Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Достаточные условия устойчивости состояния равновесия. Исследуем устойчивость тривиального решения системы уравнений (15), приведенной к канонической форме. Для исследования устойчивости построим функцию Ляпунова специального вида, предложенную А. И. Лурье*1. С помощью этой функции найдем условия, накладываемые на параметры регулятора, при выполнении которых тривиальное решение системы 115), а следовательно, и тривиальное решение системы (11) асимптотически устойчиво. Сначала рассмотрим случай, когда все корни характеристического уравнения де1(А — ХЕ) = 0 простые и лежат в левой полуплоскости, КеХ, ( О (1 = 1, 2, ..., и) (система автоматического регулирования собственно устойчива). Функцию Ляпунова будем искать в виде е )т (г, и) = г'Вг+ ~ ( (е) г(е.
о (18) " Смл Л у р ь е А. И. Некоторые нелинейные аадаин теории автоматического регулирования. Гоетекиадат, М., 1951. 272 Для того чтобы функция Р(г, в) была определенно положительной, требуется, чтобы первое слагаемое в правой части этого равенства представляло собой положительно определенную квадратичную форму. В этом случае первое слагаемое будет строго положительно для всех г, удовлетворяющих условию )г)эьО.
Второе слагаемое в правой части равенства (18) в силу условий, накладываемых на функцию 7(е), будет также строго положительно для всех в, удовлетворяющих условию ~в~ эьО. Таким образом, функция )т(г, е), определяемая выражением (18), будет определенно положительной, если квадратичная форма г Вг — положительно определена. Составим полную производную по времени ( функции Р(г, и) в силу системы (15): ) = а, Вв+г'В-„р+((е)-„;=а'(Х'В+Ш)а — гга(в)+ +1 (и) (ЬтВз 1 зтВЬт) 1 1 (и) ста Учитывая, что матрица В квадратичной формы является симметрической, т.
е. В =В, получим Ь, Вя+ я'ВЬ, = Ь;Вл+ (ВЬ,) я = 2 (ВЬ«)' л. откуда Ь =— су х«+л, (21) что и доказывает наше утверждение. Отметим, что в рассматриваемом случае условие Х«+Х.ныл (1, 1=1, 2, ..., и) для матрицы А выполняется, так как по предположению характеристические числа матрицы А удовлетворяют условию Ке Х, ( О, При выводе условий отрицательной определенности производной ' потребуется следующая твои"«' (в, е) рема, которую приведем без доказательства *'„ Теорема 1. Пусть матрица А устойчива, т. е. ее характеристические числа лежат в левой полуплоскости.
Тогда, если С— матрица некоторой положительно определенной квадратичной формы, то определенная по формуле (21) матрица В пинсже является матрицей положительно определенной квадратичной формы. Получим условия, накладываемые на параметры системы регулирования для того, чтобы функция У (л, в) была функцией Ляпунова. " Донааательство теоремы см, например: Ба рбасо нн Е. А. Функции Ляпунова. «Наунв~, 1970.
273 Введем в рассмотрение матрицу С = — (Хтв+ В,у). (19) Матрица С является симметрической. Действительно, С' = — (Ю«В+ В/)' = — (В«Х+.««В ) = — (ВХ+ ХВ) = С. Таким образом, полная производная функции 1«(л, е) в силу системы (18) может быгь записана в виде пн — „, = — а'Сл — «Р(в)+2~(е)~ВЬ,+ — с,) а.
(20) Из выражения (20) следует, что полная производная по времени 1 от функции )«(л, н) в силу системы (15) является квадратичной формой относительно переменных г„..., г„, 7(е). Выясним связь между матрицей В и определяемой формулой (19) матрицей С. Покажем, что если характеристические числа матрицы А удовлетворяют условию Х~+Х,чьО (1, 1=1, 2, ..., и), то по заданной симметрической матрице С однозначно определяется некоторая симметрическая матрица В, Действительно, так как матрица Х= й)ад А, то соотношение (19) можно переписать в виде су= — (ЛюЬ! +)чЬу) (1, 1'=1, 2, е и), Возьмем некоторую матрицу С положительно определенной квадратичной формы (например, С=Е) и обозначим через 8 матрицу, определяемую с помощью равенств (21).
В силу сформулированной выше теоремы матрица 8 будет также матрицсй некоторой положительно определенной квадратичной формы. В этом случае, как указано вьппе, функция )г(», е) является положительно определенной. Для того чтобы функция )г(», е) была функцией Ляпунова, требуется, чтобы ее производная „' в силу ег (2, е) системы (15) была отрицательно определенной функцией, или, что Л'е' (2, е) одно и то же, функция — ' была положительно определенной.
Ж Как указывалось выше, функция — ' является квадратичие (2, е) иг ной формой относительно переменных г„..., г„и 1(е). Для положительной определенности функции — ' требуе)'(г, е) ш ется, согласно критерию Сильвестра, положительность всех главных диагональных миноров матрицы квадратичной формы, Так как матрица С является матрнцей положительно определенной квадратичной формы, то первые а неравенств критерия Сильвестра выполняются и остается последнее неравенство С вЂ” (ВЬ, + — с,) ) О. (22) — (ггЬ, + — с,) Условие (22) является необходимым и достаточным условием отрицательной определенности 'производной „' . Если разложить Л'(г, е) определитель в левой части неравенства (22) по элементам последней строки и последнего столбца, то условие (22) можно переписать в виде г)(И7е+ — сд) С (Вье+ — се).
