Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Докажем единственность разложения функции 1" (г) в ряд Лорана„Пусть в кольце г(~г — а~(И функция 1(г) разлагается в ряд Лорана двумя способами: 1(г) =- )~ а, (г — а)" и 1 (г) = ~ ' Ь„ (г — а)". Поскольку оба ряда сходятся равномерно в любой замкнутой области, принадлежащей кольцу г( ~г — а~ (11, то, умножив ) ! обе части первого ряда на —.. 2п) (г — а)ю» и проинтегрировав по окружности 1, для которой ~г — а).=-..р, причем г(р(й, получим я.)е-.г-'- »»-( О, пФй, с 2п!.

я=я — — »,» иь=а» (А=О, .+.1, Р2, ...). Проделав аналогичные операции со вторым рядом, получим, что б =- —. ( 1(1) 2п1,) (1 — )»н т. е, а»=Ь», и разложение в ряд Лорана единственно. Заметим, что если функция 1 (г) аналитична в круге ' г — а) (11, то а„=:О для и= — 1, — 2, ..., и ряд Лорана функции 1(г) переходит в ее ряд Тейлора. ° 1 Пример 1.

Разложить и ряд Лорана функпию !(е)= я колы!е (г — 1) (г — 2) 0( ) г — ! ) (1 с центром в точке г = 1. 1 1 Данную функцию представим в виде 1(г) = — — —. Так как г — 2 г — 1' )г — 1 ( (1, то по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии имеем (г 1)л г — 1 л=о 1 Главная часть ряда Лорана функции ((г) есть й (г)= —, а его праг — 1' вильная часть (г (г) = — ~я~ ~(г — !)л. л = о й 31. ОСОБЫЕ ТОЧКИ 1. Классификация особых точек. Введем некоторые определения, Точка г=а называется изолированной особой точкой функции ((г), если в области О(~ г — а~ <Я функция ~(г) является аналитической, а в точке г= а аналитичность функции ) (г) нару! шается.

Например, функция 1(г) =я(п — имеет в точке г=О г изолированную особую точку, так как в точке г=-О функция 1 1(г)=з(п — не определена, но в любой окрестности этой точки г ! эта функция является аналитической. Для функции Г(г) = ! а!и- . точка г=О не является изолированной особой точкой, так как 1 в точках га= — (й= +:1, .+ 2, ...) функция ((г) обращается ля в со, а точка г=О является предельной точкой для последовательности (гл), т.

е. нельзя указать такую окрестность точки г = О, в которой функция 1(г) была бы аналитической. В дальнейшем будем рассматривать только изолированные особые точки. В основу классификации изолированных особых точек может быть положено повеление функции ((г) в окрестности этих точек, либо вид разложения функции Г(г) в ряд Лорана в окрестности особых точек. Ладим классификацию изолированных особых точек в зависимости от поведения функции ((г) в их окрестности. 1, Изолированная особая точка г=а называется ус!принимай особой точкой, если су!цествует конечный предел 11 гп ((г) = А чь оо. г л 2, Назовем изолированную особую точку г.=а полюсом, если 1пп ((г) =со, т. е. модуль функции ) (г) неограниченно возрастает г л при г- а. 3, Изолированная особая точка г=а называется существенно особой точкой, если пе су!цествует 1(пт Г (г). г а ЗЗ! Между типом изолированной особой точки и видом разложения в ряд Лорана функции ! (г) в окрестности этой точки существует тесная связь, Прежде чем установить эту связь, получим неравенство Коши для коэффициентов ряда Лорана.

Пусть в кольце с ( ~ г — а ! ()с функция ! (г) разлагается в ряд Лорана ((г) = р а„(г — а)", где а„=- —. ! а.„йЬ, 1(ь! а = — аа а контур ! является окружностью ~г — а',=р (г(р(й). Обозначим максимум модуля функции 1(г) на окружности 1 шах ~ ! (г) , '=- М (р), тогда будет справедливо неравенство ~ а — а ! =- р |а„! — 1 +, !йр/= „(л=.О, +-1, +.2, ...).

(1) г м(р) м(р! 2. Разложение в ряд Лорана в окрестности особых точек. Связь типа особой точки с видом разложения в ряд Лорана функции ! (г) в окрестности этой точки устанавливают следующие теоремы: Теорема 1. Для вюго чтобы особая точка г==-а была устранимой особой точкои для функции ! (г), онолитичной! в кольце О < ! г — о, ! < Я, необходимо и достаточно, чтобы разлозсение в ряд Лорана во1ой функции в укованнол«кольце не содержало главной час«оси Доказательство, Докажем вначале достаточность условий теоремы.

Пусть ряд Лорана функции ! (г) не содержит главной части, т. е. 1(г) = ~ и (г — а)". Тогда !!ш((г) =а,. По оп>=.р а а ределепию точка г= а. в этом случае является устранимой особой точкой. Докажем теперь необходимость условий теоремы. Пусть существует !!ш1(г) =А, причем А чьсо.

