Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Преобразуя сомножители многочленов 0(р) и М (р), соответствующие действительным корням, к виду р — Л = —,(Т»р+1), Р— у!= — (т!Р+1), 1 ! 1 1 где Т„= —, т!= —, а сомпожители, соответствую!цие ком- Л» плексным корням, к виду (р — Л») (р — Л») =-- р' — 2а»р+ с»»+ Я =- -„. (Т»р'+ 2З»Т»р+1); Т» (Р у!) (Р у ) т (т!Р + К~( по+ 1) 1 и» где Л» = а! + 1()», у! = и! + ((1„ Т» = . , $» =— )/а» -(- р!», )/а„'+ Ц ' т!= —., $!= —, и полагая, что многочлен 0(р) 1 и! 1/а,"+Я )/а" +Я' имеет тч нулевых корней, уравнение (43) можно переписать следующим образом: с и » » П в»»!!'П !и»'-~~! ~р!-ч~)» »=1 »=- ! !!Ц (т!Р+1) Ц (т!Р»+2~!т!р-(-1) !Лд, (б1) ! 1=! где я= —.
ь,„ в» 213 Элемент, описываемый уравнением (51), имеет передаточную функцию й И ('ш+'1 11 (т!р'+2егтгр+ !) «=! 1=.! и г р Ц (т,р+ !) Ц (тар +ь„тар+ !) «=! а=! (52) В передаточную функцию (52) входят шесть различных видов сомножителей: ! 1 ! 7е, т!р+1, тгре+2йгт! +1, р * т,р+ ! ' тара+ !йатар+ ! ' (Тр+1) к=/а. (53) Его собственный оператор 1! (р) =- Тр+ 1; входной оператор М (р) = 7е. Передаточная функция апериодического звена тр+ ! (54) Коэффициент й называется передаточным коэ4фициентом (коэффициентпом усиления) звена,' Т вЂ” является постоянной времени, Кол еба тел ь иое з вен'о описывается дифференциальным уравнением (тере+ 2Ртр+1) х= йу. Передаточная функция колебательного звена выражается так: й т»р»+2йтр+ ! ' (56) где й — передаточный коэффициент; Т вЂ” постоянная времени; $ — относительный коэффициент затухания (0<$<1), Инте гр ир ующее звено описывается уравнением (57) (55) Его передаточная функция (р(р) =— й р' (58) »! См., например: «Текин!вякая кибернетика», нод редакцией Солодовн икова В.
В., кн. !. «Машиностроение», !Эбт, с. 270 — 294. 2!4 поэтому любой элемент можно рассматривать в общем случае как последовательное соединение шести различных типов простейших структурных звеньев. Эти простейшие звенья называются типовыми звеньями САР е!. Их передаточные функции входят в виде сомножителей в передаточную функцию (52).
Рассмотрим типовые звенья САР. А п е р и о д и ч е с к о е з в е н о описывается диф«)геренциальным уравнением Усилительное звено описывается не дифференциальным уравнением, а алгебраическим: х=йд, (59) т. е. передаточная функция усилительного звена К(р) =гг, (60) Дифференцирующее звено первого порядка имеет уравнение х=/г (тр+1) и, (61) где т — постоянная времени звена; гг — передаточный коэффициент. Передаточная функция дифференцирующего звена первого порядка имеет вид и (р) = й ( р+1).
(62) Дифференцирующее звено второго порядка Уравнение дифференцирующего звена второго порядка х (г (ттрн+ 2$тр+ 1) д (63) Передаточная функция этого звена К (р) = lг(т2р'+ 2~тр+ 1), 0 ( ~ 1, (641 где гг — передаточный коэффициент звена; т — постоянная времени. 5. Составление дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования. После того как получены и, если возможно, линеаризованы уравнения отдельных элементов системы регулирования, переходят к составлению дифференциального уравнения системы. Совокупность дифференциальных уравнений элементов системы и уравнений связей описывает поведение системы автоматического регулирования в целом. При исследовании САР обычно представляет интерес поведение выходной координаты системы, а ие выходных координат всех элементов.
Поэтому от системы уравнений путем исключения промежуточных переменных переходят к одному уравнению. Это уравнение содержит только выходнуго координату системы, а также внешние воздействия. Зная внешние воздействия, приложенные к системе, и решив дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, можно определить реакцию САР на эти воздействия. Рассмотрим процесс составления дифференциального уравнения следящей системы с электромашинным усилителем и исполнительным двигателем постоянного тока.
Эта система в данной книге во многих случаях рассматривается в качестве иллюстративного примера, поэтому опишем изображенную на рис. 41 схему более подробно. На схеме объект регулирования условно показан в виде вращающегося маховика, жестко соединенного с выходным валом редуктора. Механические связи на схеме обозначены в виде двух параллельных, рядом расположенных линий.
