Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Тогда, если выбрать е таким, чтобы выполнялось неравенство ~ г' — "' — е ~ г,— г, ~ = — д) 1, то для последовательй ности (па) оказывается справедливым соотношение 1" — ',' ) — -[ !! 1лО л 1)г — ОИ 1лО аЛЛ (г,— г,)лО~) ~ — Е) !г,— г,) О = ~ — — Е!г,— г,() = д О -л-оо при аΠ— ьсо, Общий член числового ряда ~'„ал (г, — г,)л по последовательл=о ности (пь) стремится по модул1о к бесконечности, Таким образом, не выполняется необходимое условие сходимости числового ряда ~', ал(г,— г„)". Следовательно, степенной ряд (1) расхол.=О дится в области ~ г — гл ~ ) й, Ю 2. Теорема Абеля.
Из теоремы Коши — Адамара вытекает следующая теорема Абеля: 324 Теорема 2. Если стеленной ряд ~ а, (г — г,)" сходится в танк=в ке г =- г, ~ г„, то он сходится абсо!лсотно в круге ( г — г!! ( ( ( ( г! — г, (, прочен в каждом круге ридиуса А!! () г, — г„( он сходится равномерно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, из сходимости ряда в точке г„следует, что радиус сходимости степенного ряда )(~ ~ ~ г, — г„(.
Тогда утверждения теоремы Абеля являются следствием теоремы Коши — Адамара. И Заметим, что согласно теореме Всйерштрасса сумма степенною ряда в круге сходимости является аналитической функциеи. 3. Ряды Тейлора. Обобщим па случай функций комплексного переменного известную из математического анализа формулу ряда Тейлора.
Пусть функция 7(г) является аналитической в области 6. В этой области задан замкнутый контур (, ограничивающий область (?. Пусть точка ь принадлежит контуру (, а точка г является некоторой точкой области (). Возьмем произвольную точку а, принадлежащую также области Й. Составим отношение 1 1 ! !",— г Г.— а г — а ' 1 —— ь — а Учитывая формулу суммы геометрической прогрессии вт! !+у+у'+".+у"= — —, нли 1 сап —,:„= )+у+" +Ч" + —, (4) указанное отношение можно переписать' в виде 1 —— 9 †1 Умножив обе части последнего равенства на —.)(ь) и проинтегри2к! ровав полученное выражение по ь вдоль замкнутого контура (, получим, учитывая формулы (!) и (9) з 27: 7(г) =((а)+ ( (в) (г — а)+...+ (" (г — а)" +)!„, (5) где (г — о)~~ ! ( ! (ь) вГ и Зк) ) (й г) (С о)ам ° (6) ! Если остаток й„-+-0 при !г-+-оо, тоформула (5) переходит в формулу ряда Тейлора для функции 7 (г): )(г) =- ъ~ р~~ (а) (г — а)и (7) к Звз Следующая теорема Коши указывает на возможность разложения функции 1(г) в ряд Тейлора.
Теорема 3. Функо,ия ! (г) представимо своим рядом Тейлора в любом круге ) г — а ) <Й с центром в точке а, в котором она аналитична. Вп всякой замкнутой области, принадлежащей этому кругу, ряд Теилора сходится равномерно. Доказательство, Для доказательства сходимости ряда Тейлора (7) выберем произвольную точку г, внутри круга ~ г — а) < <Я и построим окружность радиуса (с,<1? так, чтобы точка г, лежала внутри этой окружности. Очевидво, что ~г,— а~<Ям Если ь — произвольная точка на окружности ~г — а~ =)то то ряд 1 1 ! 1 ~~ (г, — а)" (8) — ь-а г,— а ь — ах«(Ь вЂ” а)" ' 1 «==О ь — а где ~ — ' ~ < 1, сходится равномерно по ь, так как мажорируется ь — а ъч (г,— а)" сходящимся числовым рядом 7 «=О ! Умножим обе части ряда (8) на —.((г) и проинтегрируем по2а!' членно вдоль окружности ~ г — а!=)ть Согласно формулам (1) р«1 (а) и (9) 2 27 будем иметь ~(г,) = т (г,— а)".
