Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 36
Текст из файла (страница 36)
38. Входной величиной является угловая скорость в, а выходной аеличинои — перемещение х платформы. Прн увеличении скорости вращения шары под действием центробежной силы расходятся и перемещают платформу. На платформу воздействуют также сила упругости пружи. ны, силы демпфирования и силы инерции. Введем обозначения: с— ком)йлиггиент жесткости пружины, й — коэффициент вязкого трспия; т — масса шара; М вЂ” масса частсй, участвующих в поступательном движении вдоль осн Ох; в— угловая скорость вала; û— сила предварительного поджатия пружины. Для составления диф- ференциального уравнения центробежного маятника ис.
пользуем уравнение ЛаграиРис. 38 жа второго рода (25). В качестве обобщенной координаты хг выберем выходную координату — перемвцсние платформы х. Найдем выражение для кияетической энергии Т, потенциальной энергии П и дисси. пативной функции й центробежного маятника. Из рис, 38 видно, что р=г+(з)па, к=2а(1 — сова). Кинетическая энергия системы Т = Т, + Т, + Т», где Тг — кинетическая энергия во вращательном движении вокруг оси Ох, Т вЂ” кинетическая энергия шаров во вращательном движении вокруг точек Л и Л', Тз — кинетическая энергия масс в поступательном движении вдоль оси Ох.
Имеем: 2твгр» / ! )з Тл= =-тв» (г+! з(п а)» тв» ( г+ — 'г'х (4п — х)у! 2 2п 2тп (сл')» тп (х')» М (х')» Т , Т,=— 2 х(4а — х) ' 2 Потенциальная энергия маятника П=П»+П»+Пз, где П,— потенциальная энергия масс, движущихся параллельно оси Ох; Пл — потенциальная энергия шаров; Пз — потснцйальная эвергия пружины. Лля рассматриваемого случая илмемл тя!к сх' П»=Мях, П,=2тя((1 — сова)= —, Па=!,х+с —. а ' 2 (32) 208 Найдем обобщенную диссипативиую силу Я„,. Ьлагодаря наличию дсмпфера сила сухого трения мала по сравнению с силой вязкого трения и ею можно пренебречь. Согласно формуле (29) будем иметь д)с (33) Вычислим значения отдельных слагаемых, входящих н уравнение Лагранжа (23): дТ 2т(ох' дх' х (4а — х) дТ тво! (2а — х) Г 1, 1 2т1 (х')з (2а — х) г+ — - ) х(4а — х) дх а )г х (4а — х) ~ 2а ~ х' (4а — х)' с( 1' дТ ) .
2тР (х')' (4а — 2х) 2оп!'и" о)1 (дхг) хз (4а — х)' х (4а — х) ' дп д1 .д -=- Мй+ — +(о+ох. Подставим полученные выражения в уравнение Лагранжа второго рода (25), тогда 2т1' (х')о (4а — 2х) 2т(ох гнело! (2а — х) Г х'(4а — х)о х(4а — х) а Р х(4а — х)~ - 2а 2т(о (х')о (2а — х) тй( +— х' (4а — х)о = — Мб — — — )о — сх — Ах', о или 2т!о 1 2т1о (2п — х) "~м+ — — — — (х')о. )- йх'+ сх— х (4а — х) ~ х' (4п - . л)о од (2о--х) Г 1 — — Л т44 — г+ ) 'х (4а — х) во =- — Мя — — — 1о. (34) а ! л.(4о--х)~ 2а а Введем следующие обслзначения." 2лл!о, 2т( (2о — х) х (4а — х) ' ' хз (4а — х)' т! (2а — х) Г 1 (а(х, в)= г+ — ) х (4а — х) )во; а) х(4а — х)( 2а (33) при гГ О т(о (2а — «) (о (х, го) -.—. вз. 2по (Зб) Уравнение (37) представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение.
