулю, Ем (Р) ° .
Етл (Р) О (р) = . . . цй О. (65) Е т (Р) ... Е (Р) Пример 8. Записать систему уравнений х" +у'+х+у'=О, х'+2у'+у'+х=о в операторной форме. Имеем: (реме)) х+(р'+() у=-О. (р+)) х+(>рэ+р) у=О, Определитель 0(р) этой сис>смы ре+) г ) 0(р)=-! )=2р~пьре — ) ив о, р+1 2р'+р а порядок Д>=>пг+п>с=2+2=4. Покажем, что степень многочлена Е)(р) пе превосходиг поря- док системы Л>, В самом деле, степень каждого многочлсна Еге (р) не превосходит числа та. Таким образом, Ем(р).-.=апра"ь+..., где многоточием обозначены члеиьк содержащие более низкие степени р, причем некоторые ам могут быть равны пули>.
Определитель 1г(р) системы (64) нмссг вид Е (Р) "° Е (Р) (р) .. Е„.(р) >и м аг,р г+... а„р '+,.....а,„р +... аа,Р г +... и,„Р '-' -1 -...... ае„Р э' +... =.РмЛ+. а„,рмг+... аэ,р е+......а„,р"" +... где Л есть определитель матрицы А=(аД. (От Если Л ~ О, то степень многочлена 1г (р) равна г))'. Если Л=О, то степень многочлена В(р) меньше 1)г. В случае когда определитель Л Ф О, система (64) называется нормалггзуемой.
'В этом случае систему (64) можно разрешить относительно старших производных р "х„и, следовательно, привести к нормальному виду. Покажем, что система (64) может быть сведена в некотором смысле к одному дифференциальному уравнению, а именно, если система функций х))=-в„(1) (уг=-1, 2, ..., и) является решением системы уравнений (64); то каждая функция 5)) (г) удовлетворяет дифференциальному уравнению 1у(р) х=О. (66) Действительно, так как х,=~„(1) ((г=1, 2, ..., уг) есть решение системы (64), то справедливо тождество ч 1.)д(р)$ь(1)= — О (г=1, 2, ..., и). ь=! Умножим обе части каждого из этих тождеств на алгебраическое дополнение Лг~(р) элемента 1.)~(р) в определителе О(р) н прол л у ру )) у. Ау)р)(Г г ь)р)!)))) 0 П у р г=! г.=! у у у """: ~,)7 Ау)у) ь ) ° )Ь))))=о.
Так как сумма произведений элементов какой-либо строки ' определителя на нх алгебраические дополнения равна определителю, а сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю, то ч Х Аи(р)1. (р) =61.1)(р), г= ! где 61„рбозначает символ Кронекера, ~1, если 1=)г, 6,,=1 ' (О, если 1~1. Таким образом, во внешней сумме останется только одно сла- гаемое, соответствуюшее индексу 1=12 Окончательно имеем: 0(р)Ц1(1) — О (1=-1, 2, ..., и), Мы показали, что любая компонента $1 (1) решения системы (64) удовлетворяет уравнению (66).
Не следует, однако, полагать, что взяв и произвольных решений $г (1), ..., $„(1) уравнения (66), можно получить решение системы уравнений (64). Рассмотрим задачу о нахождении обшсго решения системы уравнений (64). Пусть Лг, Л„..., Л вЂ” различные корни харак- теристического уравнения /л(Х) =-О, а /г„ /г„..., /г„— их кратности, причем /гт+/га+...+/г„=/г/. В этом случае фундаментальную систему решений уравнения (66) образуют функции е'!', 1е~*', ..., 1гн 'ек" (г=1, 2, ..., р), н общее решение уравнения (66) будет х=,т, ~~ сг//7 е ! . (67) (69) Как показано выше, любая компонента хо=$а(1) решения системы (64) является решением уравнения (66), а следовательно, имеет вид (67), т.
е, /о — 1 5а(1) =- ~, ~ ~ сц1! е'! (й=-1, 2, ..., и).' г=о Остается выяснить, при каких соотношениях между произ- вольными постоянными с,.",. написанная система функций йв (1) представляет собой решение системы (64). Прежде чем перейти к определению этих соотношений, покажем с помощью следую- щей леммы, что структура решения системы (64) может быть упрощена.
Лемма приводится без доказательства. н /! /ю — ! Лемма. Если функции йа (1) = ~" ~ ~" ст1! е ' (/г = 1, 2,..., и) Н=о являются решением систелгы (64), та функции /е — ! 5а(1)=-~ ~ с171! е"' (!=1, 2, ..., р) (68) т=о также являются решениями систеиы (64).
Система (64) является нормализуемой, следовательно, суще- ствует фундаментальная система репгений. Из приведенной леммы следует, что фундаментальную систему решений нужно искать в классе функций о! — ! хо= ~ сеэ/ге ' (/г=-1, 2, ..., и). !=о Для определения соотношений между произвольными постоян- ными со. следует подставить решение (69) в систему уравнений н хгг (64) и сократить полученные выражения на е' Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения произволь- ных постоянных стш Эту операцию нужно проделать для всех корней Ц (1 = 1, 2, ., р) характеристического уравнения О(Х) = О, Пример 9.
Найта общее рви!ение системы уравнений х"+у"+х+у=::О, х'+2у +у'+2х=о. (70) Запишем систему (80) в операторной форме: (па+1)х+(ре+1)у=О, (р-1-2) х+(2р'+р)у=О; определитель О=~ ~=2ФО, следовательно, сисгема (70) нормалнзуема. Определитель заданной системы О (р) = ~, ~ =-(рз+ !) (2ра — 2). ! рэ+ ! да+ ! ~ р+2 2рз+р Корни характеристического уравнения 0 (Л) =0 Л! 1' Ла ! )а ! Ла Найдем решения системы (70), соответствующие различным корням характеристического уравнения. Рассмбтрим при этом четыре случая: 1) Л,=! В соответстрии с формулой (69) решение ищем в виде хе=ага!, у,=-азе!. (7!) Подставим зт выражение в систему уравнений (70) и сократим полученные равенства па ер, Будем иметь следую!цие уравнения для определения коэффициентов а, и аа: О.а,-(-0 ах=О, (2+!)а,+( — 2+!)а..=О.
Определитель этой системы ранен нулю, следовательно, система будет неопределенной. Ес решение есть, например, а,=2 — !. а,=2+!. Тогда решение системы (70), соответствующее корню Л,=! характеристического уравнения (7 (Л) — -О, будет х,— (2 !)ег!, у,=(2+!) ер. 2) Ла=- — !. Решение системы (70) ищем в виде хе=-ате 7, уз=ау 7. -т Постоянные а, и аа определяются из уравнения а,( — !+2)+( — 2 — !) аз =О. Имеем а,=-2+1, а,=2 — 1, откуда ранением системы (70), соответствующим корша Лх=- — ! характеристического уравнения (7(Л)=0, будет ха=-(2+!)е тт, уе=(2 — !)е 7т, Решения х,, ут и хм 'уз системы (?0) запишем в действительной области. 7(ля этого а качестве решений возьмем х,+хе у,+уэ хт — хе ут — уэ ег= уг= 2 ' 2 2! ' 2! н хе=,, уз=- Матра!та перехода от решений хп у, и х„у, к решениям хт, у, и х„уа 172 1!2 172! — 172! ~ имеет определитель, отличный от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
