Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 40
Текст из файла (страница 40)
2. Пусть г=ч. В этом случае правая часть уравнения (26) имеет вид р'[(а...— Ь „)+...+а,р"-') д(1) =(а„— Ь ) г)й„ а частное решение е„(1) неоднородного уравнения (26) будет таково: (() (аю и т ч)гйг (31) а„ В этом случае установившаяся составляющая ошибки является постоянной величиной, прямо пропорциональной разности (а„, — Ь ,) и коэффициенту а, и обратно пропорциональной коэффициенту а„. 3. Пусть г- ч. Правая часть уравнения (26) согласно формуле (30) в этом случае представляет собой некоторый многочлен от ( степени г — ч.
Коэффициент при старшем члене будет иметь г! значение ! д, (а„, — Ь „) чм О. Установившаяся ошибка также является некоторым многочле~ом от ( степени г — ч. Таким образом, если г) ч, то установившаяся ошибка с течением времени неограниченно возрастает, т. е. 1)шаг(1) =со. В практике обычно встречаются' системы регулирования нулевого порядка астатизма (статические САР), первого и второго порядка астатизма. В соответствии с изложенным выше для статических систем установившаяся ошибка отлична от нуля при управляющем воздействии вида д(() =д,.1((). Для системы первого порядка астатизма установившаяся ошибка равна нулю при входном воздействии а(1) =а, 1(() и является постоянной величиной при входном воздействии, изменяющемся с постоянной скоростью, т. е. при д(() =-(де+а,1).1(0.
Системы второго порядка астатизма имеют нулевую установившуюся ошибку при постоянном входном воздействии д(()=д,.1(() я при воздействии, изменяющемся с постоянной скоростью а(1) =(а,+дд() 1((). Для таких систем установившаяся ошибка постоянна и отлична от нуля для входного воздействия, изменяющегося с постоянным ускорением, т. е. 229 при воздействии вида И(!) (ЙО+Й1!+02! ) ' ! (!). Многие линейные САР имеют довольно сложные структурные схемы и списываются линейными дифференциальными уравнениями высоких порядков, Однако аналитическое исследование этих систем не встречает принципиальных трудностей, хотя и связано с громоздкими выкладками, вызванными, в частности, необходимостью приближенного определения корней характеристических уравнений высоких степеней. Анализ линейных САР с переменными параметрами связан с решением линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых изменяются во времени, Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами является значительно более трудной задачей, чем решение уравнений с постоянными коэффициентами.
В отдельных случаях уравнение с переменными коэффициентами может быть приведено к уравнению с постоянными коэффициентами. Независимо от вида и порядка линейного дифференциального уравнения структура его решения всегда одна и та же — это решение содержит две части: сбщее решение соответствующего однородного уравнения и частное решение неоднородного уравнения, Поэтому в линейных САР возможно раздельное определение переходных и установившихся составляющих процесса регулирования. К линейным САР применим принцип суперпозиции.
Физически это означает, что если к системе приложено несколько воздействий, то суммарный эффект от этих воздействий может быть определен как сумма эффектов от каждого из воздействий. 3. Линейные дифференциальные уравнения, правая часть которых содержит производные от разрывной функции. При анализе линейных систем автоматического регулирования возникает необходимость находить решение линейных дифференциальных уравнений, правая часть которых содержит производные от разрывной функции.
Например, для определения переходной функции САР, которая описывается уравнением (19) 0(р) х= М (р) а(!), требуется найти решение этого уравнения при д(!) = ! (!). Единичная функция ! (!) имеет разрыв первого рода при 1= — О, поэтому правая часть уравнения (19) содержит производные от разрывной функции. Рассмотрим решение уравнения (19), полагая, что функция !!(!) имеет разрыв непрерывности первого рода при ! =О, причем производные слева и справа от точки разрыва существуют. Значения д<ы ( — 0) (й=О, 1, ..., т — 1), хна ( — 0) (я=О, 1, ..., и — 1) называются левыми начальными значениями, а й!ы(+ О) (й=О, 1...
т — 1), х">(-1-0) (й О, 1, „,, п — 1) — правыми начальиыми значекиями, откуда у,' =- у(ог (с =- 1, 2, ..., и — т — 1), ус = у„., + ссса (1) (! = п — пг, ..., и — 1). (33) Найдем производную у„'. Продифференцировав равенство (32) для случая ! =ли — 1, получим ла у„'=- Х(л! — ~", С„.гд(ОС (1). (34) Из уравнения (19) имеем л — 1 ал Хл'= — — о ал СХ(П+--- ~1 Ь ОУ(О!(1). Ло .МС ' ао Подставим это выражение в уравнение (34): и — 1 иа т у„'= — — ~~) ал;Х(!1+ --- ~~~~ Ь„ид(ОС(1) — ~~ С„ид(О! (С). (35) с=о о=-..о 1=1 В равенство (35) подставим х((1 из соотпошсний (32): л — 1 а — (л — т! л — 1 у'„= — --- ~! ал.пу;,,— — — ~) ал, ~г с, од(ог (1)+ а=о т т -+ -1 Х Ь вЂ” И"! (1) — Х с — и('! (() (36) о-.о О=-1 Выберем постоянные с„, (1=-1, 2, ..., т) так, чтобы правая часть равенства (36) не содержала производные функции д(().
