Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Для этого каждой точке (хкь ..., х„,) =-х„ области 6 фазового пространства поставим в соответствие вектор ~(х,) с координатами ~,(х„), ..., Д,(х„), выходящий из этой точки. Система (1) будет задавать в области б векторяое поле. Пусть х~ =-~~ (г) — решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям $,(!е)=хм (1=1, 2, ..., и). Этому решению соответствует фазовая траектория, выходящая в момент времени 1„нз точки х„. Тогда вектор 7 (х,) представ- ляет собой, как это следует из тождества — = — 6 (к!а,, к„„) (1 =-1, 2, ..., и), Ж«(01 ш. !г=-ц вектор скорости движения изобража!ошей точки по траектории в момент времени 1„. Вектор Т(хе) носит название веапора фаэовой скорости.
Рнс. !7 В фазовом пространстве существует три вида фазовых траекторий»1. 1. Фазовые траектории, которые соответствуют решениям системы (1) вида (7) 9»(!)=а«(1=1, 2, ..., а). В этом случае изобража1ощая точка в фазовом пространстве при изменении ! не перемещается, а стоит на месте; фазовая траектория для решения (7) называется состоянием равновесия.
2. Фазовые траектории, для которых решение системы (1) является периодическим, т. е. существует такое действительное число Т) О, что выполняется условие ц»(!+Т)=д»(7) (1=1, 2, ..., и). (8) В данном случае фазовая траектория будет замкнутой и называется циклом, минимальное из чисел Т, удовлетворяющих условию (8), носит название периода цикла. Чтобы траектория не вырождалась в точку, требуется существование таких значений у=т, и 1=т„удовлетворяющих условию ~т,— т,~(Т, чтобы хотя бы для одного 1 было справедливо неравенство 5» (т») Ф 9«('тя). Состояния равновесия и никл!л являются самопересекающимпся фазовыми траекториями, Действительно, если фазовая траектория представляет собой состояние равновесия, то соотношение Ь~ (т») = $! (т,) (1 = 1, 2, ..., п) «' См., например: П о и г р я г и н Л.
О. Ооыкноееиные днфференннальные ураапения., «Наука», 1974, е 105. 181 справедливо для любых т, и т, Это же соотношение справедливо и для цикла, сслп т, и т, удовлетворяют условию ) тт — т, ~ -=- йТ (й ==- 1, 2, ... ). 3, Фазовые траектории без сзмопересечений, которые соответтпвуют решениям х;=~,(1) (~'=-1, 2, ..., и) системы (1), обладающим тем свойством, что ие сушествует значений т, и т„ удовлетворяющих условию 1л(т,)==5,(тз) (1=1, 2, ..., и). т1ерез каждую точку фазового пространства проходит фазовзя траектория, которая соответствует некоторому решению системы (1), Все фазовое пространство окззывается заполненным не пересекающимися друг с другом фазовыми траекториями, Среди этих траекторий особое место занимают самопересекаюшиеся фазовые траектории, к которым относятся состояния равновесия и циклы.
Следующая теорема указывает на связь состояний равновесия с фазовыми скоростями. Теорема 1. Для того чтобьч оючка а = (а„..., а„) была состоянием равновесия, необходимо и достаточно, чтобы вектор фазовой скорости у(х„..., х„) в вспой точке обратился в ноль. Доказательство. Вначале докажем достаточность условий теоремы.
Пусть в точке (а„..., а„) вектор фазовой скорости обращается в ноль, т. е. ),(а„...,.а„)=0 (1=1, 2, ., п). Тогда система (1) имеет решение $,=а; (1=-1, 2, ..., п), соответству|ощее состоянию равновесия. В самом деле, при подстановке ~;==а, (1=--1, 2, ..., я) с систему (1) получим тождество — '=.);(ап ..., а„) (ю'=1, 2, ..., п), лс так как производная от постоянной величины равна нулю, а ),(а„..., а„) =0 (1=-1, 2, ..., и) по условию. Достаточность условий теоремы доказана. Докажем теперь необходимость условий теоремы.
Пусть система (1) имеет решение вида (7), т. е точка (а,, ..., а„) является состоянием равновесия. Подставив решение (7) в систему (1), получим равенство 6(ап ..., а,)= — „' =0 (1=1, 2, ..., и). Вектор фазовой скорости Х(хп ..., х„) в точке (а„..., а„) обращается в ноль. И Из теоремы следует, что состояния равновесия являются решениями системы уравнений ),(ао ..., а„)=0 (1=1, 2, ..., и). (9) 2.
Фазовые траектории автономных систем второго порядка. Рассмотрим построение фазовых траекторий для автономной системы уравнений — '=-7',(хп х,), — „— '=),(х„хз). ФУнкции !а(х„х,) и 1а(х„ха) полагаем аналитическими во всей плоскости х„х,. Для системы уравнений (10) фазовое пространство представляет собой фазовую плоскость. Точки, характеризующие состояния равновесия, являются решениями системы уравнений )а (х„ха) =- О, )а (хм ха) =- О.
