Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

Вычислить т'). --+2лп 3 Модуль ))(=1, а аргумент аги)= —, поэтому 2' -г-+ 2йп +1 ми (а=О, 1, 2), нлн и .. и )Гз нЬ вЂ” — соэ —. +1 ми - — = — — -1-1- 6 6 2 2 и,.' 5 УЗ .1 мт соа — и+) мп — и — — + 1 .. 6 6 2 2 ' 3 .. 3 ма=сок — и+1 а1п — и= — У 2 ' 2 Расположение корней на комплексной плоскости показано на рис. 60. ф 23. ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Последовательность комплексных чисел. Бесконечно удаленная точка. Распространим основные понятия математического анализа на случай, когда независимая переменная является комплексной величиной. Одним из главнейших понятий является понятие предела, в частности предела числовой последовательности.

Последовательностью комплексных чисел называется неограниченное перенумерованное множество комплексных чисел г„ г„..., г„, ... и обозначается так: 1г„). Последовательность комплексных чисел называется ограниченнои', если существует такое действительное число М ) О, что для всех и справедливо неравенство 1г„1 (М; в противном случае последовательность называется неограниченной. Комплексное число а называется пределом числовой последовательности (г„), если для любого числа е )О можно указать такой номер )т', зависящий от е, что для всех п)ттг будет выполняться неравенство ~г„— а ~ ~е.

Последовательность 1г„), имеющая предел а, называется сходящейся к числу а. Комплексное число г„=а„+1Ь„характеризуется парой действительных чисел а„и Ьа, поэтому последовательности комп- лексных чисел (г„) соответствуют две последовательности (а„) и (Ь„) действительных чисел. Для сходимости последовательности (г„) необходимо и достаточно, чтобы сходились последовательности действительных чисел (а„) и (Ь„), Сходимость последовательности (г„) определяется критерием Коши Для сходимости последовательности (г„) необходимо и достаточно, чтобы для любого числа з ) О суи!естеоеал тикой номер У (е), что ~г„— г„„~(е для и) Ш(е) и любого числа т==О.

Множество точек г комплексной плоскости, удовлетворяющее неравенству ~ г — г, ~ С е, называется е-окрестностью точки г,. Введем понятие бесконечно удаленной точки. Пусть имеется неограниченно возрастающая последовательность комплексных чисел (г„), т. е, такая последовательность, что для любого числа й ) О найдется такой номер )у()т], что для всех и) У(Я) справедливо неравенство ~ г„~ ))т.

Будем полагать, что эта последовательность (г„) сходится к бесконечному комплексному числу г = со. Геометрически это означает, что точки последовательности (г„) с возрастанием их номера располагаются на комплексной плоскости вне концентрических кругов с центром в начале координат, радиусы которых могут быть сколь угодно большими. Комплексная плоскость с присоединенной бесконечно удаленной точкой называется расширенной комплексной плоскостью. Заметим, что последовательность (г„) стремится к со независимо от направления на расширенной комплексной плоскости. Для бесконечно удаленной точки понятие действительной и мнимой части, а также аргумента, не определены. Если имеется неограниченно возрастающая последовательность (г„), то 11 ! последовательность ( — ) сходится к нулю, поэтому естественно поел 1 1 ложить — =О и — =со.

Кроме того, полагают для любого О числа а~О, что со а а+ со=со а со=со — =со, — =О. 1 Ф а со О Выражения —, со + со, О со, —, считаются неопределенными, Чтобы получить геометрическое изображение числа со, представляют комплексные числа точками на сфере (рис. 61). Для этого надо описать сферу единичного радиуса с центром в точке 0 комплексной плоскости.

Прямая, проходящая через точку 0 перпендикулярно к комплексной плоскости, называется осью сферы, а точки пересечения оси со сферой Р и Я вЂ” соответственно северным и южным полюсом, Будем соединять точки Ж сферы лучами с северным полюсом Р и отмечать точки пересечения этих лучей с комплексной плоскостью (точка М на рис. 61), Таким образом, мы можем спроектировать все точки сферы, за исключением точки Р, на плоскость. Такая проекция называется стереографической проек- Пией.

