Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 53
Текст из файла (страница 53)
При отображении с помощью функции 1 (2) =- 2 + Ь осуществляется сдвиг всех векторов плоскости г на постояншш вектор Ь. Таким образом, при отображении с помощью функции 1'(2) - . == аг+ Ь осуществляется последовательно поворот и растяжение векторов плоскости г, а также их сдвиг па вектор Ь, Преобразование (1) имеет две неподвижные точки (при а~О и очи 1): 1) бесконечно удаленная точка, которая с помощью отображе ния (1) переходит в бесконечно удаленную точку плоскости ю; 2) конечная неподвижная точка гы которая при отображении остаетсл иа месте, т, е.
) (гт) = г,, Эта точка опРеделитсЯ из ь уравнения г=аг+Ь, решение которого 22= —,. Если а.=1. то точка г=оэ будет двойной неподвижкой точкой, так как точка г, уходит в бесконечность. Если а=-О, то 1(г) =Ь, и в этом случае будет одна неподвижная точка, в которую отображается ВСЯ ПЛОСКОСТЬ 2. Дробно-линейной функцией называется функция вида причем! с , '+ !й1Ф О.
Дробно-линейная функция определена во~оду, кроме точки г== — й/с. Производная дробно-линейной.функции ) ' (г) = (7) Если выполнено условие ас( — Ьс~О, то производная !'(г) эьО во всей комплексной плоскости. Если ас( — Ьс=О, то ас(=Ьс, или - =- „=-Л и функция 1(г) принимает внд )(г) = = Л. а Ь ' Л(си+а) Следовательно, если функция 7(г) Фсопз(, то отображение (6) конформно всюду на конечной комплексной плоскости г, за исклюс) чением точки г= — -. В дальнейшем будем полагать, что ас( — ' с ' — Ьс ~ О. Преобразование ! (г) = 17г переводит бесконечно удаленную точку г = ос плоскости г в нуль. Поэтому полагаем, что крнвые ); и 1; (рис. 67), уходяшие в бесконечность, образуют угол а Рис.
67 в бесконечно удаленной точке, если при преобразовании э, = 1!се образы ); и 1.; этих кривых на плоскости пь образуют угол сс в точке О. Покажем, что дробно-линейная функция сохраняет углы и ) сг+а в точке г= — с(7с. Функция ),(г) = — = отображает точку ! (2) аг+Ь г=- — -- плоскости г в точку в,=О плоскости в,. Чтобы сохрас вались углы между кривыми, проходящими через точку г = — с(7с, требуется, чтобы производная функции ~, (г) в этой точке была сЬ--аа отлична от нуля, т.
е, ),'(г) = , ~ ~ О, Таким образом, углы с вершиной в точке г= — с(!с при ото- бражении с помощью дробно-линейной функции сохраняются, Точка г == — с)7с называется полюсом функции ! (г) и обладает тем свойством, что 1пп )(г) =со. Бесконечно удаленная точка л г с а плоскости г с помощью функции 7(г) переходит в точку в=--. Функция г=~р(щ), обратная к функции (6), с)в — Ь г=ч~(щ) = —— св — а (8) эав также является дробно-линейной. Точка ш== -- является полюсом а с функции г - <р (и). В силу доказанного выше отображение с помощью функции (8) сохраняет углы и в точке с ' Таким образом, дробно-линейная функция взаимно однозначно отображает расширенную комплексную плоскость на себя с сохранением углов между кривыми во всех точких расширенной комплексной плоскости, т.
е. дробно-линейное преобразование конформно всюду на плоскости г. Найдем неподвижные точки дробно-линейного преобразования. Неподвижные точки определяются из уравнения ) (г) =г, которое с учетом формулы (6) примет вид г = —, или сг'+г(с( — а) — Ь=О; сг+Л ' корни этого уравнения равны 2,„~+в* ( 4ь, г ц2 2с Из формулы (9) следует, что дробно-линейное преобразование имеет не более двух неподвижных точек.
Если (а — й)'+4Ьс=-О, то имеем двойную неподвижную точку. Следующая теорема устанавливает, что не может быть двух отличных друг ог друга дробно-линейных функций, значения которых совпадают в трех различных точках. Теорему приведем без доказательства. Теорема 1. Если две дробно-линейное функции совпадшот в трех различных точках, то они тождественны.
Из приведенной теоремы следует, что всякая дробно-линейная функция определяется своими значениями в трех различных точках. Рассмотрим подробнее это свойство дробно-линейной функции Пусть даны на плоскости г точки г,, г.„гв и на плоскости ш точки ш,, ш„шм Покажем, что всегда существует дробно-линейное преобразование ш (г), такое, что оно переводит точки г„г„гч в точки шы гот шх. Положим сначала, что все точки конечные, и найдем преобразование~, (г) такое, что ~, (г,) =О, ~,(гт) = со, ~,(г„).= 1, В обьцем случае дробно-линейная функция имеет вид ах+ ь ь1(г) = Из условия ь,(г,) =О найдем: аг,+Ь=О, откуда Ь =- — аг,. Учитывзя условие ь,(ге) =со, получаем сг, )-й= О, т. е.
