Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 47
Текст из файла (страница 47)
(7) Вычислим полную производную по времени функции 1'(у) в силу системы уравнений (9). Имеем Лч' чу ну* Введем обозначение д!ан Ц).ю ..., Х„Ц=Л; тогда 'У," =у'(Л*+С*)+ Р'(у). (12) Умножим обе части системы уравнений (9) на у*, обе части системы уравнений (12) на у и полученные значения сложим: -'~~ =у*(Л+Л*)у+у*(С+С*)у+Цу*ф(у)+ р" (у)у1. (13) По условию КеХ!=а!(О (!=1, 2, ..., и), поэтому Л+Л*=2й!ад[а„..., а„Ц и л и У* (Л+ Л') У == 2 ~" У!а!у! =- 2 ~Ч~ а, ~ р, !' = — 2а~l, (14) где — а= шаха! Оценим по норме второе слагаемое в выражении (!3): ЦУ*(С+С")УЦ(ЦУ'ЦЯСЦ+ЦСьЦ)ЦУЦ(2ер', (16) ! ! 2 Полагаем норму эвклидовой, т.
е. ЦуЦ=~~, ! р!!'), тогда $' = !.= 1 =-!~у Ц'. Оценим по норме тоетье слагаемое в равенстве (13); получим $у*ф (у) + ф* (у) у Ц ( !!у* Ц Цу Ц Ц вЂ” 'у) 'Ц+ Ц 4 (у)- (/)у Ц' ( 2еЪ', (16) еслиу удовлетворяет условию ЦуЦ(й. Действительно, из условия (5) следует, что для любого е)0 можно указать такое число й ) О, что справедливо неравенство 'т у " ( е как только Цу Ц(п, !!у! Из неравенств (14) — (!6) следует, что — (2!'( — а+2е), (17) Ю т. е. производная — — отрицательно определенная функция в некой( торой окрестности начала координат, Таким образом, построена положительно определенная функция Г (у), производная от которой в силу системы (7) отрицательно определена, Согласно теореме 2 $ 19 тривиальное решение системы (7) устойчиво асимптотически, а следовательно, асимптотически устойчиво и тоивиальное решение системы (4).
° Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения матрииы А имеется хотя бы юдин корень с положительной веи!ественной частью, пю тривиальное решение системы (4) неуспюйчиво. (!8) Система первого приближения для системы (18) имеет вид ох с(у — — =х+Ю -„--=х — у.
(19) Корни характеристического уравнения (=Лв — 2=0 (20) системы (19): Хг — — )' 2, ав= — Р 2. Один корень Хт=)~2 лежит в правой полу- плоскости. Из теоремы (2) следует, что тривиальное решение системы (18) неустойчиво. Пример 2. Исследовать устойчнность тривиального решения системы урав- нений г1х оу Ш вЂ” = 1 — х — сову, — — = хв — у. с(1 (21) Разложив свар в ряд Маклорена, получим систему первого приближения в виде с(х с(у — -= — х, — = — р. г(1 (22) Найдем корни характеристического уравнения системы (22): — 1 — Х 0 !=О.+1)т=о; Хт=-)ьт= — 1. 0 1 ь( Корни лежат в левой полуплоскостн, следовательно, тривиальное решение системы (21) устойчиво.
й 21. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПОМОЩЬЮ ВТОРОГО МЕТОДА ЛЯПУНОВА Уравнения нелинейных систем. Состояния равновесия. Рассмотрим анализ устойчивости состояния равновесия некоторого класса нелинейных систем автоматического регулирования *' См., например: Де и и дони ч Б. П. Лекции по математической тсорпн устойчивости вНауиа>, 1967, с. 62.
207 Теорему приведем без доказательства, Доказательство данной тЕОрЕМЫ аНаЛОГИЧНО дОКаватЕЛЬСтау ПрЕдЫдущЕй а). В том случае когда среди корней характеристического уравнения имеются нулевые или чисто мнимые корни, нельзя судить об устойчивости тривиального решения системы (4) по уравнениям первого приближения. В атом случае, называемом критическим, устойчивость или неустойчивость тривиального решения зависит от нелинейной части вр(х). Путем соответствующего выбора вр(х) можно сделать решение либо устойчивым, либо неустойчивым, Подробный разбор различных критических случаев приведен в книгах (91, ()01.
