Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 30
Текст из файла (страница 30)
По индукции получим, что все коэффициенты Ьл с ((счет((ыми номерами равны нулю: Ьз! г=о (1=1, 2, ...), (24) а коэффициенты Ьл с четными номерами определяются из рекуррентиого соот- 1 ношения Ь,г= — — Ь,! „(1=1, 2, ...): 4(з Ьм=( — 1) и Ьо (1 1 2. " ).
1 Таким образом, окончательно решение уравнения (20) является степен- ным рядом (26) Легко проверить, что ряд (26) сходится при любых значениях 1. ф„(1, х„..., х„) =с„ (28) 176 4. Метод понижения порядка. Вначале введем некоторые определения. Оба(цм решением системы уравнений — '=7((1, х„..., х„) (!=1, 2, ..., и) (8) в некоторой области б называется совокупность п функций х(=грг(1, сы ..., с„) ((=1, 2, ..., п), (27) нз которой путем выбора- произвольных постоянных с„..., с„ можно получить любое решение, принадлежащее области б. Разрешая соотношение (27) относительно произвольных постоянных с„..., с„, получим п уравнений вида т))т(1, хх, ..., х„) =с„ Совокупность равенств (28) называется обп(им интегралом системы (6), а каждое из этих равенств — первылг интегралом атой системы. Первый интеграл можно определить также как соотношение, содержащее в левой части независимое переменное и искомые функции и принимающее постоянное значение, если вместо искомых функций подставить какое-либо решение системы (6), Если известен первый интеграл, то порядок системы может быть понижен на единицу.
Действительно, пусть тр ((, х„... ..., х„)= —,с — первый интеграл системы (6). Выражая из него одну из неизвестных функций х„через (, остальные неизвестные функции х,, ..., хь т, хь„, ..., х„и произвольную постоянную ас ха=ту((, х„..., ха.„хасы ..., х„, с) и подставляя зто выражение вместо хь в исходную систему уравнений, получаем систему из а — ! уравнения с и†1 неизвестными функциями. Таким образом, порядок системы уравнений оказывается пониженным на единицу. Лналогично, если известны г независимых первых интегралов, то порядок системы понижается на г единиц.
Пример 4. В теоретической механикс встречается сисгема уравнений А -- -= — ( — С) уг,  — — =(С вЂ” Л) хг, С вЂ” =(Л вЂ” В) ху, (29) нх с(у г(г сс)( ' гм ' оч которая описывает движспис твердого тела вокруг неподвижной точки. Здесь А ) В С ) 0 — заданпыс постоянныс (главныс моменты ивернии твердого тела), а х, у, г — составляющие вскгора мгновснаай скорости. Найдем решение этой системы методом понижения порядка. Умножая уравнения (29) соответственно на х, у и г и складывая зги уравнения, получаем Ах — -.
+Ву — —. + Сг — - - =- О. г(х од ог (30) Интегрируя выражение (30), получаем один первый интеграл системы (29) Ах'+ Вд'+ Сг' = — т', (31) где т — произвольная псктояппая. Умно'кая уравнения (29) соответственно на Лх, Ву, Сг и складывав, найдем Лех .+Взу.. +Сзг -=О, откуда получим еще один первый интеграл системы (29) Лзхз + Вгдз -1. Сага = пз (33) где л †произвольн постоянная, Воспользуемся полученными интегралами для понижения порядка системы уравнений (29) до первого.
Рошая соотношения (31) и (33) относительно хз и уз, найдем х'=-олен-п, уз=.— Ргз+Ь, (34) где С ( — С) С (А — - С) пе -- Вгпз Л(лз — пз А(А — В) ' В(Л вЂ” В) ' А(А — В) ' В(А — В') ' Подставляя значения х и у в третье уравнение системы (29), найдем — г (аз«+а) ( — рз«+Ь) . с(г А — В Ж С (35) Получили уравнение с разделяющимися переменными, которое легко решается. В этом примере мы находим интегралы путем умпсакения уравнений системы (29) на такие выражения, чтобы при последующем сложении в левой части получилась полная производная по Г, а правая часть обращалась в воль. Приравнивая соответствующие первообразные фушсции псютоянссым, получасы первые интегралы, 5.
Метод фазовой плоскости. Метод фазовой плоскости является графическим методом решения дифференциальных уравнений. Он отличается своей наглядностью и возможностью получения решений для любых начальных условий. К недостаткам метода фазовой плоскости следует отнести то обстоятельство, что метод применим только для решения уравнений второго порядка либо для системы двух дифференциальных уравнений первого порядка, причем правые части системы уравнений не должны явно зависеть от 1 (система должна быть автономной). Более подробно вопрос построения фазовых траекторий системы дифференциальных уравнений рассглотрсгг в следующем параграфе, 6.
Метод гармонической линеаризации. Метод гармаш'.ческой линеаризации применяется для приближенного определения параметров периодического решения нелинейного дифференциального уравнения. С помощью метода гармонической линеаризации можно выяснить существование периодического решения нелинейного дифференциального уравнения, а такнсе определить параметры этого решения и исследовать его устойчивость, Условие применения метода гармонической линеаризацин и сам метод описаны в гл. Х!!1, Кроме изложенных методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, в настоящее время широко распространены различные вычислительные методы решения уравнений на аналоговых и цифровых вычислительных машинах.
