Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Из принципа приращения аргумента следует, что если функция 1(г) аналитична в области 6 и отлична от нуля на границе 1 этой области, то число нулей функции внутри области 6 равяо' числу оборотов вектора в=1(г) при однократном обходе точкой г контура 1. Так как в этом случае Р =О, то — „Ь агй)' (г) = У. 1 (7) 3.
Теорема Руше. При исследовании систем автоматического регулирования часто приходится решать вопрос о расположении корней характеристического уравнения системы на комплексной плоскости корней. При этом оказывается полезной следующая теорема Руше. Теорема 1. Если функция 1(г) аналитична в замкнутой области 6, ограниченной конглуром 1, и функция <р(г) также аналитична в замкнутой области 6 и на контуре 1 удовлетворяет условию (ср(г) ~ч:.'11(г) ~, то функции 1(г) а ) (г)+<р(г) имеют внутри области б одинаковое и<юла нулеи.
Доказательство. Из условия (8) следует, что па контуре 1 /~(г) / ФО. Кроме того, 1~(г)+<р(г) )= ! )~(г) ! — /<р(г) ( ))О. Таким образом, функции ) (г) и ) (г) + <р (г) удовлетворяют условиям следствия п. 2 настоящего параграфа, Рассмотрим агд(((г)+<р(г)1= агд((г)+агд[1 +~+~1. Теорема будет доказана, если показать, что приращение аргумента Л ага [1 + ~ ~ = О.
Согласно условию (8), ~ — ~(1, когда конец вектора г пробе( Чт (г) (1(г) гает по контуру 1 на плоскости г. Следовательно, перемещение точки и> = 1 + — при обходе точкой г контура ! будет прохоч> (г) ((г) дить по замкнутой кривой у на плоскости и>, расположенной внутри окружности С с центром в точке и>=! и радиусом, равным единице (рис. 88). Замкнутая кривая Г не содержит внутри себя начало координат, следовательно, Л агн [1+ — ~ =О. Тогда <р(г) т )(г) ~ Ь агя (( (г) + <р (г)] = Л ага ) (г) и из формулы (7) следует, что число нулей функции 7(г) равно числу нулей функции ) (г)+<р(г), И Пример Н В качесгве примера применения теоремы Руше донах<ем оспопную теорему алгебры о том, что каждый полипом с<спеки и п,г" +п,г" '+...+п„(п чьО) имеет и корней.
Положим ((г)=пег", <р(г)=.п,г" >+пега~+...+а„, Тогда на окружпосги с центром в начале координат и с достаточно большим радиусом выполняется неравенсгво (1(г) () ( р(г) ). По теореме Руше, функции((г) =асс" и((г)+<у(г) = = п„г" +а>г" '+...+а„имен>г в области, ограниченной этой окружностью, одинаковое число корпси. Но функция 1(г)=наг" имеет корень г=О и-й кратности. Следовательно, и функция 1(г)+<р(г) имеет в этой области и корней. Л И Т Е Р А Т У Р А К первой части 1. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.
«Наука», 1971, 2. К у р о ш А. Г. Курс высшей алгебры. «Наука», 1975. 3. Мальцев А. И, Основы линейной алгебры. «Наука», 1975. 4. Окунев Л. Я. Высшая алгебра. «Просвещение», 1966. 5. Рублев А, Н. Курс линейной алгебры и аналитической геометрии. «Высшая школа», 1972. Ко второй части 1.
Б а р башни В. А. Функции Ляпунова. «Наука», 1970. 2. Белл ман,Р. Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений. ИЛ, 1954, 3. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. «Наука», !967. 4. К амке. Э, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравие. пням. «Наука», 197!. 5. Коддингтон Э. А. и Левинсон Н. Теория обыкновенныхдифференциальных > равнений.
ИЛ, 1958. 6. Мал к и н И. Г. Теория усгойчивости движения. «Наука», 1966. 7. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. «Наука», 1964. 8. П о н т р я г и н Л, С. Обыкновенные дифймренциальные уравнения. «Наука», 1974. 9. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Физматгиз, 1959. 1О. Техническая кибернетика.
Под редакцией Солодовникова В. В. книги 1 и П. «Машиностроение», 1967. К третьей части 1. Лаврентьев М. А. и Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. «Наука», 1973. 2. Ма рк ушев и ч А. И. Краткий нурс теории аналитических функций «Науиа», 1966. 3, Привалов И. И.
Введение в теорию функций комплексного переменного. «Наука», 1967. 4. Свешников. А. Г. и Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. «Наука», 1974. 5. Фукс Б, А. и Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и некоторые их приложения. «Наука», !964. ПРЕДМЕтНЫй УКАЗАТЕЛЬ 357 Абсолкггно сходящийся ряд 321 Авгоколебательный процесс 240 Автономная система дифференциальных уравнений 116, 178, 179 — — †, фазовые траектории 179 Алгебраическое дополнение 19 Аналитическая функция 291 — †, примеры 293, 295 Апериодическое звено 214 Аргумевт комплексного числа 280 — производной функции 295 Арифметический вектор 12 Арифметическое векторное пространство 58 Асимптотически устойчивая линейная система дифференциальных уравнений 250, 252 Базис сисгемы векторов 60 — — —, теорема 63 Бесконечно-мерное пространство 62 Бесконечно-удаленная точка 285, 335 — — †, классификация 336 — — †, примеры 286, 336 Блочные матрицы 45 Вектор фазовой скорости 18! Векторная запись дифференциальных уравнений 33 — 37, !15 Векторное пространство 57 Верхаий предел последовательяости 323 Взаимная матрица 25 Виды фазовых траекторий 181, 182 Внутренняя точка мио)кества 286 Вронскнаи — см.
