Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Это означает, что в области 6, задана функция комплексного переменного щ, г = ~р(ш). Функция ~р(и) называется обратной по отношению ш=г(г). Функция ш=((г) называется однолистной в области 6, если различным значениям г в этой области соответствуют различные значения функции ш.
Очевидно, что функция, обратная к однолистной функции, будет однозначной. Рассмотрим функцию щ=аг, где а в некоторое комплексное число. Обозначим ~ а ~ =к, агп а= ~р. Тогда согласно правилу умно жения комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме, Рис. 64 отображение плоскости г на плоскость ш сводится с растяжению всех векторов плоскости г в и раз и к повороту их на угол ~р. Если на плоскости г задан круг единичного радиуса с центром в начале координат, то его отображение с помощью функции ш = аг будет представлять на плоскости ш круг радиуса я с центром в начале координат, повернутый на угол ~р.
Заштрихованный сектор при отображении поворачивается на угол <р, центральный угол сектора остается неизменным (рис. 65). Введем понятие предела функции комплексного переменного. Пусть функция щ =Г(г) определена и однозначна в некоторой области 6 плоскости г. Рассмотрим некоторую последовательность чисел (г„), сходящуюся к точке г, и соответствующую ей последовательность (Д(г„) ) значений функции ) (г). Если последовательность () (г„) ) сходится к одному и тому лсе пределу юь, т. е. !пп ~(г„) =~ем причем предел шь не зависит от л со выбранной последовательности (г„), то суи(ествует предел функции ~ (г) в точке гь, т. е. !пп ~ (г) = соь. (2) г г* Можно дать и другое определение предела функции ~(г) в точке гь.
288 Функция и<=-!'(г! имеет предел гос в точке г,, есги для я<обоза числп е ~О можно указать такое шсло 6 ) О (зпвисящее от е и г„), что из неравенства ! г — гс ! ( 6 следует нерпвенство ! !' (г) — и<а ! ( е или, иными словами, образы точек, лежащих в 6-окрестюхпш точки га, Рпсположеггы в и-окРестности точки и<с, Рис. 66 Функция и=-у(г)=и(х, у)+!о(х, у), поэтому из существо- ваииЯ пРеДела фУнкции Г(г) в точке г, =-х, + !Уь слеДУет сУществоваиие пределов 11щ сс (х, У) = —. и<ь 11щ о(х, г) ==ос, (з) к к„ к к„ а е с а причем го«=-и,+!о„. Из формул (3) следует, что предел функции комплексного переменного сводится к пределу функций двух действительных переменных.
Поэтому для предела (2) функций комплексного перемепиого справедливы все свойства пределов функций действительных переменных "!. Дадим опредслеиие иепрерывпостп функции Г(г) в точке г,, Фуньг!ия Г" (г) называется непрерывной в точке г„если для лгобого е) О можно указать такое 6) О (зависящее от е и гс), чпго при выполнении нерпоенстви ! г — г„! (6 будет выполняться неравенство 1) !г) — ) (га) ! ..
с, Можно дать другое определение непрерывности функции Г(г) в точке г„эквивалеитиое первому. Функция !" (г) нпзывается непрерывной в гпочке гс, если для аобой последовательности (г„), сходни!ейся к точке го, соответствугои!ая последовательность знпчений функции (Г(г„) ) сходится к точке ((гс).
Функция называется непрерывной в области сг', если опа непрерывна в каждой точке этой области. Из опрелелеиия пепрерыв- "' См., иапримср: Ф и х т с и г о л ь и Г. М. Осипам магсмагичсского анализа, т 1, «Наука», 1968, с. 88. 1О и. р. 'гсмсааас»», <. 1 ности функции /(г) = и (х, у)+/о (х, у) следует, что если действительная и(х, у) и мнимая о(х, у) части функции /(г) есть непрерывные функции аргументов х и у, то функция /(г) непрерывна.
Для непрерывных функций комплексного переменного справедливы все свойства непрерывных функций действительного перементюго. 1. Сумма непрерывных функций есть функция непрерывная. 2. Произведение двух непрерывных функций есть функция непрерывная. 3. Пусть функция птт=/т(г) отображает множество Е плоскости г на мтюжество Е, плоскости ш„а функция и~а=-/а(шт)— — множество Е, плоскости ш, на множество Е, плоскости юв. Тогда, если функции /,(г) и /а(шт) непрерывны, то сложная функция /в [/т (г)) =-/(г), отображающая, множество Е на множество Е„также непрерывна. 4. Модуль непрерывной функции достигает в замкнутой ограниченной области своего наибольшего и наименьшего значения, 5.
Функция, непрерывная в замкнутой области, равномерно непрерывна в этой области. Функция /(г) называется равнолшрно-непрерывной в области 6, если дня любого е>0 существует такое число б>0, зависящее только от е, что для любых двух точек г, и г„принадлежащих области 6 из неравенства ~ г, — г, ~ (6, следует неравенство ~/(га) /(гт) ~ ( е. Пример 1. Определить, является ли непрерывной функция и=ха. Имеем в=ха=(х+/у)'=ха — уа+/2ху, следовательно, и (х, у)=ха — уа, о(х, у)=2ху.
Фуннцин н(х, у) и о(х, у) — непрерывные функции аргументов х и у, поэтому функция /(х)=-хт непрерывна при любых х. й 24, ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО И Производная функции комплексного переменного. Пусть функция /(г) определена н непрерывна в некоторой области 6.
