Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В установившемся состоянии зависимость выходной величины элемента от входной задается спштичсской хариалеристикой элемента. Как правило, статические характеристики элементов нелинейны. Статические характеристики могут быть получены из дифференциальных уравнений элементов. Пусть дифференциальное уравнение, описывающее поведение элемента, имеет вид г (х", х', х, д) =-О. Тогда статическая характеристика этого элемента задается уравнением в неявной форме г (О, О, х, д) =- О, (2) т. е, для ее получения в уравнении (1) следует положить х= сопа( и д=сопзй Если динамика элемента описывается линейным дифференциальным уравнением, то этот элемент называется линейным, если дифференциальное уравнение нелинейно, то элемент называется нелинейлыи.
Из-за нелинейности статических характеристик уравнения элементов САР в большинстве случаев являются нелинейными. Для упрощения анализа, когда это возможно, приближенно заменяют нелинейные дифференциальные уравнения такими линейными уравнениями, решения которых с достаточной степенью точности совпадают с решениями нелинейных уравнений. Зтот процесс замены нелинейного дифференциального уравнения линейным называется липеаризийцай. Обь1чпо линеаризация нелинейного уравнения производится относительно некоторого установившегося состояния элемента системы, Если дифференциальное уравнение элемента нелинейно из-за нелинейности его статической характеристики, то линеаризация уравнения сводится к замене нелинейной характеристики элемента х= ср(д) некоторой линейной функцией х= ад+ Ь.
Аналитически эта замена производится с помощью разложения в ряд Тейлора функции х= Ч~ (д) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию и отбрасывания всех членов, содер- 197 жащих отклонение Ьд входной величины элемента в степени выше первой. Геометрически это означает замену кривой х=ср(д) касательной, проведенной к кривой в точке (х„дс), соответствующей установившемуся состоянию работы элемента (рис. 29). В других случаях линеаризация производится путем проведения секущей, мало отклоняющейся от функции х = ср(д) в требуемом диапозоне изменения входной величины элемента.
Назовем нелинейные статические характеристики, линеаризуемые в требуемом диапазоне изменения входной величины указанным выше способом, несущестеенно нелинейнылси характеристиками. Наряду с линеаризуемыми характеристиками имеются такие характеристики, которые не поддаются такой линеаризации. К ним относятся, Рис. 29 например, характеристики, не разлагаемые в ряд Тейлора в окрестности точки установившегося состояния. Такие характеристики будем называть существенно нелинейными. На рис.
ЗО изображена статическая характеристика электрического двигателя постоянного тока независимого возбуждения; входной координатой д здесь служит напряжение У,„, подаваемое в цепь якоря, а выходной координатой х является скорость вращения ротора двигателя ы. В широком диапазоне изменения д указанная статическая характеристика должна рассматриваться как нелинейная, однако при малых значениях д характеристика может быть заменена на линейиую.
На рис. 31 изображены статические характеристики некото- е рых существенна нелинейных элементов САР: а — идеальный ре- Рис. 30 лейный элемент, б — релейный элемент с зоной нечувствительности, в в репейный элемент с петлей гистерезиса, г — механическая передача с зазором (люфтом).
Аппроксимация такого рода разрывных характеристик прямой линией с постоянным углом наклона может привести к существенному искажению представлений о процессах, происходящих в системе. Рассмотрим подробнее процесс линеаризации нелинейного уравнения элемента с помощью ряда Тейлора. Пусть поведение элемента описывается нелинейным дифференциальным уравнением (1). Тогда установившееся состояние элемента характеризуется уравнением (2). Пусть д„и х„— значения установившегося состояния. Тогда координаты д и х можно записать в виде х = = — ха+Лх, л=д,+Лд, где Лл и Лх — отклонения координат д и х от установившегося состояния. Уравнение (1) в отклонениях имеет вид Р (Лх", Лх', х, + Лх, До+ ЛД) = О.
(Э) Разложим левую часть уравнения (3) в ряд Тейлора относительно точки установившегося состояния (О, О, х„л„): Р(0, О, хо до) +~й~) Лх +( —,) Лх + +Я Лх+( — ) Лд+...=О. (4) В левой части равенства (4) не выписаны члены, содержащие отклонения Лд и Лх н их производные в степени выше первой, Частные производные в левой части уравнения (4) представляют собой некоторые числа, величины которых зависят от вида функции Г(х", х', х, д) и значений координат и, и х,. Считая отклонения Лд, Лх от установившегося состояния, а также их производные по времени малыми и полагая, что функция г (х", х', х, а) достаточно гладкая по всем аргументам в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию, отбросим в уравнении (4) все члены, которые содержат отклонения Лд и Лх, а также их производные в степени выше первой.
Полученное уравнение ( — -„-) Лх" +(.--;.) Лх'+~ -) Лх+(~-) Лд —.-О (5) является линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами ( — ~, (- —,), ~--), ~ — ) и представляет собой результат линеаризации уравнения (1). Очевидно, что необходимым условием липеаризации является возможность разложения в ряд Тейлора функции Е(к", х', х, д) в окрестности точки, соответствующей установившемуся состоянию.
