Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Вычитая (82) из (84), можно получить уравнение для определения установившегося колебательного процесса: Фг(х„+х„— „", ..., — „"~ — Ф1(х„0, ..., 0)=-0. (85) вх„ в"х„1 Из сравнения уравнений (83) и (85) видно, что установившийся колебательпый процесс можно рассматривать, как частное решение уравнения переходного процесса, В линейных САР, не находящихся на границе устойчивости, периодический процесс возможен лишь при наличии внешнего периодического воздействия. В нелинейных САР, напротив, возможен устойчивый периодический процесс при отсутствии внешних периодических воздействий. Такой процесс называется автоколебательным процессом. Параметры автоколебаний (амплитуда и частота) не зависят от начальных условий, В случае нескольких периодических движений эта независимость имеет локальный характер.
Укажем особенности Риы 48 переходных процессов в линейных и нелинейных САР. Характер переходных процессов в линейных системах связан со значениями корней характеристических уравнений систем и функционально не зависит от начальных условий, В нелинейных системах картина иная. Здесь функционально вид переходных процессов может существенно зависеть от начальных условий, В зависимости от начальных условий переходный процесс в нелинейных системах может быть монотонным или колебательным, сходящимся или расходящимся.
Существенным отличием колебательных переходных процессов в нелинейных системах является также зависимость частоты колебаний от амплитуды, В линейных системах переходный процесс затухает до нуля или расходится до бесконечности в зависимости от того, имеют ли корни характеристического уравнения системы отрицательные или положительные вещественные части, В первом случае линейная САР является устойчивой, а во втором — неустойчивой. Суждение об устойчивости такой системы никак не связано с начальными условиями. В нелинейных системах, как отмечалось выше, возможны несколько установившихся состояний; поэтому анализ устойчи- 240 вости нелинейной системы представляет собой рассмотрение устойчивости каждого установившегося состояния.
Нелинейная САР при одних отклонениях регулируемой величины от какого-либо установившегося состояния может оказаться устойчивой, а при других отклонениях— неустойчивой, поэтому уг") с оинейиг и илейюая при исследовании устойчивости системы необходимо принимать во и) внимание начальные условия, Исследование устойчивости установившихся состояний в не- и линейной системе позволяет выявить, какие о из этих состояний могут реально существовать в системе, Если переходный процесс в нелинейной САР зату- х» хает при начальных ! условиях, удовлетворяющих неравенству 1х (ге) 1(а, и Расходится при начальных УсловиЯх 1Х (уз)!/) а, ),, д, и то говорят, что нелинейная САР устойчива д в хг <в малом» и неустойчи- I ва «в большом», На рис.
48 изображены фазовые траектории нелинейной САР, имеющей три возмож- ((, ных установившихся состояния: 1) состояние равновесия (х, у) = (О 0); 2) колебания с ам- Рис. 49 плитудой а,; 3) колебания с амплитудой аз. Колсбатсльпый процесс с амплитудой а, неустойчив. Колебательный процесс с амплитудой ая — устойчив, т. е. представляет собой автоколебапия: В зависимости от начальных условий в системе отклонения регулируемой координаты САР будут либо затухать до пуля (система устойчива «в малом»), либо отклонения регулируемой координаты САР будут стремиться к колебаниям с амплитудой а» (система неустойчива «в большом»). Пример 3.
Произвести анализ нелинейной системы автоматического регулирования. Структурная схема системы приведена на рис. 49, а. Характеристика нелинейного элемента изоооажена на рис 49, б. Уравнение нелинейного эле- 241 мента имеет вид и = иа з]йп е. (86) Пусть линейная часть системы автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением »(ах»1х т,та — + (т,— т») — — > йаи. » а б( бт (87) Уравнение ошибки системы (88] е=л — х. »(ах а]х Т,Т,— + (Т вЂ” Т ) — — х=-й,поз]йп(д — х). »(га ' »Ы (89) »(х Введем обозначения х==х„— =-х, и перейдем от уравнения (89) к вор- »(1 мальной сис»емс дифференциальных уравнений: »(х» — =х, о »(ха 1 т,— т, ц,„ — — хо+ — — з>йп (д — х,). бг т,т, т,т, ' т,то (90) Рассмотрим поведение нелинейной САР при управляющем воздействии у=до = = сопз( (1~0), причем полагаем, что справедливо неравенство 0 < ло < йоко.