Рассмотрим две точки г и г+Лг, принадлежащие области 6, и /(2+Лх) — /(х) Лы составим отношение Назовем производной функции ш=/(г) в точке г предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, т. е. ЛЛФ ). /(г+Лг) — /(х) ()) лх-е . лх в Лх Лх Для существования производной в точке требуется, чтобы этот предел существовал и не зависел от способа стремления Ьг к нулю. Функция )" (г) называется аналитической (регулярной) в области О, если в каждой точке г этой области функция определена, непрерывна и существует производная этой функции. Введенное определение производной от функции комплексного переменного совпадает с определением производной функции действительного переменного, поэтому все правила дифференцирования функций действительного переменного справедливы н для функций комплексного переменного.
Эти правила следующие: 1. Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций, т. е. [((г)+ д(г)1'=~'(г)+д'(г). 2, Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную от второй, т. е. [("(г) я (г)1' = Г' (г) у (г) + [ (г) у' (г) 3.
Производная дроби представляет собой дробь. Числитель этой дроби равен разности между произведением производной числителя на знаменатель и произведением числителя и производной знаменателя. Знаменатель производной равен квадрату знаменателя, т. е. ~ —.1'= ' 1(г) 1' р (г) а (г) — 1(г) а' (г) Ч (г) ) я" (2) 4. Пусть имеется функция ш,=[,(г), где г е= О, н функция ш, =-[, (ш,), где ю, ~ О„причем функция [, (г) отображает область О в область О1, Пусть 1, (г,) =- иць и 1, (инь) = щм и существуют производные (1 (г,) и )э(ы„), Тогда производная от сложной функции ЦЙ [[1 (г)1)2=2 )Я ( 10) [! (гь) 5. Пусть имеется функция щ=[(г), где гевО, которая взаимооднозначно отображает область О плоскости г на некоторую область О, плоскости пх Тогда, если обратцая функция г=<р(в) непрерывна в точке ~о,=[(г,) и существует производная 1' (г„), существует и производная обратной функции, причем [~р(щ„)1'== ==1((" (го)" 2.
Условия Коши — Римана. Ладим необходимые и достаточные условия существования производной функции 1(г) = и+)о в точке г=-г„, т. е. условия аналитичности функции 1(г). Теорема 1. Для того, чтобы функция 1" (г) = и+)о, определеннал в некоторой окрестности точки гм имела производную в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы 1) функции и(х, у) и а(х, у) были дифференцируемы в точке г=ге па хи у; 2) в точке г= г, выполнялись условия Коши — Римана ди дь ди ди дй ду ду дх' (2) Доказательство. Сначала докажем необходимость условий Коши — Римана.
Положим, что функция 1(г) имеет произ- ш* 291 водную в точке г=г„т. е. существует предел ! (ге+ Лг) ! (го) (з) Лг О Этот предел не зависит от способа стремления Лг к нулю. Положим Лг = Лх, тогда (и (хо+Лх. Уо)+)и (хо+Лх, уо)) — ((и (хо, уо)+)о(х„, уо)] Лх = )ип (и(хо+Л», Уо) — и(хо Уо))+)(о(хо+Лх, Уо) — и(хо уо)) Ьх О Лх ди .до =д +!йх (4) Пусть теперь Лг=(ЛУ, тогда ) (и(хо уо+Лу)+!о(хо. уо+ЛуН вЂ” (и(хо уо)+)о(хе уо)) !'Лу (и(хо уо+Лу) — ихо уо))+)(о(хо уо+Лу) — и(хо уо)) !Лу Так как предел (3) не зависит от способа стремления Лг к нулю, то, приравнивая действительные и мнимые части выражений (4) и (5), получаем ди до до ди дх ду дх ду' Необходимость условий теоремы доказана.
,((окажем достаточность условий Коши — Римана. Положим, что функции и(х, у) и о(х, у) дифференцируемы по х и у и удовлетворяют условиям Коши — Римана. Покажем, что в этом случае производная функции )'(г) в точке г=г существует.
Из дифференцируемости функций и(х, у) ив(х, у) следует, что и! Ли+(Ло д Лх+ д Лу -) ! (д Лх+д-Лу)+0(Лг), где о(Лг) — бесконечно-малая более высокого порядка малости, чем Лг. Лв Рассмотрим отношение Лг' Лоо дх ду )дх ду ! о (Лг) Лг .Лх+ /Лу Лг В силу условий Коши — Римана ди ди . /до ди Лх — Лу+В -- Лх+ — Лу Лг Лх+ )Лу Лг ди . ди дх дх (Лх+ )Лу) + ( д - (Лх+ )Лу) о (Лг) Лх+ )Лу Лг Перейдем к пределу при Лг — «-О: 1пп ' — =д-+/д- — — гп'(ге), бш ди .до , аг дх т.
е. предел существует и не зависит от способа стремления Лг к нулю. Таким образом, установлена достаточность условий Коши — Римана. И Используя условия Коши — Римана, можем написать: ди .до ди .ди до .ди до .до дх + 1 дх дх 1 ду др 1 др др + 1 дх' Приведем без доказательства ю условия Коши — Римана для функции ) (г), когда г задано в тригонометрической форме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