Пример 1. Исследовать устойчивость тривиального решения системы уравнений пх, с(у с(! г(1 =-х+в(ну, -- = — х — у+ху. с помощью второго метода Ляпунова. Полагаем, что нелинейная система автоматического регулирования состоит из линейного объекта регулирования и нелинейного регулятора, Поведение объекта регулирования описывается линейной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, которая в векторной записи имеет вид — „=Ах+Ьу, (1) х, — вектор координат, характеризуюших состояние Хл где х= объекта регулирования (вектор состояния объекта регулирова- ния), у — скалярная координага, характеризующая воздеиствие регулятора на объект регулирования (регулирующее воздействие). Матрица А полагается невырожденной (де1 А =~ь 0).
Регулятор имеет в своем составе сервомехаиизм, уравнение которого а,-"+а,у=~(е), (2) и чувствительный элемент, формирующий сигнал ошибки е = гтх — гу (3) где с'=(сы с„..., с„) — вектоР постоЯнных коэффициентов; г— скалярный параметр обратной связи. цйеюоншн у ~'~~~ Относительно нелинейной функции 1(е) будем Г полагать, что 1 1'(0) =О, е1(е) )О, 1 1 если е~О. с Функция 1 (е) предполагается непрерывной при Рис. В4 е Ф О, а в точке е= 0 допускается разрыв непрерывности первого рода. Данный класс нелинейных функций 1(е) охватывает статические характеристики значительного числа нелинейных элементов, встречающихся в практике автоматического регулирования. Структурная схема нелинейной САР, описываемой совокупностью уравнений (1), (2), (3), приведена на рис.
54, Отметим, что достаточно широкий класс нелинейных систем автоматического регулирования имеет структурные схемы, аналогичные представленной на рис. 54. Введем следуюшую классификацию рассматриваемых нелинейных систем регулирования в зависимости от характера корней характеристического уравнения матрицы А. Система автомати- ческого регулиоования будет 1) собственно устойчива, если все' корни характеристического уравнения с(е1 (А — ЛЕ) = О имеют отрицательные вещественные части, т. е. Ке Лч < О (1 = 1, 2, ..., л); 2) нейтральна по координатам х„х„..., хго если КеЛ, = =- нейе=...= КеЛь=О, а остальные корни характеристического уравнения имеют отрицательные вещественные части; 3) собственно неустойчива, если хотя бы один корень характеристического уравнения имеет положительную вещественную часть. Рассмотрим случай, когда корни характеристического уравнения с1е1 (А — ЛЕ) =-О простые и удовлетворяют условию КеЛ~(О (1=1, 2, ..., л), т.
е. нелинейная СЛР собственно устойчива или нейтральна по одной координате *~, Определим состояния равновесия, которые могут быть в нелинейной СЛР„описываемой уравнениями (1) — (3). Эти состояния равновесия представляют собой решения системы линейных алгебраических уравнений Ах+Ьу=б, азу=-р(е), с х — гу е. (4) Для определения состояний равновесия рассмотрим вспомогательную систему уравнений Ах+Ьу=О, с х — гу=е. (5) Предположим, что определитель системы (5) не равен нулю, ап аы...а,„Ь, ам а„ ... а,„ Ь, Ф О. (б) а„, а„, ...
а„„ Ь„ с, с, ... с„ — г В этом случае система (5) имеет единственное решение; опреде- лим его по правилу Крамера: х„= А ее (й = 1, 2, ..., л), у = Ве, чч Собственно неустойчивые нелинейные САР рзссмотреи1е в нн. Летов А М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. Физмзтгиз, !962. 269 где ам ... а,„ , а,„ „ ... а,„ Ь, Аь = ( — 1)'""" а„, ... а„» г а„~„, ...
