Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 60
Текст из файла (страница 60)
»' Доказательство теоремы см., например, в ки. Ма р к у и>е в и ч Л. И Краткий курс теории аналитических функций. »Наука», !зоб„с. 234. 334 ! — Ссзэ 2 Пример 1. Определить характер особых точек функции Г(г)= — „—, ге Эта функция нисет в начале координат г=-0 устранимую >кобу>о точку. 1 — соэ 2г Действительно, учитывая, что ! — созэг= — и используя разложение в ряд Тейлора функции сов 22: (22)а (22)' соз 22 =- ! — — -(- — — „, 2! 4! будем иметь (2г)' (22)э 1 — [! — — 4- — — " 1 1 — соээг .
[ 2! 4! Нтп „= 1нп 2 г,а 2" г Э 22 По опредслени>о, точка г=о является устранимой особой точкой функ- 1 — созе г ции ((г)= —, 1 Пример 2. Определить характер особых точек функции Г(г)= —. ее+ ! 1 Функция н(г)=- — =- е'+! имеет в точках гэ=(22+1)н) (а=О, чс 1, .) (() нули первого порядка. В самом деле, решая уравнение ее+1=0, будем иметь г гэ.==(2й+1) и) (а==о, ->: 1, ->. 2, ...). Кроме тото, и'(га)=е "= — 1 ча О. Таким обРазом, фУнкпна л(г) имеет в точках гэ=(2й+1) и! (а=О, -> 1, ч- 2, ...) нули первого порядка, следовательно, фу>>каня Г(г)— ! = — имеет в этих точках полюсы псрпого порядка.
и (2) ! Пример 3. Определить характер особой точки г=О функции Г(г) —.с* . Разло>кение в ряд Лорана этой функции в окрестности точки г=О имеет > о гч ЪЧ ! вид е =: т —,— Из написанного разложения нидно, что главная часть и! гкч и- О ряда Лорана имеет бесконечное число членон. Следовательно, функция ) (2) .- = — с имеет В точке 2-=-0 сун!сствспнО ОсОбу>О точку. Покажем, что для любого наперед заданного числа А можно указать та> 22 кую последовательность (гэ) -ь О, что Нш с =-Л. Действительно, пусть л со 1 г>,. = — =...==, тогда последовательность (гэ) ->-0 при й-ьоэ и Р !.п Л-1-2йн) ' ,гь и 1.п А+ гьн/ э Рассмотрим случай бесконечно удаленной точки, Пусть функция ((г) аналитщша в окрестности бесконечно удаленной точки. 1 С помощью замены переменной ь=- - проведем бесконечно удаленную точку в начало координат.
Характер особенности функции ((г) в Г>ескопечпо удаленной точке определяется характером /1! особенности функции >р(ь)=-~~ -) в окрестности наила коорди- Ю нат. Пусть разложение в ряд Лорана функции тр (ь) =(( — ) /1т = ~~) в окрестности начала координат имеет вид тр (ь) = ~ а„ьл. (5) Тогда фушсция )(г) разлагается в ряд: л 1 ) (г) = гг' аа -а. (6) 1(риащ> 4. Определить осойенностн следующих функций и бесконечно удаленной ~очке: 1 а) для функции 1(г)= — бесконечно удаленная точка является иравильг ной точкой; б) функция ((г) =гг имеет бесконечно удаленную точку полксом второго иорядка; в) для функции ((г)=ег бесконечно удаленная точка является сущест. асино особой точкой. В этом случае функция )т (г) () - — „" — нрплильнпл часть ряда а=а Лорана функции ) (г) в окрестности бесконечно удаленной точки, а функция )г (г) = ~ а „г" — главнпл часть ряда Лорана.
