Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Исключив промежуточные переменные из уравнений (65) — (69), ««з = «рх. (69) Элемент б, отражающий наличие в системе обратной связи по току. Обратная связь по току служит для коррекции динамических свойств системы и сигнал на ее выходе представляет собой напряжение, пропорциональное току в цепи якорей ЭМУ вЂ” ИД. Это напряжение снимается с сопротивления «г„включенного в цепь якорей ЭМУ вЂ” ИД, Напряжение, снимаемое с сопротивления Й„ есть (81) (72), получим уравнение разомкнутой системы, записанное в опе, раторной форме: ЦТ„Т,р'+ Т„р+1) (Тгр+ 1) (Т1р+1) р+А,М~р' (Т,р+1)) х= = й (тгр+1) и — lг» (Т„р+ 1) (Т„р+1) (Тгр+ 1) М,. (75) Из уравнений (74) и (75) следует, что собственный оператор замкнутой системы есть Р (р) = (Т„Т„,р' + Т„р + 1) (Т, р + 1) (Т,р + 1) р+ +й Й1/г,(Т,р+1)рз+й(т,р+1) (76) а собственный оператор разомкнутой системы— Р(р) =(ТТр'+ Тр+1) (Т р+ 1) (Тр+1) р+ +й~йзй,(Т,р+1) р .
(77) Входные операторы по управляющему и возмущающему воздействию разомкнутых систем совпадают с соответствующими входными операторами замкнутых систем и имеют следующий вид: входной оператор по управляющему воздействию М (р) =й(т,р+ 1); (78) входной оператор по возмущающему воздействию С(р) = — й» (Тгр+ 1) (Тор+1) (Тяп+1) (79) Назовем передаточной функцией разомкнутой системы автоматического регулирования по отношению к управляющему воздействию отношение входного оператора по управляющему воздействию к собственному оператору разомкнутой системы, т. е. (80) Передаточной функцией разомкнутой системы по отношению к возмущающему воздействию назовем отношение входного оператора по возмущающему воздействию С(р) к собственному оператору разомкнутой системы, т.
е. "(р)= с (я) ()(я) ' Аналогично определим передаточные функции замкнутой системы по отношению к унравляюгцему воздействию Ф (р) и по отношению к возмущающему воздействию У(р). Так как оператор Р (р) = Я (р) + М (р), то и(„) м(я) вг (я) Ф(р)= — =,„, или Ф(р)= + (). (82) СО> с(я) Аналогично, У (р) =, ( ) —— -, )+,„), или к (Р) У(Р)= 1+И (,). Формулы (82) и (83) устанавливают связь между передаточными функциями разомкнутых и замкнутых автоматических систем. Уравнение (74) перепишем в виде (аоР +абр +абР +азР +абр+аб)Х = (Вор+ (уб) 8'+ (г(оР'+ б(>Р'+ г)зР+ б(з) М„(84) аз =.
ТоТаТуТъ> а, = Т.Т,Ту+ Т„Т,Т,+ Т„Т,Т„ а, = Т„Т. + Т„Т, + Т„Т, + ТуТ, + АуйзйбТ„ аз = 7„+ Ту+ Т, +)буйз)бб> аз=! +/гт„ аб (85) г!»=- — А, Т,тут„ б(1 — — А1/ (Т у7п + 7уТ> + То71). а= А„(7,'.+7.+"7„), г(з = -- Ам (Уо == )бты Ь, ==А. Если обозначить передаточную функцию чувствительного элемента и последовательного корректирующего устройства через !1 (р) = ' ' 'Р, передаточную функцию элемента, отражающего наличие в системе обратной связи по току, через а (р) =- = — брйбрз, а передаточную функцию электромашинного усилителя с исполнительным двигателем так: )б'о (Р) = р (тотор +т.р+ !! (тур+1) .„° то структурную схему рассматриваемой следящей системы можно привести к виду, изображенному на рис.
2. а !а. пРОцессы В системАх АВтомАтическОГО РИГулиРОВАния 1. Дифференциальные уравнения систем автоматического регулирования. Рассмотрим структуру дифференциальных уравнений систем автоматического регулирования. Система автоматического регулирования состоит в общем случае из объекта регулирования и регулятора (рис. 44). Состояние объекта регулирования характеризуется координатами к,, ..., х„. Вектор ус =- ~х,1 = ~.
:~ называется вектором состояния объекта регулирования. хл Регулятор в общем случае также представляет собой динамнче- 220 актеризуемую и4 координатами у„..., у, или скую систему, хар )У1 вектором у= ~. :! Ут Координаты у„..., у являются выходными координатами регулятора и одновременно входными координатами объекта регулирования. Они называются регулирующими воздействиями, Рис. 44 а вектор у — вектором регулирования. Обьект регулирования может находиться под влиянием возмущающих воздействий ~,(Г), ..., ~м(г). Таким образом, общее уравнение объекта регулирования можно записать в виде Хт(хп х;, ..., х('), хм х;, ..., х„, х„, ..., х(" >) = .(УР У;, ..., У,, У,, У;, ..., Уси У'„,, ..., У 1,((), ..., 1(")(1), 1,Я, 1;(г), .
