Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 61
Текст из файла (страница 61)
ю Произведение г/(г) стремитси к нулю равиомерио етиссительио аргу. меита г при г со, если дли любой неограниченно возрастающей псследовв. тельвости точек (га) справедливо равеиство 1пп г,~ (га) О, а- сс 340 Так как Иш шах ( гг (г) ~ = О, то а 0: сл 11ш ~ 7" (г) да=О, ° (14) я са Очевидно, что дуга Са может быть всей окружностью. С помощью доказанной леммы можно вычислить несобственные интегралы вила ~ Г (х) дх, подынтегральная функция ) (х) которых удовлетвор яет условию Иш .4 (х) = О к оэ (15) примет вид СО л ~ 1(х) !(х=2п! ~ч"„Вез((г) ~ Ю' ь ! 1а а» (17) 34! н имеет конечное число изолированных особых точек. Условие (15), в частности, выполняется, если г(х) является дробно-раци- ональной функцией и степень числителя по крайней мере на две единицы меньше степени знаменателя.
Для вычисления интеграла ~ 7 (х) дх перейдем от действитель- ного переменного х к комплексному переменному г и рассмотрим интеграл )1(г) !(г, где 1 — замкнутый контур, состоящий из полу- окружности Сл радиуса !г', лежащей в верхней полуплоскости, и отрезка 1 — г!, Ц действительной оси (рнс. 79). Радиус )г выбираем столь болыпим, чтобы все особые точки функции 7'(г), лежащие в верхней полуплоскостн, попали внутрь области, огра- ниченной контуром 1.
Согласно свойству 2 интеграла от функции комплексного л переменного имеем ~ Г (г) с(г = ~ 7 (г) дг + ~ 7 (х) дх. С другой стоса — В роны, в силу теоремы о вычетах !! ~ 7 (г) дг = 2п( ~~ Вез 7 (г) ~ ! А-! ~Р=!!ь где а,, ..., а„— особые точки функции 7 (г), лежащие в верхней полуплоскости. Таким образом, ~ Г(г)да+ ~ 7(х) !(х=2л( ~ Кез7(г), (16) сл — а !! =! 1* 'з Перейдем в равенстве (16) к пределу при )гг-!-оз.
Из дока- занной леммы следует, что Иш ') Г(г) да=О н равенство (16) сл Аналогично можно показать, что ') ) (х) г[х= — 2п[ ~ г(ез((г)1 а=! !х=-аь где аа — особые точки функции ((г), расположенные в нижней полуплоскости. Для зтого необходимо рассмотреть интеграл Рис. 79 Рис. 80 ~7 (г) г[г, где контУР Г состоит из отРезна [ — )т, )т1 действительи ной оси и полуокружности Сй, расположенной в нижней полу- плоскости плоскости г (рис. 80). ох Пример 4. Вычислить интеграл (хе+ 1 )л ' 1 Подынтегральная функция т ! имеет а верхней полуплоскости одну (хт+ !)а ссооую точку х=) — полюс и-го порядка.
Согласно формуле (17), имеем (ха 1 !)а 1 (ха ! 1)х ~ 1 Вычислим аычет функции, и точке х=й В соответствии с формулой (х'+ 1)" (5) имеем 1( -й" 1"-В (ха+1)" 1х=) (и — 1)! х 1[(ха+1)" 1 !)пт [(х [ 1)-л]<а-м 1, п(п+1)... (2п — 2) . — 1 (и — 1)1 х 1 (и — 1)1 2тх ь Окончательно найдем Дх (2п — 2)1 и (хе+ 1)а [(и — Ийа 2аь е ' С помощью леммы [ можно вычислять интегралы по мнимой оси. Вычисление такого интеграла рассмотрено в следующем примере. Пример 5. Вычислить интеграл У ()м) л=2 лл ! ( ° )й (18) ул(у)=Ь,У ° +Ь,у.— + ... +Ьл,, йл(у)=а„ул+а,у" '+ ... +а, (18! (20) причем все нули многочлена Ьл(у) лежат в левой полуплоскости Предполагается также, что все нули многочлена Йл (у) — простые *'.
