Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 55
Текст из файла (страница 55)
еу — е г 2 =созх — — гяпх ' =-сс(зхсйу — )япхз)1у; (36) 2 аналогично получим яп г =- яп хс)! у+/сов х зп у. Таким образом, Ке соз г =- соз хе)! д, )гп соз г =- — яп х з)! у, Йе яп г = яп х сЬ у, 1п! зьп г = соз х з!! у. Модули ~созг~ и ~з1п г~ определяются равенствами ~=РЖ * йи'~-ьш ~ю)'-"1 ~'ив ~ з1 и г ~ = )~ (и! и х сй у)'+ (сов х ап у)' =- ) 'айг у+ з 1п' х.
Для тригонометрических функций комплексного переменного справедливы все формулы тригонометрических функций действительного переменного. Так, например, справедливы следующие формулы: ем — а и ~г Г ем+е и ~г е~и — 2+е ам ' =(' ') + + +' =1, (37) т. е. получено основное тригонометрическое тождество; ггмю+гл а — 1(г,+ги яп (г, + г,) = 2/ а — а и ем+е-и ~, (ем* 2) = яп г, соа га+ соз г, з)п г;, аналогично можно получить сок (г,+гз) ==-соа г, сов г,— яп г,яп г,. Отображения, производимые тригонометрическими функциями, в настоящей книге не рассматриваются. Глава Угн ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ КОг»1ПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 5 26.
ИНТЕГРАЛ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 1. Понятие об интеграле функции комплексного переменного. Пусть дана функция комплексного переменного пг =1(г), непрерывная в области б плоскости г, и пусть задана кривая АВ, целиком находящаяся в области б (рис. 71). Разобьем кривую а АВ на и частей и составим сумму вида ~х', Г(ь») Лгь где Лг» =- »=! = — 㻠— г» г; ь» — произвольная точка на дуге (г» ь г»).
Обозначим А„= игах ~ Лг» ! и рассмотрим предел Нпг Х ( (ь») Л㻠—— ~ 1(г) г(г. (1) а сО» л а ло а Если зтот предел'существует и не зависит от способа разбиения кривой ЛВ на части и от выбора точек с», то он называется интегралом опг 4уггкг(гги )'(г) вдоль кривой АВ. Теорема 1.
Если кривая Л — кусочно-гладкая, афункг1ияг(г)— кусочно-неарерывнагг и ограниченнатг, то инпгеграл ~ г' (г) дг суи1ествует. Доказательство. Пусть 1(г)=-и(х, у)+(о(х, у) и г» = х»+(Уь х» — х», =- Лхь и ф„Ч») = иь ь»»=аь»+!Чь у» — у»-г= — Луь о (аь». Ч») = о» тогда а а а ~" 1'(ь») (гг, — г» г) .== ~~ (и»Лхг,— о»ЛУ»)+1 ~х, '(и»ЛУ„+о„Лх»). »==г Переходя к пределу в обеих частях равенства при п — г-со так, что гпахЛх»- О и шах Лу„- О, получим гг » ~ 1 (г) дг = ~ и (х, у) дх — о (х, у) ду+ 1 '1 о (х, у) е(х+ и (х, у) агу. Ав лн Хв (2) Криволинейные интегралы, стоящие в правой части равенства (2), существуют.
Действительно, из кусочной непрерывности и ограниченности функции 1(г) следует кусочная непрерывность и ограниченность ее действительной и(х, у) и мнимой о(х, у) зов частей. Кусочно-гладкая дуга АВ является спрямляемой. Таким образом, выполняются условия существования криволинейного интеграла второго рода *'. У Следовательно, существует и интеграл ~ )(г)г(г. йа лв Формула (2) дает спо- 8Н соб вычисления интеграла 26 (!) через криволинейные Н-г интегралы функций дейст- А а, вительного переменного. и Кроме того, из формулы (2) следует, что интеграл ! функции комплексного пеРис. 71 ременного имеет свойства, аналогичные свойствам криволинейного интеграла второго рода.
Укажем эти свойства. 1. Прн изменении направления интегрирования знак интеграла меняется на обратный, т. е. ~ Г(г) дг=- — ~ Г(г) г(г. (з) лв вл 2. Если кривую АВ разбить на части, то интеграл по кривой АВ равен сумме интегралов по отдельным частям, т. е. 1" (2) г(з = ~ Г (а) г(а + ~ !" (3) Иа. (4) ло св 3. Для любых постоянных чисел Й, и Йв справедливо равенство ~ [Й!Гт(г)+(гЬ(г)1г(г=йт ~ Г,(г) с(а+ма ~ Гв(г) с(а.
(5) лв лв лв Произведем оценку интеграла по модулю. Пусть М = шах ~ Г (г)! лв и а — длина кривой АВ, тогда $ Г(г) гЬ)» $ !Г (г) ! ~с(г(«Ма. лв ~ лв Доказательство этого соотношения следует из определения интеграла. В самом деле, и и и ,~', )(Ьа)йа ~ !1(Ьа)!!Лга~=М ~ !Л „~, (7) Ом, паприке!и Ф и хтс и гол ьц Г. й1. Основы математического анализа, т. Н. «Наука», !968, с.
