Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Но предельное значение функции /(хь х,) при стремлении точки (х,, хе) к точке (а„а,) зависит от способа этого стремления, причем множество предельных значений образует всю числовую ось. Отметим также, что интегральные кривые уравнения (16) состоят из отдельных фазовых траекторий системы уравнений (! 0).
Для упрощения построения фазовых траекторий системы (14) приведем с помощью замены неизвестных функций в=Су матрицу А к жордановой форме. Получим систему уравнений -„е- = С-'АСу =-./у, (17) где / — жорданова форма матрицы А, у=)е-'1 ~Уз > Исследуем различные случаи, которые могут иметь место в зависимости от вида матрицы /.
Случай 1. Характеристические числа матрицы А Л, и Л,— действительные, различные н одного знака (Л,Л, ) 0). В этом случае система (17) примет вид (18) Система (18) не изменится при замене у, на — у„д, на — у, и одновременно у, на --д, и дх на — у,. Поэтому фазовые траектории этой системы расположены симметрично относительно осей у, и д,. Следовательно, можно ограничиваться вычерчиванием фазовых траекторий только в первом квадранте плоскости у„у,, Решив систему (18), получим д,=-с,е'', у,=с,е" '. Здесь с,=-О и с,==-О, так как рассматриваются фазовые траектории в первом квадранте. Если положить с,=О, а с,чьО, то у,(/) =0 и у,(/) =с,,е", т. е.
получим уравнение полуоси Оу,. Если положить с,=О, а с,~О, то д,=--с,е"', де=Π— уравнение полуоси Од,. Таким образом, полуоси у, и у, являются фазовыми траекториями. Пусть оба корпя Л, и Ле отрицательны, например, Л, <Л,(0; тогда или Уе — -сд,ы>", где Л,/Л,) 1, (20) т. е.
фазовые траектории представляют собой параболы порядка Л>/Л> (рис. 18). Характеристические числа матрицы А отрицательны, поэтому, как следует из (19), !пп у,=О, Иш уе=О. Изображающая точка 185 стремится к началу координат, В этом случае особая точка (О, 0) назьпается особой точкой типа устойчивый узел. Вычислим значение — '- при д,— «.О, т. с. вычислим угловые иди ву« коэффициенты касательных к фазовым траекториям в начале координат на плоскости у,, у,: 1пп — "' =-:. Ип! "" ' == Иш ", == Иш -'-е" "'=О.
.и Еус ы,с, у«(0 — О «-л с вы !.,ю с, Таким образом, фазовыс траектории входит в начало координат, касаясь осн Оус (см. рис. 18). Ус Рис. !9 Рис. !8 Пусть теперь характеристические числа положительны, например 0< Х,( ), Очевидно, что при этом фазовые траектории по-прежнему удовлетворяют уравнению (20), т. е. являются параболами (рис. 19). Так как Иш — ""~ —,- ---. Иш -' е!« — «!'=О, Уи (О (О с с с Ус() то фазовые траектории в начале координат касаются оси Оу,. Как следует из формулы (19), Иш у,(1) =со, Иш д,(с) =со, т. е„ изобража!огцая точка удаляется от начала координат.
В этом случае особая точка (О, 0) называется особой точкой типа неуснии)чивый узел. Сл у чай 2. Характеристические числа матрицы А одина- ( )., о !„шы, т. е. )., = = Ц и матрица ,/ имеет иид )' =- ~ . Тогда ~0 )., систему можно записал так: —,— — Л,д„— и:=- )„у, ай и ЕУ« (21) Решением системы (21) будет: д, =- с,е'"", д, == с,е'"", Лналогичпо предыдущему, можно показать, что полуоси Оу, и Оуэ явля>отея фазовыми траекториями. Исключив ~ из ренюпий, получим уз= — ' дм т. е. уравнение прямых, проходящих через с, начало координат.
ч азовые траектории симметричны относительно осей координат, поэтому рассмотрим фазовые траектории только в первом квадранте. Если Л, (О, то изображающая точка при ( — со приближается к началу координат, если Л„)0, то удаляется от начала координат (рис. 20, а, б). рис. 20 Особая точка (О, 0) в этом случае называется дстойчивым дскрн>ническпм узам, если Л>(0, и неустойчивым, если Л,) О.
С л у ч а й 3. Характеристические числа матрицы А одинаковы, т. е. Л,=Лм и матрица 1 имеет вид Систему (17) в этом случае можно записать следующим образом: ня, дя,, ;и ' 'Л У РУ-,>> = Л>ээ. (22) Решение системы (22) будет у>==(с,(-( г>)вх', у,.:с,сь'. (23) Система уравнений (22) нс пзмспнгся прн одновременной замене у, на — у, и уэ па — у;, поэто>лу фазовые траектории будут симметричны относительно начала координат. Таким образом, достаточно изучить поведсцис фазовых траекторий только в верхней полуплоскости (при с> 0) плоскости ум уэ. В нижней полу- плоскости фазовые траектории изобража>отея, исходя из условия симметрии их относительно начала координат. Положительная н отрицательная полуоси Оу, являются фазовыми траекториями.
Действительно, положив в (23) с,=О, с., ~ О, 187 получим решение у,=сеех1', у,=О. Фазовая траектория, соответствующая этому решению, представляет собой при с,)0 положительную полуось Оу„а при с,(0 — отрицательную полуось Оу,. Если положить с,=О, то иэ (23) получим, решение у,=с,1е'"', х,=с,е", При 1=0 фазовая траектория, соответствующая этому решению, проходит через точку (О, с,) Пусть Л,(0.