В настоящей книге эти вопросы не рассматриваются *). й 14. ФАЗОВЫЕ ТРАЕКТОРИИ АВТОНОМНЫХ СИСТЕМ 1. Фазовые пространства автономных систем. Рассмотрим автономную систему дифференциальных уравнений в нормальной форме л(' —— -)с (хт,, х.) (с = 1, 2, ..., и). (1) Правые части )с (хы ..., х„) уравнений системы (1) являются функциями переменных ль ..., х„и не зависят от времени й *' Методы рспюпня дифференциальных уравнений па аналоговых вычислительных машинах рассмотрены в кпл Л свин Л. Методы решения технических задач с использованием аналоговых вычислительных машин.
«Мир», !986. 178 Полагаем, что функции 1>(х„..., х„) определены и непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в выпуклой области 6 пространства размерности и, координатами которого являются переменные хо ..., х„, Из нашего предположения следует, что система (1) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения (теорема 1 9 10). Решения автономной системы уравнений- облздают важным свойством, состоящим в том, что если имеется некоторое решение системы (1) х;=5;(!) (1=1, 2, ..., >г), то выражение х>== '=-$>(!)=Ь(!+с) (1=1, 2, ..., и), где с=сонэ!, есть также решение этой системы. Действительно, так как 5;(!) (1=-1, 2, ..., и) есть решение системы (1), то справедливь> тождества =— );($,(У), ..., 5„(!)) (1=1, 2, ..., и).
Заменив в этих тождествах ! на !+с, получим з(> ! .) =)> (Ь (!+с) ' '' $а(!+с)) (1= 1 2 и) Но ' — ~' ) — ~' ( ), поэтому справедливо тождество з (г+ с) а. й! — ', — — = !>(9>(!), ..., $„(!)) (1=1, 2, ..., п), т. е, функции х> = 4Ф) = К (!) (! =1, 2, ..., и) являются решением системы (1). Дадим геометрическую интерпретацию решений автономной системы (1).
Эта интерпретация будет отличаться от геометрической интерпретации решений, указанной в 9 9. Пусть х>=$>(1) (1= — 1, 2, ..., и) (2) — некоторое решение системы (!). Рассмотрим п-мерное пространство с координатами хо ..., х„и поставим в соответствие этому решению движение точки в и-мерном пространстве, задаваемое уравнениями (2). При непрерывном изменении времени ! в диапазоне — со(!(со точка опишет в соответствии с уравнениями (2) некоторую кривую — траекторию, называемую фазовой траекторией. Точка, которая перемещается по фазовой траектории в соответствии с уравнениями (2), называется изображаюи)ей точкой, а пространство размерности п, в котором геометрически интерпретируются решения системы (!) в виде фазовых траекторий, называется й>озоаым пространством.
Нетрудно показать, что фазопые траектории, соответствующие различным решениям системы (1), не могут пересекаться. Однако различным решением этой системы может соответствовать одна и та же фазовая траектория; другими словами, фазовые траектории для различных решений системы (1) могут совпадать, Покажем, что если фазовые траектории для различных решений системы (!) имеют хотя бы одну общую точку, то они совпадают, В самом деле, пусть х;=:ф>(!) (1=-1, 2, ..., и) (3) есть некоторое другое решение системы (1) и пусть траектории, соответствующие решениям (2) и (3), имеют общую точку, т, е, Цг(11)=-фсЩ (с'=-1, 2, ..., и).
(4) Рассмотрим решение системы (1) х~ = $~ (!) =- $; (1+ с) (1 = 1; 2, ..., и), (5) где с=1,— 1,. Решение (5) имеет в момент времени 1, согласно равенствам (4) одинаковые начальные условия с решением (3): $~ (Я = Ь'(!е+ с) = ~ (!е+1~ — 1Д = $; (!г) = ф (1х) (! = 1, 2, ..., и) и поэтому в силу теоремы единственности решения (3) и (5) совпадают друг с другом, т, е.
чь(!) ==$~(!+с) (1=1, 2, ..., п). (6) Из тождеств (6) следует, что для обоих решений (2) и (3) изображающая точка описывает в фазовом пространстве одну и ту же траекторию, но для первого решения эта точка отстает по траектории на время с. Таким образом, решение автономной системы дифференциальных уравнений (1) можно интерпретировать как процесс движения изображающей точки по фазовой траектории, причем фазовые траектории для различных решений системы (1) либо не пересекаются, либо совпадают. Ранее, в 3 9 реп|ения системы дифференциальных уравнений рассматривались как некоторые кривые — интегральные кривые в п + 1-мерном пространстве с координатами 1, х„ ..., х„. Каждому решению в той области пространства, в которой выполняются условия теоремы существования и единственности решения, соответствовала единственная интегральная кривая.
Фазовые траектории можно рассматривать, как проекции интегральных кривых в и+ 1-мерном пространстве на п-мерное, пространство хе, х„ ..., х„, причем проекции различных интегральных кривых либо не пересекаются, либо совпадают. Для случая и= 2 интегральные кривые и их проекции при. ведены на рис. 17, на котором показано, что двум решениям й(1) и й(!)-й((+с), отличающимся сдвигом по времени, соответствуют разные интегральные кривые, но одна фазовая траектория. Можно дать геометрическую интерпретацию не только решениям, но и самой системе уравнений (1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