Тогда функция Г(г) ограни- а чена в окрестности точки г=-о, т, е. !Г(г)((М для всех г, удовлетворяющих неравенству ! г — а ! ~ р, Учитывая неравенства (1), имеем )а„,'==.— „=Мр-". Так как величина р может быть выбрана сколь угодно малой, то все коэффициенты разложения функции 1(г) в ряд Лорана с отрицательными индексами а равны пулю и ряд Лорана не содержит главной части, Этим доказывается необходимость условий теоремы. И Если положить 1(а)=Иш1(г)=а„то функция 1(г) будет а а аналитической в круге, :г — а)~р с центром в точке а, так как во всем круге она представима сходящимся степенным рядом.

Отсюда следует название «устранимая> особая точка. Устрани>лая особая точка называется также правильной точкой функции 1(г), Прежде чем рассматривать разложение функции ((г) в ряд Лорана в окрестности полюса, введем некоторые определения. 333 Точка г=-а называется нулел! порядка (г (lг — целое положительное число) функции д(г), если эта функция может быть представлена в виде а(г) =-(г — а)" ср(г), причем гр(а) чеО. Если функция д(г)4=0, то ее разложение в ряд Тейлора в окре<тности точки а имеет коэффициенты, не все равные нулго. Номер млад- щего, отличного от нуля коэффициента совпадает с порядком нуля функции д(г) в точке г='а, т. е.

к (г) =аг (г — а) +а!ьа (г — а)т +... (2) Заметим, что порядок нуля функции д(г) в точке г=а совпадает с порядком младшей, отличной от нуля производной функции д(г) в точке г=а. Функция ц!(г) является аналитической в окрестности точки г=а и отлична от нуля в этой точке. Из определения особой точки-полюса следует, что если функ- 1 ция )'(г) имеет полюс в точке г=а, то функция д(г) =- — ана! (г) литична в окрестности точки г=а и (!гп(г(г) =О, т.

е. функция 2 0 д(г) имеет поль в точке г=-а. Справедливо и обратное, если 1 точка г=-а является нулем функции д(г), то функция ((г) = —— я (г) имеет в этой точке полюс. Будем называть порядком пол!оса 1 г=а функппи ) (г) поря!!ок нуля г ==-а функции д(г) == —. Пг) ' Теорема 2. Для ию!ео чяюбь! точка г =- а была полюсом порядка lг функции ((г), необходимо и дсктоточно„чтобы ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки г=-.а имело вид (г — а)" + (г — а)""' + ' ' '+ г — а + ~~и~ ь=.ь или, что то же самое, функция 1(г) могла быть записана в виде ((г) = ' —, еде функция гр (г) аполитично.

в окрестности точки 41' (г) (г а)г ' г=а и ~р(а) ФО. Доказательство. Сначала докажем необходимость условий теоремы. Пусть точка г=-а является полюсом порядка )г функции )(г). Согласно изложенному выше, для функции д(г) =.. 1 = — точка г =-и будет нулем порядка й. Таким образом, функ! (г) цию у(г) можно записать в виде у(г)= — (г — а)" ср(г), где гр(г)— аналитическая функция в окрестности точки г = а, причем ср (а) Ф ФО. Тогда ! 1 - ! 1 (г) =- — = — —.

я (г) (г — а)" юь(г) ' (4) ! Функция гр(г) =-- — является аналитической функцией и окреся (г) стности точки г--.а, 1г — а,'< р. Поэтому функция ф(г) разлагается в этой окрестности в ряд Тейлора ф(г) = а „+а г„(г — а)+...+а„(г — а)г+..., ззз 1 причем а а = — ~ О. Подставив это выра>кение для ф (г) в фор~у (а) мулу (4), получим Таким. образом, необходимость условий теоремы доказана.

Докажем достаточность условий теоремы. Пусть в окрестности точки г=а функция ((г) разлагается в рял Лорана с конечным числом членов в главной части, т. е„ )(г)= " +...+ — ='+ ~~)~ п.„(г — а)". в=в Тот)(а функция 'ф(г) =(г — а)а)(г) =а а+апнц(г — а)+... представима в виде ряда Тейлора в окрестности точки г=а, т, е. функция чр(г) аналитична в круге !г — п~(р, причем ф(а) = = а аФО.

Следовательно, функция о (г) = — = =- (г — а)" ср (г), 1 (г — а)" ! (г) ф (г) ! где ср(а) =- — ~20, имеет в точке г=а ноль я-го порядка. По а» доказанному выше в этом случае функция ((г) имеет в точке г=-а полюс порядка й, что н локазывает достаточность условий теоремы. И Вид разложения функции ) (г) в окрестности существенно особой точки устанавливает следующая теорема: Теорема 3. Для того чтобы функция ! (г) имела в точке г= а существенно особую точку, необходимо и достпточно, чтобы главная часть рпэлоссения в ряд еуоранп функции р (г) в окрестности этой точки содержплп бесконечное число членов. Доказательство теоремы легко проводится методом от противного. Введем понятие предельного значения 'функции ((г).

Число А нпэывпется предельным энп нием функции р (г) в точке г=п, если существует»оследовтпельность комплексных чисел (г„), сходящаяся к точке а, такая, что соответствующая последовательность знпяений функции (( (га)) сходится к точке А. Приведем без доказательства теорему ".>, которая характеризует поведение функции ((г) в окрестности существенно особой точки. Теорема 4. Мнозкество предельных значений функции ( (г) в ее существенно особой точке есть вся расширенная комплексная плоское>пь.

Характеристики

Список файлов книги