(23) гФ вЂ” с А-'Ь, (24) это будет означать асимптотическую устойчивость тривиального решения (22=0, у=О) системы уравнений (11). Таким образом, неравенства (23) и (24) являются достаточными условияии асимптотической устойчивости состояния равновесия системы (11). 274 Если параметры регулятора удовлетворяют неравенству (23), то существуег положительно определенная функция (г(», е), производная от которой в силу системы уравнений (!5) отрицательно определена. Согласно теореме 2 об асимптотической устойчивости состояние равновесия (22=-0, е=О) системы (15) будет асимптотически устойчиво.
При выполнении неравенства (17), которое мы перепишем в виде Перейдем теперь к построению функции Ляпунова для случая, когда характеристическое уравнение матрицы А имеет один нулевой корень. Остальные корни полагаем простыми и расположенными в левой полуплоскостн (нелннейная САР нейтральна по одной координате). Выделнм компоненту г, вектор-функции г, соответствующую пулевому корню характеристического уравнення матрицы А, т. е. Гг 1 представим вектор г в виде г=~ ~. Тогда система уравяеннй го (15) запишется в виде „вЂ” =-Хг+Ь»7(е), "-=Ьо7(е), — — =-с',с+с„г,— г7" (е), (25) В снсгеме уравнений (25) приняты следующие обозначения: г— — и — 1-мерная вектор-функция; Х вЂ диагональн матрица порядка (и — 1)(и — !); Ь, и с, — и — 1-мерные вектор-столбцы; Ь, и с, †скалярн величины.
В силу сказанного выше все характеристические числа матрицы Х лежат в левой полуплоскостн. Функцию Ляпунова для этого случая будем искать в виде е »[», „о=д»-(о»о,».1~о|».~. о (26) = ~ — г'Сг+ 2) (е) (ВЬ»+ ~- ст ) г — г1' (е) ) + 2гт (иЬо + '-) ) (е), (27) К выражению в фигурных скобках применимы все рассуждення предыдущего случая, когда все корни характеристического уравнения матрицы А лежат в левой полуплоскостн.
Для того чтобы выражение в фнгурпых скобках представляло собой отрицательно определенную квадратичную форму, пеобходнмо и достаточно выполнение неравенства г)~ВЬ,+ с~) С (ВЬ,+ — с,). (28) В фигурных скобках стоит выражение, которое применяется в качестве функцнн Ляпунова в предыдущем случае, когда все корни характеристического уравнсння матрицы А лежат в левой полуплоскостн, Если квадратичная форма г Вг является положнтельно определенной и а)0, то функция 1»(г, г„е) будет положительно определенной функцией в пространстве (г, г„е), Вычислим полную производную по времени 1 функции о'(г, г„е) в силу системы (25): Пример 1.
Выполнить ввалив устойчивости системы автоматического управлеиия гр хольиым движевием летательного аппарата. Структурвая схема Адтсяияст .Г. Яэеягя риувиройаяия -с--- —--- Рис. 55 системы управления приведена иа рис. 55 и состоит из следующих элементов *Ч сбьект регулирования, передаточная функция которого по углу таигажа (р ( ) пэ(Р+пм) р (уз+агу+ па) ' (29) причем пэ)0, ям~о, аг О, аз)0 и а1)4пэ1 автопилот релейного типа, описываемый диффереициальиым уравнением в операторной форме ру=г(з) (30) чувствительный элемент, уравиевие которого имеет вид е = у — с,х — с,рх — гу. ю Смл Водя ер В. Л., Козлов М.
С. Стабилизация легательиых аппаратов и автопилоты. Оборонгиз, 1061. 276 Если Ьесэ(0, то можно подобрать такое положительное а, чтобы выполнялось равенство аЬэ+ — =О. Тогда производная сэ о'г' (э, г„е) М будет знакоотрицательной функцией. Действительно, если аЬо+ при у = О, ) (в) = 0 н гх ~= О. Таким образом, если параметры регулятора удовлетворяют неравенству (28) и условию Ь,с,(0, то существует положительно определенная функция )г(», г„ в), производная которой в силу системы (18) знакоотрицательна. Согласно теореме 1 об устойчивости тривиальное решение (ге=О, а=О) системы (1б) будет устойчиво.
При выполнении неравенства (24) это означает устойчивость тривиального решения (ха=О, у=-0) системы уравнений (11). Дифференциальное уравнение объекта регулирования дах аех дх г(у ,Уз г(гт г(1 л1 — +аг — +аз пз — + пьптеу. (32) Если ввести новые переменные 0х гРх х,=х, х~= — х, — — пзу г(Г ' НГв (33) и положить входное воздействие у=О, то свободное движение системы управ- ления будет описываться системой уравнений бх бу И ' М вЂ” = Ах+Ьу, — =7(е), е=с х — гу, (34) где х=х, А=О О 1, Ь=Ь,, с= — св, причем Ь =пы Ьз- пь(пм — аг). Для упрощения дальнейшйх выкладок сделаем замену переменных: и=Ах+Ьу, е=с'х — «у. Тогда система уравнений (34) примет вид ди г(е — =Аи+Ь)(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