Учитывая, что л — 1 С вЂ” (л — т) ал — 1 л — 1 ;~ Е" -с,'~~с~ с -оК("! (1) =- ~"' Я(о! (() ~ ал;сг о, (37) с=л — ал о=О о=-о а=л — т 1-Са В уравнении (19) полагаем, что и)т. Решением х(1) урав- нения (19) называется такая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество для всех значений (, при которых функция д(() и ее производные до порядка т непре- рывны, В тех точках, где функция д(1) терпит разрыв, тожде- ства должны иметь место слева и справа от точки разрыва.
Рассмотрим решение уравнения (19). Для решения сведем это уравнение с помощью замены переменных к системе уравнений, правые части которых не содержат производных от разрывной функции д(1). При этом вводятся обозначения: хп' — --у; „(с:.О, 1, ..., и — т — 1), С вЂ” (л — и) х(' — --у(, г+ ~; сс .оу(ог (1) (с =п — т, ..., п — 1), (32) и.=.. о равенство (36) в виде т — ! л — 1 '-" — 'и!+т- 'У аы!(1) Т вЂ” ' л-'с -.+ о=о 1=л — т+л т Ш + ~1 -" д!л! (() — ~ сл-ой!о! (1). перепишем л — 1 (38) о ! Приравнивая нулю коэффициенты прн д! '(г), ..., д' ((), получим следующие соотношения для определения неизвестных сл ..., Сл,: л †! ь, ь Сл „= — —, Сл Ллл —— »-!л ао л- ао — "' с! о .(й = 1, 2, ..., т — Ц, Х ао (39) Если учесть выражения (39), то производная у„' запишется в виде л — 1 У,'= — ~ " ' У!+т+с„д((), (40) !-о где ь„ 'Д ал с Сл= — — ~~ =сь ао,' ! ао 1=л — т (41) Уравнения (33), (40) составляют систему дифференциальных уравнений, которая эквивалентна уравнению (19).
Запишем эту систему в векторной форме -,! =Ау+ад(!), (42) где 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 1 ... 0 сл-т (43) сл а„ал, ал, а, ао ~Ь аа ''' ао 232 причем коэффициенты сл, ..., сл определяются из соотношений (39), (41), Система уравнений (42) представляет собой на каждом из интервалов непрерывности функции д(() линейную неоднородную систему дифференциальных уравнений. Решение таких систем было рассмотрено в 2 12. Отметим, что в рассматриваемом случае решение системы уравнений (42) будет непрерывной вектор-функцией и в точках разрыва функции д(1), так как правые части уравнений не содержат производной от разрывных функций.
Пусть у =у (() — решение системы (42), удовлетворяющее начальным условиям у,„, (0) =-х!'! ( — 0) (1 =О, 1, ..., и — и — 1), д„, (О) =-хн! (-О)- Ю вЂ” (л — эг! — с! ед(а)( — 0) (г=и — и,..., и — 1). (44) Тогда первая компонента у, (1) вектор-функции у(() представляет собой решение х(1) уравнения (19). Из соотношений (32) следует, что зто решение непрерывно и имеет непрерывные производные до порядка и — т — 1 включительно. Производные более высоких порядков имеют разрывы в точках разрыва функциид(1); левые начальные условия х(г1( — 0) (г=О, 1, ..., и — 1) задаются при решении задачи; правые начальные условия х(о(+0) определяются согласно формуле (32) из соотношений х!'! (+ 0) = х(г! ( — 0) (1 = О, 1, ..., и — т — 1), (45) Š— (ч — гч] х(г)(+0)=уг, (0)+ ~ с! ау[а)(+0) (1'=и — т, ..., и — 1).
а-о Пример 1. Найти решение дифференциального уравнения х" +2х'+к=у' (О (46) при заданных начальных условиях х ( — 0) = — х' ( — 0) = О, (47) Пусть у(0 — единичная ступенчатая функция, т. е. у(0=1 при 1~0; у( — о)=о, у(+о)=!. Решение уравнения определим для 1гн [О, со[. Коэффициенты уравнения (46) имеют следующие значения: аз= 1, аг=2, ах= 1, Ьв=1, Ь,=О. Определим по формулам (39), (4!) значения коэффициентов сг и св: сг=1, сэ= — 2. Уравнение (46) согласно формулам (42), (43) эквивалентно системе уравнений — =ух+у(1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