Состояние равновесия (хв во) является решением уравнения тя( схо — (о (хо, во) =-. — (о — Мд — —. о (38) Рассмотрим малые колсбапая маятника относительна состояния равновесия (хо. ело). Положим х =- хо+ Ьх, в = во+ Лв. (зй) С учетом принятых обозначений уравнение центробежного маятника запишется в виде т(11 (л (х) х" — 1з (х) (х')о+йх'+ох — !з (х,в) = — /о — Мн — —. (37) о имеет более высокий порядок малости по сравнению с Лх, Лх', Лх, Лм. Отбрасывая функцию Ео (Лх, Лх', Лх, Лм), получим линеарнзованное уравнение колебаний маятника относительно состояния равновесия (хо, аь) (г(хо)Лх" +а Лх'+ с — — — ~ 1 Ьх= — ~ Лы, дгг 1 1 дгг дх (о) до» о (41) где 2тп х (4а — хо)' "1,...."".„-:"'1 д(г 1 2т1 (2а — хо) Г 1 г+ — Ухо (4а — хо)~ мо.
ды 1о а)' хо(4а — х,)~ 2а (42) 3. Операторы элементов систем автоматического регулирования. Передаточные функции. Операторный способ записи дифференциальных уравнений (см. $ 12) широко используется в теории автоматического регулирования.
В операторной форме линей. нос дифференциальное уравнение (б) запишется в виде О (р) Лх = М (р) Лд, (43) где 0(р) =а,р'+а,р+а;, М(р) =Ьг. В общем случае О(р) и М (р) являются некоторыми многочленами от р с действительными коэффициентами. Назовем многочлен О(р) в уравнении (43) собственным оператором элсмента, а многочлен М (р) — входным оператором. Название «собственный оператор» обусловлено тем, что много- член ):) (р) характеризует собственное движение элемента, т, е, его движение прн отсутствии внешних возмущающих и управляющих воздействий, 210 Разложим функции )г(х), Гг(х), Гг(х, со) в ряд Тейлора в окрестности сосооя- ния равновесия (хо ого): Г (х)=Г,( )+ — „-.
~ Лх+ Е,(Л ), ай (г(х)=го»(хо)+ ~ Лх+ Ег(ах) д(г бх о )г(х, Оэ)=)г(хО, мо)+ — ~ Лх+ — ~ Лм+Ег(бх Лы) (40) дгг 1 дгг дх )о доэ о где функции Е,(Лх), Ег(бх), Е,(Лх, Лю) имеют более высокий порядок мало- сти по сравнению с Ьх и Лы. Учитывая, что х'=Лх' и х"=Лх", и принимая во внимание выражения (38), (39), (40), уравнение (37) »южно переписать в виде гг(хо) Лх +а Лх'+ с — — Лх= — '~ Лсо+Е«(Лх, Лх', Лх, Лсо), дг'г 1 ) дг'г дх ~,) д где функция Ег(бх, Лх', Ьх, Лм)=Е»(бх, Лы)+Е (Лх)(ах)г+ + — *- Лх(Л~')г+)г(хо)(Лх)г — Г,(Лх)Лх. Ь~ Введем понятие передаточной функции элемента САР.
Отношение входного оператора М(р) к собственному оператору Р(р) назовем передаточной функцией ))т(р) элемента САР, описываемого -линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами (44) Совершенно аналогично можно ввести понятие входного и собственного оператора, а также передаточной функции для систем автоматического регулирования, описываемых линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Некоторые свойства передаточных функций 1, )гередаточная функг<ия ггараллельного соединения элеменпгов равна сумме передаточных функций этих элементов.
Доказательство этого свойства проведем для случая параллельного соединения двух элементов (рис. 39). По индукции доказательство можно распространить на случай произвольного числа элементов. Пусть передаточные функции первого и второго элементов (рг(р) = , В'а(р) = , . уравнения первого и второго элеМг <р) Мз (р) Р,<р) Р,<р). ментов в операторной форме будут иметь вид Рг (р) уг = Мг (р) х Р,(р) уа=М,(р) х. (47) (48) Пример 5. Найти передаточные функции злектромашинного усилителя, работающего совместно с исполнительным двигателем постоянного тока неза- висимого возбуждения.