С помощью проекции можно каждую точку сферы !кроме Р) рассматривать как изображение соответствующей точки плоскости, а следовательно, как изображение комплексного числа, соответствующего этой точке плоскости. Если взять бесконечно возрастающую пскледователыюсть комплексных чисел 1г„), то образы этих чисел на сфере будут стремиться к северному полюсу Р. Поэтому естествен!в рассматривать точку Р как изображение на сфере бесконечно удаленной точки, Изображением начала координат на сфере является южный полюс Я. Расширенной комплексной плоскости соответствует вся сфера. Конечной комплексной плоскости соответствует сфера, из которой исключена точка Р.

2. Множества точек на плоскости. Введем ряд понятий, необходимых в дальнейшем. Точка г называется внутренней точкой множества Е точек комплексной плоскости, если существует е-окрестность точки г, целиком принадлежащая множеству Е. Множество Е называется областью, если оно обладает следующими свойствами: 1) каждая точка множества Е является внутренней точкои; У 2) л!обые две точки, принадлежащие множеству Е, можно соединить ломаной, состоящей из точек множества Е. Это свойство называется свойством связности области.

Множество точек ) г ! ( 1 представляет собой область. Примером области является такРис. 6! же е-окрестность точки г,. Мно- жество точек ~ г(1 не является областью, так как не все точки этого множества являются внутренними. Множество точек ! г)(1, ) г — 2((1 также не является областью, так как не обладает свойством связности. Области в дальнейшем будем обозначать буквой 6.

Граничной точкой области 6 называется точка, которая сама не принадлежит области 6, но любая е-окрестность которой содержит точки 6. Например, точка г = 1 является граничной точкой области ! г ~ ( 1. Совокупность всех граничных точек назовем границей облисти 6. Область 6 с присоединенной границей называется замкнутой областью. Замкнутую область обозначим 6. В дальнейшем будем полагать, что граница области состоит из конечного числа кусочно-гладких кривых. Некоторые кривые могут вырождаться в точки. Число связных частей, на которые разбивается граница, называется порядком связности области, На рис.

62 изображена четырехсвязная область; граница области состоит из четырех кусочно-гладких кривых, три из которых замкнутые, и точки. 286 Пусть имеется односвязная область 6 с границей Е Выберем какую-.либо точку на границе и начиная с нее будем обходить область. Положительным направлением обхода называется такое направление, при котором обходимая область остается слева (рис. ф 63), Область 6 называется ограниченной, если она лежит внутри некоторого круга конечного радиуса. 3.

Функции комплексного пере- с менного. Понятие функции комплексного переменного вводится Рис. 62 аналогично понятию функции действительного переменного, На множестве Е комплексной плоскости задана функция комплексного переменного г, если задано правило, по которому каждому значению г множества Е ставится в соответствие одно или ьксколько комплексных чисел ьо. Символически это соответствие запи- У сывается в виде иь=-) (г). Миожесгво Е называется множеств вом определении функиььи Г(г), Мы будем рассматривать случаи, когда множество определения Ефункции)" )г) представляет собой область, либо замкнутую область.

Функция г (г) называется однозниыной, если кажЮ7~ дому значению г е.—.. Е соотвстсти вует только одно комплексное число кл если каждому значению г соответствует несколько значений ы, то функция Г(г) называется мноеозььаьной. Множество комплексных чисел ьо, соответствующее всем г с= Е, называется множеством значений функ))ии Ь" (г). Комплексное число )с = и+]о характеризуется парой действительных чисел и и о, поэтому задание функции ~(г) комплексного персменьюго г =х+)у равносильно заданию двух функций и и о двух действительных переменных х и у, т, е.

иь(г) =-и(х, д)+)о(х, у). (1) Рис 65 Функции и(х, у) и о(х, у) определены в области 6 плоскости действительных переменных х и у, соответствую)пей этой же области плоскости комплексного переменного г, и называются соответственно действительной и мнимой частью функции и ==-Г(г). Геометрически задание, функции иь=)(г) означает, что установлен закон, по которому каждой точке области 6 комплексной плоскости г ставится в соответствие некоторая точка области 6, 267 комплексной плоскости в.

Таким образом, функция го=~(г) отображает область 6 плоскости г на область 6, плоскости в (рис. 64). Можно установить и обратное соответствие — каждой точке ю е- =6, ставится в соответствие одна или несколько точек г области 6.

Характеристики

Список файлов книги