Заменим в (!8) !ю на у! ьтп у (у) ! 2щ' Д (ьл (у] йл ( — у) '!Оь Здесь интегрирование ведется вдоль мнимой оси плоскости з (рис. 8!). Рассмотрим интеграл по замкнутому контуру 1, состоящему из отрезка мнимой оси ( — )!, ьь!) и дуги окружности С, радиуса (! с центром в начале координат.
Согласно теореме о вычетах, имеем Рис 81 !Я ул(з) 1 ! УлЫ 2н! ~ йл(з)йл( — з) 2гг! .) !ьпЫйл( — У) — )л л 2н! ) Ьл(з) йл( з) ~й йл(з)йп( — з)Р=*ьь сл л=! Вычеты здесь берутся по всем полюсам подынтегральной функции, расположенным в левой полуплоскости, т е.
по нулям многочлена Ьп(з) Если устремить радиус окружности И к бесконечности, то в силу леммы 1 интеграл по дуге С будет стремиться к нулю и — Н' К~ Ул( ) ) . (23) 2п),) Ьп(у)йл( — У) жн йл(а)йп( — з)!п=пз — !СО л=! Пусть у„у, ..., Уп — корпи многочлена Ьл(у). Тогда и л й Ы=" П (У вЂ” Ул), й ( — У)=" П ( — У вЂ” Ул). л-! л ! Разложим подынтегральную функцию й „на простые дроби: Кл (У) ~аЫа( У У.(у) '~ А,~ 1 1 ) л 1 (24! пь Интегралы такого типа встречаются при определении средне-квадратической ошибки систем автоматического регулирования, находящихся под случайными воздействиями. Так как Ай есть вычет функции „ „ в полюсе уй, то У (У) л ~л — ~а~ Аь й=1 Определим коэффициенты Аь Перепишем равенство (24) в виде л ~~л(У) й ( у) 1 ~л( — У) й й=! (25) (26) Произведя деление, получаем: л й (— — Чт' ( 1)л-гВ ул-г — у — уй ды и — В „Ул — г йл(У) Ъз У вЂ” Уй г=1 г=! Коэффициенты В,й в общем случае при фиксированном г различны для различных значений й.
Исключение составляют коэффициенты В,й=аэ' Принимая во внимание полученные выражения для —" и У Уй — У вЂ” Уй будем иметь л л причем а,, =О, если 2гл — г>и и 2гл — г(0. Учитйвая (!9) и (27). выражение (26) можно записать в виде и УиЫ= Х Ь.,Ф= = »л 1 Ай ~~ ~,' 2( 1)л»гаэ Вгйузи-э»л й 1 гл -1»=1 л л эт =2( — П ~ у ~ А, У, ( — 1),,В„,. (28) й=! г=! Приравнивая в равенстве (28) кож)»(»ициенты при одинаковых степенях у, получаем и 2»л Х Ай !) аэщ г( — 1)'Вгй=( — !)" ~ ' (гл 1.
2, ..., и). (29) ь~, 2 й-! г=! Переменим порядок суммирования: 2ж л Х- %1 оэж- ( — 1У 7 АйВгй ( — Пл=" (ж=1, 2 -» и) (30) 2 г=! й=! и обозначим и 1 — 1)г»! %1 ог ' — — у АйВгй (глл)» 2»" » и). й 1 (31) йл (У) йл ( — У) Ьл( — у)+ —" — Лл(у) = т р ( — !У' »а»Вгйуэл ' '+ У вЂ” Уй — У вЂ” Уй =.0 и л и 2и» + ~ ~ , 'а»В й( — 1)л гуэи» »=2 ~ ~ , 'иэт-гВгй( — !У»гуэл э"'. (27) »=О»=! т=! г=! л При г=1, учитывая, что В!а=аз для всех й, будем иметь с,= ~~ да=Ха. ь-! С учетом (31) выражение (30) примет вид хгл 1---— т , Ь~, азы,сг=( — 1)л+т ~~ ((л=1, 2, ..., л) 2ао (32) г=1 Получили систему нз и алгебраических уравнений относительно неизвестных ст, с„..., сл.