а,„Ь„ ам ... а,„ Ь, а„, ... а„,„Ь„ сг ... с„ — г ам ...а,„ а„, ... а„„ ам - аь Ь1 а„, ... а„„Ь„ с, ... с„ Если а,—. О, то из второго уравнения системы (4) следует, что з=-0 и согласно равенствам (7) получаем ла = 0 (й = 1, 2, ..., л) и у ='О. Таким образом, система дифференциальных уравнений (1)— (3) имеет единственное состояние равновесия с координатами х~=О, у=О, (8) Если аз4=0, то система уравнений (4) может иметь, вообще говоря, несколько решений. Действительно, с учетом равенств (7) второе уравнение системы (4) можно переписать следующим образом: Ва,в =-) (е), (9) Это уравнение может иметь различные решения в зависимости от знака величины Ва, и формы кривой 1(е).
Если Ва,~О, то уравнение (9) имеет единственное решение е=О и система уравнений (4) имеет решение (8). Если Ва,)0, то уравнение (9) может иметь несколько решений. Обозначим их е„..., е„; тогда и система уравнений (4) имеет т решений, определенных равенствами хм=Аьв~ (й=-1, 2, ..., и), у,=Ве, (1=1, 2, ..., т). (10) Таким образом, в зависимости от вида нелинейной функции 7 (е) и значений а, и В в системе автоматического регулирования возможны следующие виды состояний равновесия: 1.
Единственное состояние равновесия, определяемое выражением (8). 270 2. Конечное число состояний равновесия, определяемых выражением (!О). В дальнейшем будем рассматривать устойчивость тривиального решения (8). Как показано в 2 17, исследование устойчивости любого из состояний равновесия (10) может быть сведено к этому случаю.
Для упрощения дальнейших вь>кладок положим в уравнении (2) а,= — 1, а,=О. Тогда движение нелинейной САР будет описываться системой уравнений Нх -а — =Ах+Ьу, — „г =~(е), е=с'х — гу. чу (11) Согласно изложенному выше система уравнений (!1) имеет единственное состояние равновесия с координатами хе=О, у=О, 2. Приведение уравнений движения к канонической форме. Исследование устойчивости тривиального решения системы (11) удобно проводить, когда уравнения приведены к канонической форме.
Канонической формой уравнений (! 1) назовем такой их вид, когда матрица А приведена к жордановой форме. В 2 6 было показано, что для любой числовой матрицы А существует такая невырожденная матрица Т, что Т-'АТ=1, где Х вЂ” жорданова форма матрицы А. Сделаем в системе (11) замену переменных х= Ти (де! Т~О). Тогда система уравнений (11) примет вид Т д — — АТи+Ьу, — "=)(е), е=с Ти — гу, или — „"=Хи+Ьу, -„-У-=-7(а), =с,'и — у, (13) где Ь,= Т-'Ь, с',=с'Т. Система уравнений (13) упрощается, если выполнить еще раз замену переменных, положив х=Хи+Ь,у, е=с,'и — гу. (14) Тогда вместо системы уравнений (! 3) получим следующую систему: — „, =,Тв+ЬД(е) „-;=с,'х — 4(е).
(15) Система уравнений (15) является канонической г)>ори<>й уравнений движения. Заметим, что корни характеристического уравнения матрицы А предполагались простымн, поэтому жордаиова форма матрицы А будет диагональной, т. е. 7=. >!!адА. Для того чтобы состоянию равновесия (х„==О, у -О) системы уравнений (1!) соответствовало единственное состояние равпове- 27! сия (ге = О, в=О) системы уравнений (15), требуется, чтобы определитель системы (14) был отличен от нуля, т. е. чтобы выполь,~ нялось неравенство ~0, которое можно свести к виду 1 и+ стХ-'Ь, чь О. (16) Учитывая, что Х'=(Т 'АТ) '=Т 'А 'Т, Ь,= Т 'Ь, се=с Т, неравенство (16) можно записать следующим образом." ,, + стА-тЬ ~ 0 (17) 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