Из формулы (23) следует, что при этом 1пп у, (1) = О, 11ш у,(1) =О. Изображающая точка по любой из фазовых траекторий стремится к началу координат, Фазовые траектории при Л,(0 изображены на рис. 21, а, Особая точка (О, 0) называется в этом случае устой швам вырожденным узлом. Если Л,) О, то изображающая точка удаляется от начала координат прн 1 -~-оо, и в этом случае особая точка (О, 0) называется неустоййивым вырожденным узлом. Фазовые траектории при Л,) 0 изображены на рис.
21, б, Случай 4. Характеристические числа матрицы А Лт и Л, действительные и разных знаков (например, Л,(0, Л, ) 0), Система (17) в йтом случае запишется в виде (18) — = 1 туп — = Лсуа вес ву2 ве Фазовые траектории системы (18) симметричны относительно осей координат, поэтому рассмотрим фазовые траектории системы только в первом квадранте. Решение системы (18) имеет вид (19) у,=с,е", у,=-с,е *, причем произвольные постоянные с, ) О, с) О, так как рассматриваются фазовые траектории только в первом квадранте, Если взять с,~О, с,=О, то получим уравнение положительной полу- оси Оу,. Если взять с,=О, с,ФО, то получим уравнение положительной полуоси Оу,. Следовательно, положительные полуоси Оуд и Оу, являются фазовыми траекториями. При г-«оо у,— «О, а у, — «со.
Пусть теперь с, -~ О, с,~О, тогда лн у,=с,е ' .ли!лил, лил, =ел к ) =су1 ° (" ) У Так как ).,/1,(О, то фазовые траектории представляют собой кривые гиперболического типа (рис, 22), Начало координат является особой точкой, называемой седлом. Случай 5. Характе- Рис. 22 ристические числа матрицы А )., и 2л — комплексно-сопряженные, Хл=а+(р, Х,=а — )(1. Прн этом матрица 7 имеет вид Система (17) запишется следующим образом: еу! == (а+ Ф) у, ф = (а — !'Я у'! (24) ее решение: у!=с,е!'увы=еле '(соз(3!+!'81п()!), у,=-с,е' '""=с,е"'(сов (Ы вЂ” ! з1п р!).
(25) Матрица перехода от решения (25) к решению (26) ! ! 2 2 2 2!' 2! — невырожденная, так как сс определитель не равен нулю. Следовательно, общее решение системы (24) такое: у, = с"' (с, соз рг' — с, з(п ()!), у, =- е" (с! 8(п ()г'+ с, соз (!!), (27) !89 Найдем решение системы в действительной области.
Для этого рассмотрим решение (26) где с, =- —,—, г, = —. — новые произвольные постоянные, с~ + с~ с( — еи 2 ' ' 2! Решение (27) можно переписать в виде д =-)/с)+ сйе" соз ()1(+6), у, =) гс",+ с",е"' йп (р(+6), (28) где созб=- "', йпб= 1~с)+е1 ' ' )'е!+е1 ' Запишем уравнение фазовых траекторий (28) в полярных координатах. Пусть г и ()) — полярные координаты изображающей точки на фазовой траектории.
Тогда г (1) = 1/у)+ уя =.)ГС1+ са е ', (29) 1д()) (1) = 18 (()1+ 6) или ()) (!) = рг'+ 6+ /гл, (30) Ф(о — д — Аи я — а— о (о Из (29) и (30) следует, что г(г)=~ с',+с",е а =-сей Таким образом, в полярных .координатах уравнение фазовых траекторий будет , (. се „«(3!) Уравнение (3!) представляет собой уравнение логарифмической спирали. Особая точка (О, О) при а(0 называется особой точкой типа устойшвый фокус и при а)0— особой точкой типа неустойчивый фокус. Фазовые траектории для устойчивого и неустойчивого фокуса изображены на рис. 23, п, б, Сл у ч а й 6. Характеристические числа матрицы А 6( и 1„мнимые, 1„= — Д(, )(и = — !)1.
В этом случае матрица и система уравнений (17) примет вид — г = !))Уь — = — ДУ2. (32) Рис. 23 Общее решение системы (32), будет у,=-с,е'а'=с,(сов 6!+!'з!и рг), у, =- с,е 'а( = с, (соз )М вЂ” ! йп р1). (ЗЗ) 190 Перейдя к решениям в действительной области по формуле (26) и записав уравнение траекторий в полярных координатах, получим: г (/) = с.
(34) Уравнение (34) является уравнением окружности, поэтому фазовые траектории представляют собой семейство концентрических окружностей (рис. 24). В этом случае особая точка (О, О) называется особой точкой типа с(с/сг/!р. ,с(ннамические системы, имеющие особую точку типа центр, называются консернат/свньини. Пример 1.
(йзстронть фазовые траектории снсцмы уравнений с(х с/у — — = у — Зх, — = х — -3/Л (35) с// ' сн Характеристическое уравнение системы (35) есть )=Л«+6Л+8= 0; à — 3 — Л ! — 3 — Л ис. 24 его корни: Л,= — 4, Л»= — 2. Так как корни Л, и Л» действительны и отрицательны, то начало ксюрдипат плоскости х, у нвлистси сюобой точкой типа устойчивый узел. Длп того чтобы построить фазовые траектории системы, определим обе прнмыс, проходнщнс через начало координат и ивл»пощиссн фазовыми траекторипмн. Урзщсжщс зтнх прнмых у=йю Длн определения углового козффициспта /с»ссклсочим врсмн / из системы (35) и в полученное уравнение с/у х — Зр — = — — подсгавим у = — Ахс с/х у — Зх 1 — 3/с А= —, откуда А»=1, /с,=!, й,= — 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