г( - сге Подставим найденные значения Ь и й в преобразование ~,(г): Отношение — найдем из условия ~,(гз) = — 1: с а гз --г, о гз — г, 1= -- ', откуда =-1: — ' с гз — г,' с 'гз — г,' Окончательно !".з(г) запишется в виде ь! (г) = гз гз гз Аналогично преобразование (10) (11) переводит точки !в„зо„зоз плоскости го соответственно в точки О, со и 1 плоскости ь,. Тогда преобразование !о = зрз (ь, (г)), где зрз (г) — функция, обратная к функции ~з(г), переводит точки г„г.„г, в точки зо„зс„зсз.
Зто преобразование запишется в виде ьз(гс) =ьз(г), нли г — гз гз — гз зь — зз~ ыз — зьз г гз гз 'гз ы зьз ыз — ыз (12) Формула (12) соответствует случаю, кощ!а все точки г; н шз конечные. Пусть теперь одна из точек, например точка г„совпадает с бесконечностью. Тогда, переписав ьз(г) в виде з г — г, г* — гз и устремив г, к бесконечности, получим с,(г) =- ''" "- . Преоб- разование ьз(г).=-ьз(зо) в этом случае будет иметь вид ! ! зз — зьз зьз — зь, (1З) г — гз гз — гз ы — зьз зьз — ыз Из изложенного следует общее правило построения дробно- линейной функции, отображающей заданные точки г„г„гз пло- скости г в точки шы ш„шз плоскости гв: если какие-либо точки г! или зв; совпадазот с бесконечностью, то в уравнении (12) сле- дует члены, в которые входят г! или шо заменить единицей.
Следующая теорема устанавливает круговое свойство дробно- линейной функции. Теорема 2. При дробно-линейном преобразовании го = аз+ ь сг+з! окружности и пр мые расширенной комплексной плоскости г пере- ходят в окружности и прямые расширенной комплексной зглоско- сти гв. При этом окружности и прямые на плоскости г,' прохос дяи(ие через полюс г = — —, переходят на плоскости зс в прямью, И' а все остальные окружности и прямые на плоскости г — в окруж- ности плоскости зо.
Доказательство, Общее уравнение окружности на плоскости г имеет вид А (хе+ уг) + 2Вх+ 2Су + О = 0; (14) в частном случае, при А = О, оно будет общим уравнением прямой. Преобразуем уравнение (14), полагая, что А ФО: А ((х + — х+ —.;) -1-(у'+ — у+ —;11= — + — — — 1г, или где Е=В+/С. Условия, при которых уравнение (!6) является уравнением окружности, такие: А ф: О, ЕŠ— А0)0. (17) Здесь А и  — вещественные числа.
Если А=О и Е~О, (18) то уравнение (16) является уравнением прямой. аг+ Ь Пусть теперь ш= а — некоторая дробно-линейная функция. Полагаем, что сФО, так как в противном случае дробно-линейная функция сведется к линейной, для которой справедливость кругового свойства была показана выше. Перепишем функцию ш в виде а ! Ьс — аа га= -+-- с с сг+а (19) Из равенства (!9) следует, что преобразование с помощью функции и представляет собой последовательность трех преобразований: 1) линейного преобразования г, =сг + аь е Ьс — аН 2) преобразования г,=--, где е= г,' с а 3) линейного преобразования га = +гг. с Преобразования 1) н 3) обладают круговым свойством.
Следовательно, для того чтобы преобразование с помощью дробно- линейной функции ш (г) обладало этим свойством, достаточно зо! Чтобы уравнение (!5) было уравнением окружности, необходимо и достаточно, чтобы А ~0 и В'+С' — АО)0. Если А =0 и Вг+ Сг ) О, то уравнение (14) представляет собой уравнение прямой. Запишем общее уравнение окружности в комплексной форме. г+г г — г Так как х=, у= ., то уравнение (14) можно записать 2 ' 2! в виде Ага+ Ег+ Е.
.+О=О, (! 6) показать, что преобразование 2) обладает круговым свойством. Для этого рассмотрим преобразование щ =- 1/г. (20) На плоскости !а образы окружностей, задаваемых уравнением (16), определяются уравнением 0вю+ Ен!+ Еи~+ А = О, (21) которое получится, если в уравнение (16) подставить г= — из ! выражения (20). Уравнение (21) также представляет собой уравнение окружности или прямой. Исследуем это уравнение. 1.
Пусть Е!~0. Это означает, что исходная кривая на плоскости г ие проходит через начало координат. Пусть при этом исходная кривая — окружность, т. е. выполнены условия (17), Тогда для уравнения (21) выполняются условия 0 ~ О, ЕЕ— — АЕ! ~ О, т. е. уравнение (21) представляет собой уравнение окружности. Таким образом, всякая окружность на плоскости г, не проходящая через начало координат, переходит при отображении иа плоскость и! с помощью функции (20) в окружность. Пусть теперь для уравнения (21) выполнены условия (18), т е, исходная кривая на плоскости г — прямая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
