Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Получим снсюму иэ двух уравнений для определения коэффициентов аг и аз, 2аз — аз=О, — 4а,+2а,=О. Определитель полученной линейной однородной системы алгебраических уран. пений равен нулю, поэтому система имеет нетривиальное решение: а =с, оз=сн2. Следовательно, первое решение исходного уравнения: таким образом, /сг+св, се — сг ! хг=( г в +! е г !с'яглг у,=(сг+!ся\е'эгдй Так как Л,=Лт, то второе решение будет сопряженным к первому; это решение — — 1 см-лт, Ут=(с — /сг) е'г-л, /сг+сэ . сэ — сг ! 2 2 Общее решение заданной системы уравнений имеет вид =ем ((с,+сысоя!+(ст — с,) а!п !), У = гэ' (2сг осе ! — 2ся мп Г). Пример 3. Решить систему уравнений дх ау аг — = 4к — у-г, — — = х+2у — г, — =х — у+2г.
Й = (34) Определим корни характеристического уравнения системы (34): 4 — Л вЂ” 1 — 1 1 2 — Л вЂ” 1 =О; Л,=2, 1 — 1 2 — Л После подстановки значений хо уо гг в систему (34) и сокращения обеих частей полученных равенств на еэ' получим следующую систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов ао ам аг,. 2аг — ае — аа=-О, а,— аз=О, аг-аз=О. Решая эту систему, будем иметь аз=с„а,='а,=с„а,=аз — --с,, Найдем теперь решение, соответствующее характеристическому корню Лэ=Лг=З. Согласно формуле (15), решение ищем в виде х =(аг+ь,г)стг, у =(а +ьгг)см, ге=(аз+ьДем. (37) для определения коэффициентов а; и Ь; (г=1, 2, 3) подставим выражение (37) в систему (34) и сократим полученные равенства на гтг: Ь,-(-3(а,+ЬД 4(аг+Ьг!) — (ая+Ь,!) — (аз+Ьзг), 6, + 3 (ае+ ЬД = (аг+ ЬД+ 2 (а,.
+ ЬД вЂ” (аэ+ Ьг!), Ьа+3 (аз+ уз() =-(аг+Ьт() — (аг+ Ьэ()+ 2 (аз+ Ьзг). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 1 в этих равенствах, получаем следующие системы уравнений для определения коэффициентов а; и Ьг (1=1, 2, 3): Ь,— Ь,— Ь,=О 1 Ьг — аг+аэ+аз=О ) (33) Ь,—,+,+а,=о ). (33) Ьэ — агф се+аз=О 160 Первое решение системы (34), соответствующее характеристическому корню Лг=2, ищем в виде хг = агея, уг — — неся, гг — — ага~, (33) Из системы (39) следует, что Ь,=Ь,=Ьз, Из системы (38) найдем Ь,=Ьз=Ьз=О. Тогда решение системы (39) будет а,=-с„аз=-сз аз=с,+с, Пример 4. Решить систему уравнений -- = 2х+у+2е, ---=-х+2У вЂ” Зе'.
с(х с ду 31 ' с(1 (40) Вначале найдем общее решение однородной системы: с(х с(у — = 2х+у, — = х+2у. с(1 (41) Корни характеристического уравнении атой системы: 1 2 — )с 1 =)сз — 4)с-"-3=0; )сс=З, )е=1. 1 2 — )с) Тогда имеем: хс=асезс 1 — а,+«,=0, 1 газ=а,=ос; Ус=-«У~с, ас — аз=О 1 хз=асес ') аз+а,=О, ) а =с, уз=аз« ° ) аз+~=0, ) «з= — сз. Таким образом, общее решение однородной системы (41) имеет вид Х=есстг+Сзсг, У=есст -Свсс. Найдем частное решение неоднородной системы (40) Так как )с.=! является корнем характеристического уравнения, то частное решение в соответствии с формулой (31) ищем в виде х=(ас+ЬДес+с(се«, у=(аз+Ьзг)ес+й~Ф.
(421 Подставляя (42) в систему уравнений (40), получаем: (а,+Ь,+Ье0е'+4с(с«а=-(2а,+2Ь,1) е'+2с(гесс+(а,+Ьзг) е'+с(усс+2ес, (аз -1- 6, -1- 6,1) ос + 4сьсссс = (а, -1- Ьс1) ег+ с(се сг+ (2«, + 2Ь,1) с'+ 2с(зеа — Зевс, или а,+Ь,+Ь,1=2«,+2Ь,1+а +2Ьзс+2, 2с(с — с( =О, а,+Ь,+Ьзг=а,+Ь,!+2аз+2Ь,1, 2с(з — с(с+3=0. Приравнивая кочффициенты при одинаковых степенях 1, получаем системы УРавнений дла опРеделениа неизвестных ком(хфициесстов ас, аз, Ьс, Ьз, с)с, с(зс а,+аз — 6с= — 2, Ь,+6,=0, 2с1,— ~=0, а,+а — 6 =О, с(г — 2с( =3. Ь,+6,=-0, Решая зги системы, найдем: а,= — 1, щ=О, Ь =1, с(с= — 1, с1,= — 2, Тогда общее решение неоднородной системы будет иметь вид х = с,с" + с.,е' — (! — 1) е' — с", у с,еас — с,е' — гс' — 2зс', 161 6 о. р. Чвиояввовв, т.
1 С учетом найденных значений коэффициентов общее решение системы (34) запишется в виде х=с езс+(сз+сз) езс у=-сссзс+сзезс а=стев~+свез~ 4. Линейное уравнение и-го порядка с постоянными коэффициентами. Линейное однородное уравнение п-го порядка с постоянными коэффициентами имеет внд аох~"'+а,х<"-Н+ ... +а„х=-О, аоФО, (43) где а„а,, ..., а„— постоянные числа, в общем случае комплексные, Путем введения новых неизвестных функций хо к хо — г к . Хд=хы П это уравнение сводится к системе уравнений (44) причем матрица 0 1 0 ... 0 0 0 1, 0 0 0 0 ...