Так как г,— «! « — — О произвольная точка круга !г — а~ )г, то ряд Тейлора сходится к функции ((г) всюду внутри круга ) г — а!<1(. Докажем теперь равномерную сходимость ряда Тейлора в любой замкнутой области, принадлежащей кругу |г — а) <)?, В качестве такой замкнутой области выберем круг ',г — а'!-=Исн где й — фиксированное число, удовлетворяющее неравенству 0 < й < 1, а Я, <1(. Этот замкнутый круг лежит внутри круга )г — а ~ <Р. Для доказательства равномерной сходимости ряда Тейлора (?) требуется показать, что остаток Й„в разложении « ~ (г) 1~ ' ' а) (г а)л 1 Я О=о стремится к нулю при и — «со равномерно относительно г. Произведем оценку остатка )?„ряда по модулю.
Так как функция ?(г) аналитична в круге радиуса )?, то она ограничена по модулю в замкнутом круге !г — а(~Ын т. е. !1(г) ~ <М. Оценим модуль разности: !ь — г~ ~ ~ ь — а~ — ~г — а~))т',— йй, = = И,(1 — й). Тогда в соответствии с формулой (6) получим: (г — а)"ы (' ?(«)Вь 2а1 5 (ь — г) (й — а)"" '! Я«+!8«Ь! !И 2ая а~+! М. 2п )! (1 — а) Б,"+ ! 1 — !О Так как (2 1, то 1)т„~ — «О при п-«оо, причем оценка остатка ряда не зависит от г.
Следовательно, ряд Тейлора сходится и притом равномерно в любом круге )г — а) =-..)2212. Й Следующая теорема устанавливает связь между степенным рядом и рядом Тейлора. Теорема 4. Пусть ьруннг(ия ((г) представляет собой сумму стеленного ряда, т. е. 7(г)= ~ ал(г — а)". Тоеда ряд Тейлора л=ь для 4уннции ((г) совпадает с этим степенным рядом, Лок аз а тел ь ство. Пусть в некотором круге ~г — а')()т сходимости степенного ряда его сумма (9) О=О Тогда в силу теоремы 2 % 28 функпия ((г) является аналитической функцией в этом круге. Положим в выражении (9) г=а, получим аз=-((а).
Дифференцируем ряд (9) почлснно, полагая каждый раз г = а: )' (а) = а„(л (а) = 2аз.. 7(л) (а) = п) а„ рл) (д) Отсюда следует, что а„=-, и ряд (9) является рядом Тейлора функции ((г), И Эта теорема устанавливает единственность разложения функции ((г) в ряд Тейлора. Из теоремы также следует, что радиус сходимости степенного ряда (9) совпадает с расстоянием от точки а до ближайшей точки, в которой нарушается аналитичность функции ((г), Ниже указаны разложения в ряд Тейлора некоторых функций в окрестности точки г =- О: 22 ЧЗ ел е'=1+г+--,'+...
= г л=в гз гз %З 2зл созг=-.1 — -- + - — ...= 27 ( — 1)", 2) 4) ''' з'О (2л)) л=ь (1О) 2З ю гзлм О)пг=г — — -+ 3( 3) '' ? (2л+1)( - ( — 1)", л=-О 22 тз 22 !п(1.).г) =г.—, +, †...=- г ---( — 1)л". г 3 "'= тз л л=-з 327 й 30. РЯДЫ ЛОРАНА В предыдущем параграфе рассматривалось разложение в ряд Тейлора функций, являющихся аналитическими в некотором круге.
радиуса 1г. Но иногда приходится рассматривать области и другого вида. Например, если функция 7(г) является аналитической всюг ду, кроме точки а=а, то обла- й стью аналитичности функции моаь жет служить кольцо г(~з — а1( (Л. Пусть функция )(з) аналитична в кольце г< ~ а — а) <г( (рпс. 77). Выберем произволь- 0 х ные числа г' и гт', удовлетворяюРис. 77 шие неравенствам г < г' (г('<й, и число гг, причем О ( (г ( 1, и рассмотрим кольцевую область ' .-.--.) г — а ~ ==(гГ.