а= ! Таким образом, бесконечно удаленную точку по виду разложения в ряд Лорана функции ((г) в окрестности этой точки можно классифицировать слсду1ошиы образом: 1, Бесконечно удаленная точка--правильнпл, еслн ряд Лорана не содержит нленов с положительнь.мн степенями г, 2. Бесконечно удаленная точка является полюсом ппрядкп, й, если ряд Лорана содержит член с г в степени й(йзн1), но не содержит членов с г в более высокой степени. 3. Бесконечно удаленная точка является существенно особой, если ряд Лорана содержит бесконечное число членов с положительными степенями г. Глава Х ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ 5 32.
ТЕОРЕМА О ВЫЧЕТАХ 1. Понятие о вычете. Общая формула определения вычета относительно полюса. Введем определение. Вычетом функиии 1(г) в изолировпнной особой точке г = а (а М со) нпзываел!ся число ! 2я(,] —. ! 1(г) йг, где 1 — достаточно малая окружность )г — а ~=р, такая, что в круге ~г — а!(р невг других особых точек, кроме точки г=-а. В этом случив величина вычета не зависит от величины радиуса р. Обозначается вычет функции 1(г) в точке г=а следующим образом: Кез1(г) (, „*' или Выч((г) (,, Из формулы (9) 2 30 для коэффициентов ряда Лорана при и =1 следует, что Кез((г) ~,,=а „ (1) т. е. вычет функции 1(г) в изолированной особой точке г =а равен коэффициенту при (г — а) в мияус первой степени в разложении функции 1(г) в ряд Лорана в окрестности точки г =- а.
Если особая точка г =- а — устранимая, то вычет в ней равен нулю. Данное определение вычета относится к конечной изолированной особой точке г =-и =есо. Дадим теперь определение вычета в бесконечно удаленной точке. Пусть в окрестности бесконечно удаленной точки функция 1(г) разлагается в ряд Лорана 1(г) = У', а„г".
(2) Тогда вычет в бесконечно удаленной точке г=со определяется формулой Кез1(г) ~,= = ---. ~ 1(г) йг, где 1 — окружность доста! точно большого рпдиуса, обход которой производится по чпсовой стрелке (бесконечно удпленная точка должна остпваться слевп). Проинтегрировав почленно ряд (2) по контуру 1 (в силу равномерной сходимости ряда (2) это всегда возможно), получим '.(ун>а*= —,— ','1( ~ ~за)а= — 2— -„- а (= —,. (а> гв 1 и=- Из формулы (3) следует, что Кез((г) ~а = — а г. (4) Таким образом, вычет в бесконечно удаленной точке может быть отличен от нуля, когда г =со — правильная точка.
Напри- а' Начальные буквы французского слова агезыов — аычет. 12 и. р. Чемоданова, т, ! а=о Перейдя к пределу в обеих частях равенства при г- а, будем иметь дь-1 а х = Кез/(г) !г —, = — !пп —,((г — а)ь/(гД. (5) (А — 1)1 Жаю Если й=1 (полюс первого порядка), то Кез/(г) !,„,= 1!ш/(г) (г — а). (6) Если при атом функция /(г) представляет собой отношение двух функций Р(г) и Я(г), аналитических в окрестности точки г=а, т. е.
/(г)= —, причем Р(а)ФО, и функция Я(г) имеет Р (г) О(г) ' в точке г=а нуль первого порядка, то Кез/(г) ),=,= 1!гп — = —, Р(г) Р(а) г =а — () (г) ()' (а) ' Пример 1. Определить вычет функции /(г)=1яг= —. ип г сов г' и в точках ге= — +Ап 2 Эта функция имеет полюсы первого порядка (А=О, .ь 1, ...). Определим вычет функции в полюсе ге= —. По формуле(7) 2' найдем ап— 2 Кеа/(г) ~ = = — 1. =и .и м= г — ап— 2 1 Прямер 2. Определить вычет функции /(г)= — в осевой точке г=/. г'+ 1 В точке г=/ эта функция имеет полюс первого порядка. Вычет функции /(г) в атом полюсе Кеа/(г) ! /= 1пп— г — / 1 / г ! гг+1 =2! = 2 338 мер, функция /(г) = — не имеет особенности в бесконечно уда- 1 г ленной точке, но Кез/(г) !а.— = — 1.