1 а а о а ао ао оЬ~ ао Характеристическая матрица для системы (44) имеет вид — Л 1 0 ... 0 0 — Л 1 ... О 0 0 — Л ... 0 (45) 0 0 0 ... 1 а„ ао а„, ао а, — — — — Л ао ао ''' ао А — ЛЕиэ ОО...М(Л) Отсюда следует, что если многочлен М (Л) имеет корень Л, кратности ео то матрица (45) имеет элементарный делитель (Л вЂ” Ло) 5 и никаких других элементарных делителей, которые представ- Определитель этой матрицы бе1 (А — ЛЕ) = (а,Л" +а,Л"-'+... +а„) ( — 1)" = М (Л).
(45) Вычеркивая первый столбец и последнюю строку матрицы (45), мы получим матрицу, определитель которой равен единице. Таким образом, наибольший общий делитель миноров (и — 1) порядка матрицы А — ЛЕ д„, =-1. Поэтому матрица А — ЛЕ эквивалентна матрице: 1О...
0 лялись бы некоторой степенью (Х вЂ” Х,), матрица (45) не имеет *'. Поэтому, согласно формуле (9), корню Ц кратности е~ будут соответствовать е, решений вида (се+сД+се1е+...+с,, 1('*' ') е~~'. В качестве линейно-независимых решений, соответствующих корням характеристического уравнения Хо Х„..., )„, можно взять решения х,=е", х,=(е", ..., х„=!э -'е"', хм ~ ~ =-ехм, ..., х„= =- г'н е~и'. (47) Действительно нетрудно убедиться, что определитель Вронского, составленный для этих решений при ( = О, Уй'(0) =- и =- Ц (с; — 1)! =~ О.
~=1 Если все коэффициенты ае уравнения (43) действительны, то каждому комплексному корню характеристического уравнения Х, = — а„+(Ре соответствУет сопРЯженный с ним коРень ).е = — а„— У()ы причем той же кратности. Тогда каждому решению уравнения (43) х, = ('ехе' = ('еи~ Ф (соз ()„(+ 1 и 1п ре1) (48) соответствует решение х, = х, = ('е"е' =-('и" э' (соз Рэ1 — 1 з(п () „т) (48') того же уравнения. Поэтому уравнению (43) будут удовлетворять действительные функции х,= ' =-Ге'е'соз'р,1, х,= ' . ' =1'е"е~з1п(1лй (49) Пусть мы имеем п линейтю-независимых решений уравнения (43) х„х„..., х„, причем х, и хе определяются выражениями (48), Тогда п других решений х„х„х,, ..., х„являются также линейно-независимыми.
Действительно, матрица перехода от первой системы решений ко второй имеет вид 0...0 1 ! — 0 ... 0 0 0 1 ... 0 0 0 О ... 1 Ее определитель не равен пулю, следовательно, и решений х„ х„ х„ ..., х„ линейно-независнмы. Таким образом, в том слу- " Ое элементарных делителях матрицы ем. $ б. чае, если коэффициенты уравнения (43) действительны, можно получить п действительных линейно-независимых решений..
Для линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами аох1о1+...+а„х=~(0 (50) решение х(1), удовлетворяющее начальным условиям х((о)=хо, х ((о)=хо, ..., хго '((о)=хо" может быть получено с помощью формулы Коши х(1) =ор (С) +~ х,(1 — т)1". (т) о(т, (52) ь (51) 1б4 где ор(1) — решение однородного уравнения (43), удовлетворяющее начальным условиям (51); х,(() — решение уравнения (43), удовлетворяющее начальным условиям хо(0) =-х, (0) =... =х1о (0) = — О, х)" (0) = — 1.
(53) Формула (52) оюзволяет по известному решению однородного уравнения (43) получить любое решение нсоднородного уравнения при произвольной правой части 1(1). Если правая часть Г(1) уравнения (50) имеет вид 1 (г) = с1ае'о, (54) то частное решение может быть найдено методом неопределенных коэффициентов. Если число оо является корнем характеристического уравнения М(Л)=0 кратности т, где М(Л) определяется выражением (46), то частное решение следует искать в виде х (1) Ма+~ (1) еао (55) где Ма+о (г) — многочлен по 1 с неизвестными коэффициентами степени не выше р+т. Пусть многочлен Мако(1) имеет вид М'+'(() =Ь,+Ь,(+...+Ьао,(а '. Корню характеристического уравнения Л = а соответствует о линейно-независимых решений однородного уравнения (43) вида (с,+с,1+...+е, г1 ')е"'.
(56) Выше было показано, что разность между решением неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений и решением соответствующей ей однородной системы является также решением неоднородной системы линейных дифференпиальных уравнений. Это справедливо и для линейного неоднородного дифференциального уравнения порядка и.
В выражении (56) можно произвольные постоянные с; считать равными коэффициентам при одинаковых степенях г' многочлена Мачт ((). Позтому, вычитая из решения (55) решение вида (56) однородного уравнения, получим частное решение неоднородного линейного дифференциального уравнения п-го порядка х (() = М" (7) ('е", (57) где МР (() — многочлен от ( с неизвестными коэффициентами степени не выше (). Козффициенты многочлена Мв (7) можно определить путем подстановки выражения (57) в уравнение (50) и приравнивания конг)арициентов при одинаковых степенях в выражении, полученном после сокращения обеих частей равенства на еа'. Если правая часть уравнения (50) 7(7) имеет вид, отличный от (54), то частное решение может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