Здесь через га(гп га) и га(гм га) обозначены все члены разло- жения степени выше первой относительно г„г,. Так как фазо- вые траектории рассматриваются в окрестности начала коорди- нат плоскости гм га, то г, и г, малы и членами га(гп га) и Ра(г„га) разложения (12) можно пренебречь. Обозначив частные производные через дй~ дй~ д1,[ д(,[ дх, Ка,, ад ' дха 1(а„а,> ' дха яа, ад ' дха Ка, ад и учитывая (11), получим линейную однородную систему с по- стоянными кои)хрициентами: да, ига — = инга + иаага, — —— — иаага + иаага, (13) которая описывает фазовые траектории в окрестности состояния равновесия и называется системой дриенений первого прибли- жения, Запишем систему (13) в векторной форме: дг „-=- Аг, (14) где А=[ [, =-[ [ Если определитель г!е! А эь О, то система (14) имеет единственное состояние равновесия — точку (О, 0), Исключим время ! пз системы (13), разделив второе уравнение системы на первое. 1йзлучпм дифференциальное уравнение первого порядка ига иа,а, 4 ааааа ига и„г, + ааааа (15) В общем случае система (11) может иметь не одно, а несколько решений.
Пусть х,==а,, ха==аз — одно из решений системы (11). Исследуем характер фазовых траекторий в окрестности этого состояния равновесия, Для этого с помощью замены неизвестных функций х, = а, + г„ха ='-аа-1-г„перенесем начало координат в точку (ап а.) н разложим функции )а (хм ха) и )а (х,, х,) в ряд Тейлора' в окрестности точки (а„аа): (а (Хм ха) =а"а (ип иа)+ д ! га + .д— ) га+га (га, га), дй ! дй !а (ха Ха) =!а (иа иа)+ дх [ га + д ~ га+а а(га га). д!а ! дй — =1 (х„х,), г(хг й (х„хг) Нхг (г (хп хг) (16) то особые точки уравнения (16) на плоскости х„ х, совпадут с состояниями равновесия системы уравнений (10). В особой точке нарушаются условия теоремы существования и единственности для уравнения (16). Через особую точку проходит бесчисленное множество интегральных кривых уравнения (16), причем касательные к инттгральным кривым в особой точке не имеют определенного направления.
Значения тангенсов углов, образо- )84 В уравнении (15) полагаем г, — независимой переменнои; г,— неизвестной функцией, Правая часть уравнения (15) 1(г„ гг) = определена, непрерывна и имеет непрерывную часта„г,+а„г, ную производную по гг всюду на'плоскости г„гг, за исключе- нием прямой аыг, + агггг = О. Разделив первое уравнение системы (13) на второе, получим дифференциальное уравнение первого порядка — ' = агг щ,г, + аг,г правая часть которого определена, непрерывна и имеет непре- рывную частную производную по г, всюду на плоскости г„г„ за исключением прямой амг,+а„г,=О.
Таким образом, условия теоремы с)чцествования и единствен- ности для уравнения (15) выполняются, всюду, за исключением общих точек прямых а„г,+а„г,==О и а„г,+а,гг,=О. Если г)е1 А ~ О, то эти прямые имеют единственную общую точку г,=О, 2,=0. Правая часть уравнения (15) 1(г„гг) = " ' '"' не, имеет а„г, + а,ггг предела при г,— г.О и гг-+-О. Действительно, если точка (г„г,) стремится к точке (О, 0), оставаясь на прямой а„г,+а„г,==О, то Иш 1(г„гг) =О, Если точка (г„г,) стремится к точке (О, 0) г,-а г, 0 по прямой а„г,+а„г,=О, то функция 1(г„гг) ие определена, но вблизи этой прямой она может принимать сколь угодно боль- шие значения.
При стремлении точки (гг, гг) к точке (О, 0) по ДРУгим пРЯмым фУнкциЯ 1(гг, г,) имеет ДРУгие пРеДельные зна- чения. В окрестности точки (О, 0) функция 1(г,, г,) определена. Точка (О, 0) называется изолированной особой точкой для функции 1 (гы гг). В точке (О, 0) нарушаются условия тсоремы существования и единственности решения для уравнения (15). Отметим, что в остальных точках прямой а„г,+г„г,=-О единственность реше- ния имеет место, т. е, через все точки этой прямой, за исклю- чением особой точки (О, 0), проходит единственная янтегральная кривая уравнения (15), причем касательные к интегральным кри- вым в точках пересечения с прямой а„г,+а„г,=О параллельны оси г,. Если перейти от системы (10) к уравнению ванных касательными к интегральным кривым в особой точке и положительным направлением оси х, совпадают с предельными значениями функции )(хь хе) прп х,— а, и х,-~а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
