Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 43
Текст из файла (страница 43)
е, ~ ' = у;(1, уы ..., у„) (! = 1, 2, ..., и), (7) где а ((, у ° " у ) =) Н у1+Ь((» ", у +5. (!))— -!'. ((, в1 ((), ", $. (1)). Очевидно, что д,(1, О, О, ..., 0)=0, т. е. система (7) будет иметь тривиальное решение у; (!) =О. Система (7) носит название системы уравнений возмущснноео движения. Рис. 5! 247 Рассмотрим два пространства: пространство Е, решений системы (!) и пространство Е„решений системы (7) (рис. 51, а, б). Согласно формуле (6), каждой интегральной кривой пространства Е соответствует некоторая интегральная кривая пространства Е„. Интегральной кривой х;-=$;(!) (!= — 1, 2, ..., и) соответствует интегральная кривая у, (!) ==О, Если решение х; ==. ~, (!) устойчиво в пространстве Е, то решение у; (!) =— 0 устойчиво в пространстве Е,, и наоборот.
Поэтому вместо исследования устойчивости решения х;=в; (() системы (1) можно исследовать устойчивость тривиального решения системы (7». Тривиальное решение у; (!) = 0 будет устойчивым ио Ляпунову, если для любого е)0 существует такое 6)0, зависящее от е и 1„что для любого решения у;=ф!(!», удовлетворяющего при 1=1, неравенству (1(ь(1,) | с,б, выполняется неравенство ~ф(1) ~ (в прн 1,=1(со для всех с'=1, 2, ..., и, В тех случаях, когда параметры систем автоматического регулирования не изменяются с течением времени, их поведение описывается автономной системой дифференциальных уравнений вида (3). Особое значение в этом случае имеет устойчивость состояний равновесия, Состояния равновесия определяются корнями уравнений ),(хп ..., х„)=0 (1=1, 2, ..., и).
(8) Уравнения (8) являются уравнениями статики системы автоматического регулирования, Пусть (а„а„..., а„) — некоторое решение системы (8). С помощью замены переменных у, = х, — а„..., 1у„= х„— а„ исследование устойчивости состояния равновесия можно свести к исследованию устойчивости тривиального решения. В фазовом пространстве системы эта замена соответствует переносу начала координат в точку состояния равновесия (а„..., а„).
В дальнейшем будем изучать в основном устойчивость состояний равновесия автоматических систем. й 18. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ 1. Устойчивость однородной системы. Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений ф=аи(1)х,+ ... +аы(1)х„+1';(1) (~'= — 1, 2, ..., и), (1) где а, (1), ~, (1) — непрерывные функции в полуинтервале 16 ( 1 ( оо) . В векторной форме систему (1) можно записать следующим образом: — = А (1) х+у(1), (2) где Однородная система, соответствующая системе (2), имеет вид — = А (() х.
(3) Эта система имеет тривиальное решение х(1) =О. Устойчивость произвольного решения связывает с устойчивостью тривиального решения следующая теорема: Теорема 1. Л1обое решение однородной системы линейных дифференииалыачх уравнений устойчиво тогда и только тогда, когда усиюйчиво ее тривиальное решение. Д о к а з а т е л ь с т в о, Докажем сначала достаточность условия теоремы. Пусть тривиальное решение х(г) =О устойчиво. Это означает, что для любого е- О существует б) О такое, что для любого решения х=я(1), удовлетворяющего пРи 1=1, неравенству 19(1)] =б, будет справедливо неравенство ]9(г)](г для всех значений 1~1,, Пусть х=ф(1) — произвольное решение. Докажем его устойчивость, Обозначим через х =-ф (1) другое произвольное решение, удовлетворяющее при 1=1, условию ] ф (1ь) — ср ((ь) ] ( 6„ (4) Из свойств решений однородной системы (см.
9 11) следует, что разность ф(г) — ср(1)=9(1) также будет решением системы (3), причем при 1=1„норма этого решения меньше 6. Тогда в силу устойчивости трИвиального решения получим неравенство ]фф — юр(1)1(е при 1)1,, что означает устойчивость решения х=ф (1).
Достаточность условия теоремы доказана, Выполним доказательство необходимости условия теоремы. Пусть решение х=ф(1) устойчиво. Покажем, что тогда будет устойчиво тривиальное решение. Устойчивость решения означает, что для произвольного решения <р (1), удовлетворяющего при неравенству ]ф(1,) — ф(1,)](6, будет справедливо неравенство ]ф(1) — ср(1)](в при 1)Гь. Пусть х= 9(1) — решение системы (3), удовлетворяющее условию ) $ (1)](6, Запишем это решение в виде Ц(1) =]9(1)+ф(1)]— — ф (1), Сумма решений 9 (1) + ф (1) представляет собой также решение системы (3), причем при 1=1, справедливо неравенство ](ь(1)+ф(1)] — ф(1)1(6, Тогда из устойчивости решения ф(1) следует, что при 1==:1ь будет выполняться неравенство ] (В (1) + ф (1) ] — ф (1) ] = ] 9 (1) ] ( в, (5) что и означает устойчивость тривиального решения.
Этим доказана необходимость условия теоремы. ® Из теоремы следует, что в линейной однородной системе с непрерывными коэффициентами из устойчивости хотя бы одного решения вытекает устойчивость всех остальных решений, и обратно, если неустойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также неустойчивы.