Линеаризованное уравнение (5) приближенно заменяет нелинейное уравнение (!) лишь в некоторой малой окрестности точки (О, О, х„д,). Величина этой окрестности зависит от гладкости функции Е(х", х', х, д) в этой точке, т. е: от величин производных порядка выше первого этой функции в точке (О, О, хм д,). Как правило, с помощью уравнения (5) можно исследовать поведение элемента САР лишь при малых отклонениях входной и выходной координаты от установившегося состоиния. Обычно при записи линеаризованного уравнения в левой части оставляют лишь члены, содержащие отклонение выходной координаты, а все остальные члены переносят в правую часть. С учетом этого уравнение (5) можно переписать в виде (6) аь Ах" + аг Ах' + а2 Ах = Ьг Ад.
Здесь приняты следующие обозначения: Процесс линеаризации уравнения (1) может быть геометрически интерпретирован следующим образом. В пространстве переменных х", к', х, и уравнение (1) задает некоторую поверхность. Переход от уравнения (1) к линейному уравнению (5) означает замену поверхности некоторой касательной плоскостью, проведенной к поверхности в точке, соответствующей установившемуся состоянию. Естественно, что ошибка при такой замене тем меньше, чем меньше отличаются друг от друга точки поверхности и точки плоскости. Это справедливо лишь в некоторой малой окрестности установившегося состояния, Возможна также иная линеаризация уравнения (1), которая состоит в замене поверхности, задаваемой уравнением (1), некоторой секущей плоскостью, уравнение которой имеет вид п~йх +пхйх +пзАх+п4АИ=О. (7) Коэффициенты а, выбираются так, чтобы получить хорошее приближение секущей плоскости к поверхности не только в окрестности установившегося состояния, но и в некоторой области возможных режимов работы элемента.
Пользуясь изложенной методикой, получим дифференциальные уравнения некоторых элементов систем автоматического регулирования, которые допускают линеаризацию. уоо Пример 1. Составить дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока независимого возбуждения (рис. 32) и произвести его линеаризацию. В соответствии со вторым законом Ньютона для вращательного движения уравнение моментов на валу двигателя (8) где ы †углов скорость вращения вала двигателя; У вЂ моме инерции вращающихся частей, приведенный к валу; Мд — вращающий момент; М,— момент сопротивления на валу двигателя.
Пусть Мд — — Мд(гь и), а М,=-М,(оз, 1), т. с. вращающий момент Мд зависит от угловой скорости ы и напряжения и, приложенного к якорю, а момент сопротивления М, зависит от углооой скорости ы и времени д Эти зависимости обычно задаются аналитически или в виде графиков и определяются типом двигателя, характером нагрузки и т. л. Типичные механические Рис.
33 Рис. 32 характеристики злектролвигагеля постоянного гока нсзависилюго возбуждения, показывающие зависимость М от ы, приведены па риг. 33. На этом же рисунке показана характеристика М,. Вращающий момент Мд и момент сопротивления М, являются нелинейными функциями скорости вращения вала ы. Поэтому уравнение (8) будет нелинейным дифференциальным уравнением.
Для линеаризации уравнения (8) перейдем к уравнению в отклонениях от установившегося режима. Параметры установившегося состояния находятся из графиков, приведенных на рис. 33, если положить Мо Мг. (й) Пусть эти параметры имс|от зпа«синя гоо, л,. Разложим нелнпейяыс функции Мд — --Мд(ю, и) и М,=М,(ы, 1) в ряд Тейлора в окрестности точки (ыд, ид): М .=.М о+~ — — ! Ло>Н ( — ) Ли+81, (з 8 )„( г)и,)о Мс=Моо+~ — ") Лы+ЛМ, (П+Ц, !дМот до1 о где Мдо — — Мд(озо, ио): ЛМс (1) учитывает зависимость момента сопротивления М„от времени й йд и йд содсрипп члены порядка малости выше первого отйосительно приращений Лы и Ли.
Подставим полученные выражения в уравнение (8) и отбросим члены, содержащие отклонение в стспепп оышс первой; бы дМд' дЛ1д 'дМс ,) -л- — — ~ 3 ~ Л +( 3 ) Ли — ( 8 ) Л~ — ЛМо(1). 201 О — обмотка возбуждения всполнительного двигателя, КΠ— компенсационная обмотка ЭМУ, Ем — реостат, шунтирующнй компенсационвую обмотку, ОУ— обмотка управленйя 0э' Риг. 34 гателя, как правило, используется асинхронный трехфазный двигатель. В ЭМУ нераздельного исполнения приводной двигатель собран в одном корпусе с генератором. На коллекторе ротора ЭМУ установлены две пары щеток — на продольной осн н на поперечной.
Щетки на поперечной оси замкнуты пако отко. ри подаче напряжения и на обмотку управления ЭМУ возникает магнитный поток Ф обмотки управления. Магнитный поток невелик и пропорционален току У в обмотке управления. Так как ротор ЭМУ вращается с постоянной скоростью, то в его Рис. 35 обмотке наводится под влиянием потока управления э, д. с. Е,, которая такзке невелика по величине. Но поперечные щетки ЭМУ замкнутй накоротко, и поэтому ток в поперечной цепи несмотря на незначительную величину э. д. с., будет значительным. Этот ток вызывает большой магнитный поток Фн, направленный по поперечной оси. Поток Фа наводит в обмотке ротора электродвижущую силу Е„которая снимается щетками, расположенными по продольной оси Поток Ф„, создаваемый током нагрузки та, направлен против потока Ф„обмотки управления. Для компенсации этого потока в продольной цепи расположена компенсационная обмотка.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