221. 310 ') ) (г) с(г = О. с (о) Доказательство. Для упрощения доказательства введем дополнительное предположение о непрерывности производной 7" (г) "1. Используем равенство 57(г)с(г= $ и (х, усе(х — о(х, у) с(у+7') о(х, у) с(к+и(х, у) псу. Покажем, что криволинейные интегралы второго рода ~ссс(х— с — пссу и ~ос(х (-иссу по замкнутому контуру равны нулю. Действительно для равенства нулю криволинейных интегралов второго рода требуется, чтобы: )) функции и (х, у) и о(х, у) имели непрерывные частиь:е производные в области 6; 2) вссоду в области 6 выполнялись равенства ди до до ди (9) ду дх ' ду дх ' Первое условие вьиюлнястсн и силу предположения о непрерывности производной С" (г), Равенства (9) совпадают с условиями Коши — Римана и выполпшотся всюду в области 6, так как функция ) (г) по условию теоремы аналитична в этой области.
Таким образокс, криволинейные интегралы ') ис(х — ос(у -=0 и ) ос(к+сс с(у=О, с с а следовательно, ))'(г) с(г == О. И »~ Декана»злостно теоремы без предположения о нспрерннности производной у'(г) можно лайте, папрпмср, а ккз Ма р к ум сан з А. И. Краткий курс тсорпн апалнтнзескнх функций. »1!пусса», 19бб, с. 147. 311 Сумма ~',1сзга~ представляет собой длину ломаной, вписанной а=-! в кривую АВ. Переходя к пределу в неравенстве (7) при и — «оз и шахноза — ».О, получим неравенство,'(6). В частности, имеем ~ (с(г ~ = лв = з, т. е, интеграл представляет собой длину кривой АВ. 2. Интегральная теорема Коши. Пусть 6 — односвязная область на плоскости г и с — замкнутая спрямляемая кривая, целиком лежащая в области 6.
Тогда справедлива следующая интегральная теорема Коши. Теорема 2. Если функисся С (г) аналитична в области 6, то интеграл ио любому замкнутому контуру равен нулю, т. е. С л е д с т в и е. Пуспгь дана односвязная область 6 и две спрямляемые кривые гг и (г, целиком лежащие в 6 и имеющие обсцие концы А и В, Тогда для любой аналитической в области 6 функции ) (г) справедливо равенство ~ г (г) йг = $ ~ (г) йг, т. е. если ((г) — аналитична в односвязной области 6, то интеграл по кривой (~ 6, соединяющей точки А и В, зависит только от расположения точек А и В на плоскости г и не зависит от вида кривой, Если г и ге в некоторые точки области 6, причем точка г, г фиксирована, то интеграл ~ ~ (ь) г(~ можно рассматривать как гг функцию верхнего предела г, ибо интеграл имеет одно и то же значение для любой кривой, у соединяющей точки г и гг и расположенной в области.
6. г Основываясь на интеграль- ной теореме Коши, докажем 'г С г к ьг ряд теорем, аналогичных теоремам в теории интеграла функций действительного переменного. 0 Теорема 3. Если функция ~(г) определена и непрерывна в одно- связной области 6 и интеграл огп этой функции по любой замкнутой кривой (, лежащей целиком в области 6, равен нулю, то функция В(г) = ~ ~ (~) й~, где г, г„е= 6, причем точка гь фикси- г, рована, является аналитической в области 6 и Г (г) =((г), Доказательство; Точка г+гьг находится в некоторой окрестности точки г (рис. 72), причем окрестность принадлежит области 6.
Учитывая, что интеграл по замкнутому контуру равен нулю, и используя свойство 2 интеграла, можем записать: г+ Ьг г г+ Ьг '+„' " =-,—, ~ к)й~-~п~)«~~= — „- ~ к)й~. го г Интегрируя по прямой„соединяющей точки г+Лг и г, будем иметь г+ Ьг — 1(г) й~=1(г). Оценим модуль разности: »+ Л» с: — ~ 1Д(ь) — )(гД~~с1~~= — юах )~(Ц вЂ” р(г)! ~Лг~-= ( Л» ( ! Л» ! юах 1) (Д вЂ” ~(г) Е с~ »»+ "», ») Так как функция )" (г) непрерывна в области 6, то для любого числа е~О можно указать такое число 6(е))0, что если ~Лг,(6, то п1ах ~~(ь) — ~(г)~(е. Таким образом, когда (Лг)(6, то се)»-ь ь», ») выполняется неравенство ~ — — — ((г) ~(е.
По опреде1г (»+Л») — г (г) Л» лению предела функции это означает, что г (»+ Л») — Л (») Ь» О Если 0~(г) ==и(х, у)+!о(х, у), то Ф' (г) = и,'.(х, у) + )о,'(х, у) =- о„' (х, у) — (и„ '(х, у) = О, следовательно, и,' (х, у) = о,' (х, у) = и„' (х, у) = и„' (х, у)=0; откуда и (х. у) =со о(х, у).=с», или Ф(г) =с,-( (с, =-с ° Из доказанной теоремы следует, что если функция Р(г) — некоторая первообразная от аналитической функции )" (г), го справедлива формула », ~ 1 (ь) йь = у (г ) — у ( .) »~ (! О) з|з Введем определение. Пусть дана некоторая область 6 и задана функция ) (г), аналитическая в этой области.
Тогда функция р (г) называется нсреообразнои от функции )" (г), если с' (г)=-) )г). Из доказанной теоремы слсдуст, что интеграл с переменным верхним пределом является первообразной от функции ) (г). Теорема 4. Дее оереообразные от одной и аюй же фунниии ) (г) отличшоагся друг от друга на постоянную ееличину. Доказательство. Пусть функции Р»(г) и г»(г) — перво- образные от функции ~(г). Рассмотрим функцию Ф(г) =-с,(г)— — с»(г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