Согласно уравнению (20), собственный оператор ЭМУ вЂ” ИД Р(Р)=тат„тгРз-) <ТиТ„+ТаТ ) Р'+ +(Т~+Тт) р+ 1= (Т„Т ра+Т р+ 1) (Т р+ 1) Входной оператор для управляющего воздействия и, м <р)=й,. Входной оператор для возмущающего воздействия М, С (р) = — йу <Тута рз+ (Тт + Т„) р+ Ц = — йг (Тур+ 1) (Тор+ 1), Передаточная функция агрегата ЭМУ вЂ” ИД по отношению к управляющему воздействию представляет собой отношение входного оператора М (р) управ- ляющего воздействия к собственному оператору Р (р), т, е. Ггт гр <р)= (т„тар + т„р+1) <т„р+ В а передаточная функция по отношению к возмущающему воздействию У(р) представляет собой отношение входного оператора С (р) возмущающего воздей- ствия к собственному оператору Р(р), т.
е. й, <т„р+<Нт„р+ 1) <т„т.ге+ т„р+ !) <т,р+ П Применим к обеим частям уравнения (47) оператор О, (р), а к обеим частям уравнения (48) оператор 0,(р). В силу свойства 2 операторов (см, 9 12, п. 5) получим Ои(р)йт(р)у,=0,(р)М,(р)х, О,(р)04(р)у,=01(р)Ми(р)х. Сложим обе части полученных уравнений и применим свойство 1 операторов (ем, $12, п. 5): О, (р) О, (р) (у, + у,) = [Ои (р) М, (р) + О, (р) М, (р)1 х, тогда в, (р) м, (р)+О, (р) м,(р) м,(р) м, (р) в,(р) в,(р) Б,Я'+ о,(р) = =% ()+1Р (р) (49) — передаточная функция параллельного соединения элементов равна сумме передаточных функций этих элементов.
Рис. 39 Рис. 40 2. Передаточная функция последовательного соединения элементов равна произведению передаточных функций этих элементов, Для случая двух элементов (рис. 40) будем иметь 1Р(р) =-)У (р) 1Р (р) (50) Доказательство этого свойства производится аналогично предыдущему и опирается на свойство 2 операторов, В общем случае передаточные функции линейных систем автоматического регулирования с постоянными параметрами представляют собой дробно-рациональные функции от р, причем, как правило, степень числителя меньше или равна степени знаменателя. По виду передаточной функции легко написать дифференциальное уравнение, описывающее поведение САР, Не следует путать символ дифференцирования р с комплексной переменной э, имеющей место в преобразовании Лапласа (см, 9 42).
В отличие от преобразования Лапласа операторный способ, сокращая запись дифференциальных уравнений, не дает никаких способов для их решения, 4. Классификация звеньев. В теории автоматического регулирования принята классификация элементов в зависимости от вида их операторов или передаточных функций, т.
е. в конечном итоге в зависимости от вида дифференциального уравнения, описывающего поведение элемента, Элементы СЛР, классифици- 2!2 рованные по 'виду дифференциального уравнения, называются типовыми звеньями систем автоматического регулирования. Рассмотрим эту классификацию. Пусть 0 (р! и М (р) являются многочленами от р с действительными коэффициентами степени соответственно и и пп 0(р)=а,р" +а,р"-'+...+а„, М(р)=(!»р +Ь»р '+...+Ь . Эти многочлены можно представить в виде 0(Р) ='!»(Р Л!) (Р Л!) °" (Р Л») М (Р) = Мр — у!) (р — у!) " ( — у-), где Л!(! = 1, 2,..., и) — корни многочлена 0 (р), а у» (я = 1, 2,..., и)— корни многочлепа М (р), Известно, что если среди корней многочленов 0(р) и М(р) имеются комплексные корни, например Л„= — и»+1р», то сопряженное к нему число Л»=໠— )р» также является корнем многочлена, причем той же кратности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