(91) Состояния равновесия нелинейной САР определяются нз системы уравнений хо=0, 1 Т,-- Т, йоио — х» — — — хо+ — 5»йп (До — х») =О, тт. тт тт (92) решениями которой являются хт =- дои а хо -- 0 и х, = 1»оио ха = Ол Кроме зтого, при значении х, =но система (92) будет неопределенной Если положить з]8»»0=.— — а, то система уравнений. имеет помимо указанных вьнпе до й„ио ' решений также решение х»=8»», х»==0. Исслед>ем характер движения нелинейной САР в окрестности точек состояний равновесия Л ( — йаио, 0] н В (й„и„, 0) (рис.
49, в). Зля исследования состояния равновесия А ( — йопа, 0) сделаем замену переменных: Г==х»+йоиа* т>=х„ (93) тогда система уравнений (90> примет вид »(»] Ш ' о(т Т Т Т,т, (94) 242 Совокупность уравнений (86) — (88) описывает поведение нелинейной системы регулирования в целом. Исключив из уравнений (86) — (88) переменные в и и, получим шелинейное дифференциальное уравнение Найдем корни Л,, Л, характеристического уравнения — Л 1 т,— т, — — — — Л т,т, = Ло+ — Л вЂ” — = — 0: то — т, т,т, т,т, 1 1 Л,= —, т, ' = т, ' 1 тт, Корни Лг и Л, действительные и различных знаков, поэтому (см. 4 14) в точке А ( — йод, 0) имеем особую точку типа «седло».
Решение, соответствующее характеристическому числу Л,, имеет впд йт=сге *, Ч,=с,г т, г, Найдем связь между постоянными с, и с,. Для этого подставим $г и т)т г получим; в систему уравнений (94) и после сокращения на е то т,— т, с,, откуда с,=сото, То Хо ~ото ~ото Найдем прямолинейные фазовые траектории, которые являются асимптотами в окрестности особой точки типа оседлоо Их уравнение 0 =йь (96) Исключим время Г из системы уравнений (94), поделив второе уравнение системы на первое Получим дифференциальное уравнение т — т — $— оЧ тт тт с$ Ч Для определения й подставим значение Ч из уравнения (96) в уравнение (97): 1 т,т, т,— т, а т,т Ф о откуда йо+ — ' ' а — —,=0 т,— т, т,т, т,т, ! и й,=— Т о 1 йо = — —.
т, ' Следовательно, уравнения асимптот, проходящих через точку А ( — йоко, 0), имеют вид 1 ! хо т (хо + доно) о о (хо+ йоко) . (98) 2 Т! Изучим характер движения нелинейной СЛР в окрестности особой точки В(йоио, 0). Для этого сделаем замену псрсменныю о — хо )гапо О=ко (99) Тогда система уравнений (90) запишется в виде Я бч 1 т,— т, =Ч' = о Ч. г(г ' г(г т,т, т,т (100) Решение, соответствующее характеристическому числу Л„будет $о =сзе Чо=сое ~ ', пРичем постоЯнные со и со свЯзаны мек<дУ собой соотношением со= — с,Т,. Общее решение системы (94) получим в виде г,=сот оотг' — сот,е Цт', ч=сгеогт''+сос Цт (95) Система уравнений (100) совпадаег с системой (94), поэтому все результаты анализа системы уравнений (94) применимы к системе уравнений (100), т.
е. особая точка В(йаие, О) также является особой точкой типа «седло», причем прямолинейные фааовые траектории имеют уравнения ! 1 хз = — (хг — йене) х, = — — — (хг — Аеие) ° Т т', Следует отметить, что система уравнений (94) справедлива в полуплоскости хт ( яе, а система уравнений (100) — в полуплоскости х, ) 4(е На прямой х,=де происходит переключение релейного элемента. В соответствии с этим фазовые траектории системы имеют внд, изображенный на рис. 49, в. Заштрихованная область является областью устойчиности, так как все фазовые траектории,.которые начинаются внутри этой области, с течением времени стремятся к точк~ (яе, О), т, е, система регулирования отрабатывает поступающее на вход воздействие я=- яе. Глава Ч! УСТОЙ ЧИВОСТЬ СИСТЕМ АВТОМАТИ ЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ф 17.
ПОНЯТИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ 1. Устойчивость в смысле Ляпунова. Под устойчивостью системы автоматического регулирования обычно понимают свойство системы возвращаться к первоначальному состоянию после прекращения действия внешнего возмущения, Требование устойчивости является одним из основных требований, предъявляемых к системе автоматического регулирования, и определяет, как правило, работоспособность системы, Полагаи, что система автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, рассмотрим устойчивость решений дифференциальных уравнений. Пусть поведение системы автоматического регулирования описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений =)г(1 Х1 ", Хв) (1=1, 2, ..., и), лх; где х~ (1=1, 2, ..., и) — переменные, характеризующие состояние системы. В векторном виде систему (1) можно записать следующим образом: —,— „=у(1, х).
(2) В уравнении (2) приняты обозначения ах1 ' ш ~1 (1, хы ..., х„) у(г, л) = 1'„(1, Х„..., Хв) яха лг Если система уравнений (1) является автономной, то уравнение (2) примет внд -",—; — =~(л). (з) Введем в рассмотрение (и+1)-мерное пространство Е"", координатами которого являются 1, х„..., х„.
Будем рассматривать только такие системы, правые части которых непрерывны по всем аргументам и имеют непрерывные частные производные по зависимым переменным х„..., хв в некоторой выпуклой области 6 пространства Е"". В этом случае выполняются условия теоремы существования и единственности, т. е. для любых начальных значений 1„ к,в, ..., х„„ существует, и притом единственное, решение х, = $; (1, х~в) (1 =1, 2, ..., и), (4) 245 удовлетворяющее начальным условиям Ь (го, хы) =хм (1=-1, 2..., и). (5) Потребуем бесконечной продолжаемости решсння (4), т, е, будем считать функции $; (1) определенными для 1в(1(оо, причем 1в можем считать равным — со. Рассмотрим некоторое решение системы (2) х, = $; (1) (1 = = 1, 2, ..., и), определенное на интервале (г„сю), причем Ь (гО) =хм Введем определения, Решение $; (1) (1=1, 2, ..., и) называется устойчивым по Ляпунову при 1 — ~со, если для любого а)0 существует такое 6)0, зависящее от е и 1„что любое решение х;=гр~(1)(1=1, 2, ..., п), для которого при 1=1в выполняется неравенство ~ гр, (1в) — $;Щ',(6, удовлетворяет неравенству ср,(1)— — ~;(1) ~ е при (о~1(со для всех 1=1, 2, ..., и.
Рис. 50 Геометрически это означает, что все решения, которые при 1=1, начинаются в 6-окрестности точки (хы, ..., х„„), никогда не покинут е-трубку решения $(1) (рис. 50). Решение 5;(1) (1=1, 2, ..., п) называется неустойчивым, если существует а)0 такое, что для любого 6)0 найдется такой момент времени 1=-1,, что для некоторого значения 1=у и 1=1, будет выполняться неравенство )гр~(1,) — ~в(1,) ~ = е, несмотря на то что ~ ~р; (1„) — $; Д) ~ (6 для всех 1=1, 2, ..., и. Решение Ц(1) (1=-1, 2, ..., и) называется асимптотически устойчивым, если: 1) решение ~;(1) (1=1, 2, ..., и) устойчиво по Ляпунову при 1-~со; 2) существует такое число Н)0, что для любого решения гр;(1) (1=1, 2, ..., и), удовлетворяющего при 1=1, неравенству )гр~ (1в) — $с(1в) )(Н (1= 1, 2, ..., и), будет справедливо равенство Иш' ,ср; (1) — 5; (1) ~, = О.
Если Н =сю, то динамическая система называется устойчивой в целом, 2. Устойчивость тривиального решения. Покажем, что исследование устойчивости тобого решения системы (1) можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения х,(1) = — О. 246 х!=й;(1) (!'=1, 2, ..., и) — некоторое решение синовые переменные Пусть стемы (1». Введем у;=х; — $! (() ((=1, 2, ..., л); (6) тогда †' = й (( у1 + Ь (!» " у + К. Я» — Ь (! Ь ((), " , $. (!)), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