1. ((), );())..., 1~.")(()) (1) 0 =- 1, 2, ..., и). Обычно регулятор является системой направленного действия, т. е. объект регулирования воздействует на регулятор только через обратную связь и элемент сравнения. Поэтому координаты объекта регулирования х; (~=1, 2, ..., и) пе входят в уравнения регулятора. Внешними воздействиями для регулятора являются управляющие воздействия и, (с), ..., У„(г). Кроме этого, к регулятору могут быть приложены возмущающие воздействия и) ((), называемые помехами. Регулятор описывается совокупностью уравнений 1)(У, У; ° У~ У4 У4 °" У~ У;„°" У~ ("с),, ° ( т))— (1 = 1, 2, ..., и), е,=-пт — хэ (3) причем уравнения (3) называются обычно уравнениями ои4ибки.
Уравнения (1) — (3) описывают поведение и-мерной системы автоматического регулирования и являются еематематическоймоделью. 224 Лля одномерной системы автоматического регулирования (рис. 45) входные и выходные координаты регулятора и объекта регулирования являются скалярными величинами. В уравнения одномерной САР входят: Рис. 45 1) уравнение объекта регулирования Х(х, х', ..., хы))г Е(у, у', ..., Уп), )'(1), ..., ~)')(1)); (4) 2) уравнение регулятора с записанным отдельно уравнением ошибки )г(у, у', ..., У)г)) =Е (е, а', ..., еы))+п (1), (5) е=д — х.
(6) Если разрешить уравнения (4) и (5) относительно старшей производной и ввести новые переменные х=х,, х'=х„... х - =хм у=у1, " У' =У., (7) — Ы-1) )г-1) то уравнения (4) и (5) можно заменить нормальной системой уравнений первого порядка: их1 — =х„ )) г)хх — =х„ Д) ахи — =Х,(х„..., х„, у„..., у)+„~), (8) ЛУ1 ')Уг — 1 — уг и) ~Уг += 'и'1(х„..., х„у„..., У„1). Наличие в уравнениях (4), (5), (6) функций времени ( (~), д (~), п (1) учитывается явной зависимостью правых частей системы (8) от времени.
Система дифференциальных уравнений (8) удобна при исследовании устойчивости системы регулирования. Иногда бывает 222 где Р(р) =- Ры(р) ...Р,„(р)1 Р. (р) "Р. (р)1 — полиноминальная матрица раз- мера и хи; Рй (р) — многочлен от р с постоянными коэффициентами; возможно исключить промежуточные переменные у и е нз уравнений (4) — (6). Тогда поведение системы регулирования будет описываться дифференциальным уравнением Ф,(х, х', ..., хоп) =— =Ф.(а(~) а'И " а' '(() 1(0 Г(О. " )ч" (()) (9) в котором полагаем помеху п(г) =О.
Дифференциальное уравнение (9) может быть линейным и нелинейным. Если САР описывается линейными дифференциальными уравнениями, то такая система называется линейной, если дифференциальные уравнения, описывающие поведение САР, нелинейны, то система регулирования называется нелинейной. Как правило дифференциальные уравнения САР нелинейны, но во многих случаях нелинейные уравнения можно линеаризовать.
К нелинейным системам автоматического регулирования относят только такие САР, уравнения которых не могут быть линеаризованы; это — системы, содержащие существенно нелинейные элементы, Следует отметить, что в некоторых случаях нелинейные элементы вводятся специально для улучшения динамических свойств САР, Если параметры САР не изменяются с течением времени, то САР называется стационарной. Стационарные линейные САР характеризуются линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, Некоторые нестационарные линейные САР, описываемые линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, например уравнениями с периодическими коэффициентами, можно привести к стационарным линейным САР.
2. Процессы в линейных системах. Поведение одномерной линеаризованной системы автоматического регулирования описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, которое может быть записано в виде Р (р) х = М (р) д (() + С (р) )"- (~), ()О) где Р (р), М (р), С(р) — некоторые многочлены от р степени соответственно и, т, ( (обычно п>т, и>(); х — выходная координата системы„.й(() — управляющее воздействие; ~(г) — возмущающее воздействие. Если линеаризованная система автоматического регулирования является многомерной, то ее поведение описывается систелюй линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в векторной форме имеет вид Р (р) х = М (р) й (~)+С (р))" (~), (1() — вектор состояния САР; М(р) = М.
(Р) "М. (Р) М ~(р) ... М (Р) полиноминальная матрица размера пхт; Мц (р) — многочлен от р а (л) с постоянными коэффициентами; д (() = — вектор управляю(г) с,„(р) ... с„ (р) щихвоздействий; С (р)= : — полиноминальная мат- Слл(Р) "См(Р) рица размера лх1; С, (р) — многочлен от р с постоянными коэф- т )л (1) фициентами; ~(0 =: — вектор возмущающих воздействий. 6 (1) Если задать компоненты );(0 (1=1, 2, ..., 1) вектора воз (1З) 224 му- щающих воздействий р(г) и компоненты д,(() (/=1, 2, ..., лп) вектора управляющих воздействий д((), то система уравнений (11) будет представлять собой линейную неоднородную систему диф- ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