В этом кольце функция 7(з) аналитична. По формуле Коши для двух- связного контура имеем Здесь 1, и 1,— окружности на плоскости г, определяемые равенствами )з — а~=-Г и )г — а,'=-г', причем интегрирование вдоль этих окружностей производится против часовой стрелки; з— произвольная внутренняя точка кольца, Рассмотрим первый интеграл в выражении (1). Если некоторая точка окружности 1„то справедливо ссютношение :- — —; = гг < 1. 1 Поэтому дробь в первом интеграле можно представить по формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии: 1 1 1 ! 1 + г — а+ (г — а)" ь — и ь — а г — а ь — а ь ь — а ''' (ь — а)а !в ь — а (2) причем ряд в правой части последнего равенства сходится равномерно, так как его можно промажорировать геометрической прогрессией со знаменателем (г(1.
Умножим обе части выра- 1 жеиия (2) на —. 7.(с) (прп этом равномсрпая сходимость ряда 2и( не нарушается) и проинтегрируем почлснно полученное равенство по окру>кности 1,: Й(г) =-= ~ — (~=- ° . (г-а):, ! г!(и) 'у — 7 л и=-0 (3) здесь г, Отметим, что в отличие от ряда Тейлора коэффициенты а„в ра)да (д) венстве (3) нельзя представить в виде а„=- —,, так как функция 7(г), вообще говоря, не аналитична в точке г=а. Рассмотрим второй интеграл в формуле (1).
Так как интегрирование ведется по окружности 1„то справедливо неравенство ~Ь вЂ” а) дг' "~( — ',-=-й(1. По формуле суммы бесконечной геометриг — а!' И ческой прогрссспи получим ! ! ! ! ( й д (г д)п — "1+ — — +" + я+." Ь вЂ” г г — а ь — а г.-а ! г — а ''' (г — а)" г — а (6) Подставим выражение (6) во второй интеграл равенства (1) н выполю!м почлеппое интегрирование по окружности (г: Гг(г) -- — —; ~ —..--ЙЬ--= 7 а д(г — а) ", г 7(() ч1 (6) 2я!д,~ ! — г д --.! здесь а „.=--, .
) ! (ь) (ь — а)д ! г(ь (!г =- 1, 2, 3, ...). (7) !, д =- — со Согласно интегральной теореме Коши для многосвязной области (см. З 26) окружности 1, и 1, можно заменить любой окружностью 1 с центром в точке а и радиусом р, причем г(р(й. Поэтому формулы (4) и (7) можно записать в виде одной формулы ! Формула (6) представляет собой разложение в степенной ряд функции )г(г) по отрицательным степеням (г — а).
Заменим в формулах (6) и (7) индекс — п, где п принимает значения 1, 2, 3, ... индексом л, прнппма!ощим значения — 1, — -2, — 3, .... Тогда, объединив разложения (3) и (6), получим: 7 (г) =-), (г) + гг (г) = ~~)~ а„ (г — и)". (8) Полученное разложение (8) называется разложением в ряд Лорана функции 1(г) в окрестности точки а. Ряд (3) называется правильной частью ряда Лорана, ряд (6) — главной частью ряда Лорана. Таким образом, справедлива следующая теорема: Теорема 1.
Пусть функция 1(г) аналитична в кольце с( ) г — а ) ( 11. Тогда она разлагается в атом кольце в ряд Лорана 1" (г) =-,5, 'а„(г — а)", причем разложение единственно. ч = — со Козффициенты разложения определяются по формуле 1~ )»» с(Г (п=О: 1 2) 1(1) 2п) ~ (ч — а)ьи где 1 — окружное»пь, для которой !г — а)=р, причем удовлетворяется неравенство г(р(11, Полученный ряд сходится равномерно в каждой замкнутой области, принадлежаи)ей целиком данному кольцу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