Получим формулу для определения вычета функции /(г) относительно полюса. Пусть функция /(г) имеет в точке ге а полюс порядка /г. Тогда ее разложение в ряд Лорана в окрестности точки г=а имеет вид /(г)==а„+...+ ='+ ~ а„(г — а)". а=о Умножим обе части последнего равенства на (г — а)а и продифференцируем полученное выражение /г — 1 раз: глп Пример 3. Определить вычет функции 7(г)= — (п — натуральное (1+ г)" число) в особой точке г= — 1. В точке г= — 1 эта функция имеет полюс порядка п. Вычет функции 1(г) в полюсе г= — 1 1 Лп ! 1 ( 1)пм (гп)1 ~~(п — 1)1 с(гп ' ( ( (п — 1)1(п+ Ц1 ' 2.
Теорема о вычетах. С помощью вычетов можно значительно облегчить вычисление интегралов от функций комплексного переменного. Следующая теорема показывает, что вычисление интегралов можно свести к вычислению вычетов подын- /г тегральных функций относительно их особых точек.
' га! ег Теорема 1. Пусть ут! спрямляемый замкнутыи" контур и П вЂ” область, ограниченная зтим контуром. Пусть далее функция 7(г) является Рис. 7З аналитической функцией в облип!пи 6 за исключением конечного числа изолированных особых точек аь а,, ..., а„. Тогда ') 1" (г) йг = 2п) 'У", Коз ~ (г) ~, (8) а=! Доказательство. Окружим каждую особую точку г=-аь окружностью (м име!ощей радиус р„столь малый, что все эти окружности не пересекаются между собой и лежат в области П (рис.
78). Рассмотрим область бм полученную из области б с помощью удаления кругов (е. В области бь функция 7" (г) будет аналитична. Согласно интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем ')((г) с(г+ ~ч", ~ 1(г) дг=О. (9) ! а-1! Здесь окружности 1а проходятся по часовой стрелке. Изменив направление обхода и пользуясь определением вычета, получим ')((г) дг=2п) ~ Вез((г)), „. ° Пользуясь понятием вычета в бесконечно удаленной точке, можно доказать следующую теорему: Теорема 2.
Пусть функц я )'(г) имеет в расширенной комплексной плоскости лишь конечное число изолированных особых пючек а„..., а„. Тогда сумма вычетов функции 7'(г) относительно ьтних точек, а также относительно бесконечно удаленной точки равна нулю. До к а з а те л ь от в о. Рассмотрим окружность (: ~ г ~ =)~ с центром в начале координат, имеющую настолько большой радиус )с, чтобы на самой окружности и вне ее не было особых точек функции Цг), за исключением может быть бесконечно удаленной точки г=оо. Тогда ~ 1" (г) йг+ ~ ( (г) дг = О. (1О) Здесь 1 †окружность ~ =)т, проходимая в отрицательном направлении. Но ~(г)дг=2л/ ~ пезг(г) ~, „, (11) а-'! )1(г) йг=2л/Везу(г) ~, (12) - Подставив (11) и (12) в (10), получим: л ~ Вез~(г)(,,„+Кез~(г) ~, =О. ° (1З) 3.
Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов. Прежде чем перейти к вопросам применения вычетов для вычисления некоторых несобственных интегралов, докажем две леммы. Лемма !. Если функция ~(г) непрерывна в окрестности бесконечно-удаленной точки г = со и г~(г) -э-О равнотиерно относительно агйг при г-з-со*1, то интеграл ~ )'(г)с(г по любой дуге Ся сл окружности 1г1=тт' стремится к нулю при )т — ьсо. Доказательство. Введем обозначение М = шах 1гу (г) (. ся Равномерность стремления к нулю функции г1' (г) относительно аргумента означает, что М-~-О при )т-ьоо. Оценим по модулю интеграл ~ у (г) йг: ся ! 1(г) Иг = г)'(г) — дг~~ 1пах(г('(г) ( — в(М2л. я я Здесь в — длина дуги Сл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