Решая ее по правилу Крамера, получаем значение искомого интеграла ( 1)л+! )У л 2а Рл' (33) атал". 0 азат... 0 — определитель системы (32). 1.)л 00...ал Определитель Ил получается из определителя Р„с помощью замены первого столбца на столбец Ь ь, Ь . л-!— 1пп ~ ((г) е! дг=О. я с л л (34) Нетрудно видеть, что определитель Рл есть старший определитель Гурвнца для многочлена йл (у). Так как все корни многочлена Ьл(у) содержатся в левой, полуплоскости, то Рл чьО и система (32) имеет едннствеппое решение. Следовательно, интеграл Х„ всегда определяется, причем едйнсгаенным об- У разом.
Формула (33) справедлива н в случае, когда многочлен Ьл(у) с имеет кратные нули Для вычисления несобственных интегралов широкое применение находит так называемая лемма Жордана. С (г В ее помощью, в частности, ы„ х можно вычислить иитегра- а лы, которые не берутся с А помощью леммы 1, Рассмотрим' лемму Жордаиа, Лемма 2. Пусть функция ) (г) аналитична в полуплоскости 1ш г --а, за исключением конечного числа изолированных особых точек, и равномерно относительно агу г стремтпся к нулю при ~ г ~ -т- со на последовательности дуг окружностей )г ) =)1„, 1!и г- а. Тогда для любого числа Х)0 Доказательство.
Рассмотрим случай, когда а(0 (рис. 82), Произведем оценку интеграла ~ !" (г) еl' с(г по разл личным участкам дуги 1„. Введем обозначения: М„=юах~~(г)!, л а а„=агсз!п —. Условие равномерности стремления 7(г) к нулю означает, что М„-~0 при й„-+ оо. На дуге АВ имеем (е~Ф ~ = = е ~е(е 'х, тогда (35) ~ ~ 7 (г) ед" г(г ~ ( М„е "и„)7„, 'лв Учитывая, что а„)7„= —,„" и а„-+О при )7„-~со, получаем ма ~е 1!в а„Я„=а. Из неравенства (35) следует, что~ ~ 1(г) е~'"г!г~-эО и дВ при Й„-асс. Оценка, аналогичная неравенству (35), справедлива н для интеграла по дуге ЮЕ. Следовательно, и этот интеграл стремится к нулю прн )7„— ~ со.
Произведем оценку интеграла вдоль дуги ВСЮ. Воспользуемся неравенством з!и гр- — ср, 2 (36) справедливым при 0 ( ср ~ — (рис. 83). Получим ! 7(г)еГР г(г1 = ~ )~(г) ()е! )!с(г((М„)1л~ е хаем" чс(,р всо ! всо а 2 2 — гхй, = 2МД„е ~а ' " ч йр м:. 2М„А', е йр — „" (1 — е ~~а). (37) !ил ~ ( (г) е~~ г(г = О, й со~ а 346 Из выражения (37) следует, что интеграл по дуге ВС0 стремится к нулю прн Й„-э.оо. Лемма для случая а(0 доказана.
Если а)0, то доказательство леммы следует из неравенства (37). В Лемму можно сформулировать и на случай, когда А(0, а именно: если на некоторой последовательности дуг 1„: ~ г ~ =)т„, 1гп г ( а (а — фиксированное число) функция ! (г) стремится к нулю равномерно относительно агдг при К„-~-оо, то для любого числа Х(0 справедливо равенство Доказательство этого утверждения аналогично доказательству леммы для случая, когда к ) О, Прн исследовании линейных систем автоматического регулирования широко используется преобразование Лапласа (см.
гл. Х1Ъ'). Преобразование Лапласа состоит в переходе от функций действительного переменного (, называемых оригиналами, Рис. 84 Рис. 83 к функциям комплексного переменного в=с+)си, называемых изображениями. Переход осуществляется с помощью равенства г (з) =~ ~(Ое "пг о (38) Если известна функция г (в), то соответствующую ей функцию ) (г) можно вычислить с помощью так называемой формулы обращения (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