Однородная линейная система дифференциальных уравнений, все решения которой устойчивы, называется устойчивой системой, если все решения этой системы неустойчивы — неустойчивой системой. Следующая теорема, которую мы приведем без доказательства, связывает устойчивость линеиной однородной системы с ограниченностью ее решений. Теорема 2. Линейная однородная сиспгема дифференииальных уравнений' устойчива пюгда и только тогда, когда каждое ее решение ограничено для 1) (ь, 249 Линейная однородная система дифференциальных уравнений называется асилттотически устойчивой, если каждое ее решение асимптотически устойчиво, Г1риведеы без доказательства теорему об асимптотической устойчивости однородной системы, Теорема 3.
Линейная однородная система дифференциальных уравнений асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда асилттотически устойчиво ее тривиальное решение. Из теоремы 3 следует, что: 1) асимптотически устойчивая линейная однородная система устойчива в целом; 2) если в линейной однородной системе асимптотическн устойчиво хотя бы одно решение, то все остальные решения также асимптотически устойчивы, 2.
Устойчивость неоднородной системы. Следующая теорема устанавливает связь устойчивости решений неоднородной линейной системы дифференциальных уравнений с устойчивостью решений однородной линейной системы, Теорема 4. Линейная неоднорос)ная система дифференциальных уравнений устойчива (асимптотически устпойчава) тогда и только пюгда, когда уатвйчива (осимптотически устойчива) соответствуюсцая однородноч система уравнений, До к аз а тел ь от во.
Докажем достаточность условий теоремы. Пусть однородная система (3) устойчива. Покажем, что в этом случае будет устойчива и неоднородная система (2), т. е. будет устойчиво ее лк1бое решение. Пусть х — — ф(г) — некоторое решение системы (2). Исследуем его устойчивость. Рассмотрим норму разности )ф (г) — ср (г) )1 где ф(1) — некоторое другое решение системы (2) с начальным условием ср(ть), удовлетворяющим неравенству ) Р ((ь) — сР (~ь) ~! ( б.
(6) Разность двух решений ф (У) — юр(г) неоднородной системы (2) является решением однородной системы (3). По условию теоремы, однородная система (3) устойчива, т. е, если выполнено неравенство (6), то для всех 1=1ь справедливо неравенство )ф (ь)— — <р(1)(~(а, что и означает устойчивость решения к=ф(1) неоднородной системы уравнений, Необходимость условий теоремы доказывается аналогично. ° 3. Устойчивость линейных систем с постоянными коэффициентами. Рассмотрим устойчивость линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами — = Ах, ах (7) а, ...а,„ч~ — квадратная матрица постоянных коэффи- где А= )х,) циентов; х = ' — вектор-столбец неизвестных функций. П 250 Пусть Л„..., Л» — различные корни характеристического уравнения де1(А — ЛЕ)=0, а е,, ..., е„— максимальные показатели степени элементарных делителей, соответствующих этим корням.
В 9 !2 было показано, что решение системы (7) в этом случае имеет вид эс = ~', Р,(!) е~!', (8) причем Р! (1) — вектор-столбец, элементами которого являются многочлены от 1; степень этих многочленов не превышает е, — 1. Устойчивость линейной однородной системы с постоянными коэффициентами опредсляется следующей теоремой: Теорема 5. Для устойч»аости линейной однородной системы дифференииальных уравнений с поспюянными коэффициенп!ами необходимо и достаточно, чтобы корни характеристического урав- нения системы имели неположительные вещеппвенные части, при- чем элементарные делители, соответствующие корням характе- ристического уравнения с нулевой вещественной' частью, были бы и роспичми .
До к аз а тельство. Докажем достаточность условий тео- ремы. Для доказательства разобьем корни характеристического уравнения на две категории: а) корни, лежащие в левой полуплоскости, Л =!х +1(3,», РеЛ„,= — а,„(0 (п»=1, 2, ..., 1»); б) корни, лежа!цие на мнимой оси, Л„=-1(1„(п = 1, 2, ..., т), Тогда решение (8) можно записать в виде (см, 9 12) и х = ~', Р„(1) е~ '+ '~; е'"»'с„. (9) » =! »=1 Так как !пп (е"ы', Р (1)=0 и (ет ' ~=1, то решение (9) будет ! со ограничено при всех 1~1, и, следовательно, в силу теоремы (2) устойчиво.
Необходимость условий теоремы легко доказывается способом от противного, И Из теоремы следует, что линейная система с постоянными коэффициентами будет устойчивой и в случае кратных корней характеристического уравнения, лежащих на мнимой оси пло- скости Л, только этим корням должны соответствовать простые элементарные делители, т. е. соответствующая клетка Жордана должна состоять из одного элемента, Рассмотрим устойчивость линейного дифференциального урав- нения и-го поРядка с постояш!ыми коэффициентами. Как было показано в $12, в том случае, когда характеристическое урав- нение (1О) а,Л" +а»Л» '+ ... +а»=0 261 имеет корень Л, кратности е!, характеристическая матрица имеет элементарный делитель (Л вЂ” Л!)'! и никаких других элементарных делителей, которые представлялись бы степенью (Л вЂ” Л,), не имеет.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