В такой системе сигнал ошибки вырабатывается с помощью двух синуснокосинусных поворотных трансформаторов (СКПТ), работаюсцих в трансформаторном режиме. Один СКПТ вЂ” датчик гэ связан с задающей осью, управляющее воздействие представляет собой угол поворота этой оси; другой СКПТ вЂ” приемник Пр связан с исполнительной осью, т. е. с объектом регулирования. Сигнал им пй Р 1- Рис. 41 пропорциональный ошибке системы, поступает на вход фазочувствительного выпрямителя ФЧВ, преобразуется в последовательном корректирующем устройстве П, усиливается усилителем постоянного тока УПТ и подается на вход (на обмотки управления) электромашинного усилителя ЭМУ; ротор ЭМУ приводится во вращение приводным двигателем ПД; ЭМУ управляет исполнитель' ным двигателем ИД, который через редуктор вращает исполни- Рис. 42 тельную ось и одновременно принимающий СКПТ. В схеме имеется местная отрицательная связь по току якоря исполнительного двигателя.
Сигнал этой обратной связи снимается в виде напряжения с сопротивления Й„включенного в цепь якоря, и поступает на вход УПТ. Местная обратная связь по току якоря ИД совместно с последовательным корректирующим устройством П обеспечивают САР требуемые динамические свойства (в ряде систем в цепь местной обратной связи включается такое параллельное корректирующее устройство). Корректирующие устройства обычно выполняются в виде ЙС-контуров. Объект регу- лирования в САР с-требуемой точностью воспроизводит движение' задающей оси, т.
е. регулируемая величина — угловое положение объекта «следит» за изменениями управляющего воздействия. Весьма характерным видом возмущающего воздействия )'(г), прикладываемого к системе, является возмущающий момент, действующий на объект регулирования, Этот момент может возникать из-за многих С факторов, например вследствие трения в передаче между двигателем и объектом, ветровой нагрузки, неуравновешенности вращающихся масс и т.
п. лю Структурная схема рассматриваеи иг мой следящей системы содержит следующие элементы (рис. 42). Чувствительный элемент 1, вырабатывающий сигнал и„пропорциональный ошибке системы. В следящей системе ошибка е представляет собой разность между управляющим воздействием й и выходной координатой системы х. Чувствительным элементом в рассматриваемой системе являются два синусно-косинусных поворотных трансформатора. Напряжение, снимаемое с трансформатора-приемника и,=)г,е. (65) Фазочувствительный выпрямитель и последовательное корректирующее устройство 2, предназначенное для преобразования сигнала ошибки с целью улучшения динамических свойств системы.
Оно представляет собой )сС-контур (рис. 43), описываемый дифференциальным уравнением вида ли, г ий Тг — + иг = Аг (тг — — + иг), (66) причем /г, = — — — (1, тг=-Л,С, Т,=)г,т,. 1~,+й, иа = Аъ (и, — и,). (67) Электромашинный усилизель и исполнительный двигатель постоянного тока независимого возбуждения 4. Уравнение электро- машинного усилителя, работающего совместно с двигателем постоянного тока, получено выше в примере 2.
Если рассматривать в качестве выходной величины угол поворота вала двигателя а„,, Выходной каскад электронного усилителя 3, на вход которого поступает разность напряжений и,,— и„, где ив — напряжение на выходе последовательного корректирующего устройства; и4 — напряжение местной отрицательной обратной связи. Полагая, что выходной каскад является безынерционным, его уравнение можно записать в виде то уравнение системы ЭМУ вЂ” ИД примет вид ««««ЗЗ аа«« ««З«з а'«з ТзТаТу,п«+ (ТзТа+ Т Тт) «з + (7"м+ Тг) ««з + й«' =««из — А~~ Т,Т,—;+(Т„+.Т,) — '+М,1.
(68) ««М« нм« Редуктор б, через который исполнительный двигатель связан с объектом регулирования. Уравнение редуктора: из =- 1т',1„, (7О) где 7 — ток цепи якорей ЭМУ вЂ” ИД. Пренебрегая моментом сопротивления М„из формулы (15) имеем «гз«« й,!,= 7 — „,, м а — з«з (71) тогда «гз«« из =йз «„Н„з, (72) Г««7 где ««а= — '.
«а Уравнение (72) представляет собой уравнение обратной связи. Совокупность уравнений (65) — (69), (72) совместно с уравнением ошибки (73) описывает поведение следящей системы, Исключив промежуточ- ные переменные е, иы и„из, из, а, из уравнений (65) — (69), (72), (73), получим дифференциальное уравнение следящей системы в операторной форме: 1(ТЗТар + Тай+ 1) (Тур+ 1) (ТЗР+ 1) р+ ««у««з««5 (Тзр+ 1) р + + ««(тьо+ 1)) х = ««(т,р+ 1) й— — lгн (Т„р+1) (Тай+1) (Тяп+1) М„(74) а«азаз/«г аг где Й= —, «р «р Еслй разомкнуть главную обратную связь, то поведение та- кой разомкнутой системы описывается системой уравнений (65) — (69), (72), причем в уравкении (65) следует положить е = — й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