определитель Вронского Входной оператор 210 Вынужденная составлшощая 225 Вырозкденпан матрица 26 Вычет функции 337 Вычет функции в бесконечно удаленной 'точке 337 — — логарифмический 352 — †, примеры 338, 339 — —, теоремы 339 Гармоническая функция 293 Гиперплоскость 66 Главный ойределитель системы 52 Граничная точка области 286 Детерминант квадратной матрицы 14 Диагональная матрица 43, 77 — †, примеры 82 — 84 — †, теорема 86 Дифференциальные уравнения 113 — —, зщгача Коши 116, 118 — —, методы решении'171, 173, 176, 176, 178 — —, примеры решения 159 — 161, !69 †1, !72, 174, 176, 177 — †, символическая запись 166 — — и-го порядка 113 Дифференциальный оператор 166 Дифференцирующее звено 215 Длина вектора 92 Дополнительный минор 18 Достаточные условия асимптотической устойчивости 274 Дробно-линейная функция 297 — — —, теоремы 299, 300 Евклидова норма вектора 96 Евклидова пространство 91 Единичная матрица 11 Жорданова матрица 84 — †, теорема 87 Замкнутая область 286 Знакоопределенная функция 259 Знакопостоянная функция 259 Изображающая точка 179, 1Ю Изолированная особая точка 184, 331 Изолированные замкнутые траектории 193 Импульсная переходная функция 235 Инверсия 13 Интеграл от матрицы 31 — функции вдоль кривой 309 Интегральная кривая 114 — теорема Коши 31! Интегрирующее звено 214 Каноническая матрица 41 — система дифференциальных уравнений 115 Канонический вид квадратичной формы 106 Квадратичная форма 104 Квадратичная форма, канонический вид 106 — — невырождеиная 105 — — неопределенная !09 — — отрицательно определенная 109 — — положительно определенная !09 — †, приведение к каноническому виду 111 — —, примеры 108, 110, 112 — —, теоремы 107, !10 Квадратная матрица 7, 77, 100 — †, целая положительная степень 28 — —, — отрицательная степень 28 — —, теоремы 25 — 27 Клетка 7Кордана 84 — —, теорема 85 Клеточные матрицы 45 Колебательное звено 214 Коллинеарные векторы 98 Комплексная плоскость 285 Комплексное число 279 — —, действия с числами 2Ю вЂ” 284 — —, тригонометрическая форма 280 Консервативные системы 191 Конечно-мерное пространство размерности а 62 Конформное отображение 296 Коэффициент усиления 202, 214 Критерий Гурвица 257, 258 — Коши 320 — Кроиеккера — Капелли 61 — Сильвестра !1О Лемма Жордана 345, 347 — †, пример 348, 35! — о сходимости интеграла к нулю 340 Линеаризация 197 —, пример 20! Линейная комбинация векторов 59 — — элементов 18 — независимость решений 154 — система алгебраических уравнений 47 — — дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 166 — — — — — — —, лемма 169 — — — — — — —, пример 169— 17! — функция 236 Линейное многообразие 66 — дифференциальное уравнение в операторной форме 210 — подпростраиство 66 — преобразование 67 — †, свойства 69 — —, теоремы 71, 77, 80 — дифференциальное уравнение и-го порядка 142, 143 Линейное дифференциальное уравнение и-го порядка, примеры 146, 147 — — — — — с постоянными коэффициентами 162 — — — — — — — — примеры 165, 166 — — — — — — с разрывной правой частью 230 — пространство 57 Линейно зависимая система векторов 58 — 60 — независимая система венторов 58 — — — †, свойства 59 — — — —, теорема 79 Линейный оператор 67 — элемент !97 Логарифмическая функция 304 Логарифмический вычет 352 Ломаная Эйлера 127, 129 1-Матрица 38 — —, теорема о приведении к каноническому виду 41 — †, эквивалентность 40 Матрица Гурвица 255 — квадратичной формы 105, 106 — линейного преобразования 68 Метод Гаусса 47 — 49 — —, примеры 50 — 52 — вариации произвольных постоянных 139 — гармонической линеаризации 178 — Лагранжа 110 — ломаных Эйлера 173 — Ляпунова прямой 258 — понижения порядка 176 Метод последовательных приближений 171 — решения с помощью степенных рядов 175 — фазовой плоскости 178 Минор матрицы 24 — определителя 18 Множество значений функции 287 — определения функции 287 Модуль комплексного числа 280 — .производной функции 296 Многозиачная функция 287 Натуральный логарифм матрицы 98 Начальные значения 116, 230 — условия 116 Невырожденная квадратичная форма 105 — матрица 26 Нелинейный злемент 197 Неопределенная квадратичная форма 109 — система линейных уравнений 47 — — — —, теорема 52 Неппобая матрица 26 Непрерывность функции 289, 290 Неравенство Коши — Буняковского 98 Несовместная система линейных алгебраических уравнений 47 — †, теорема 52 Несущественно нелинейная характеристика 198 Неустойчивая система 216, 249 Неустойчивый предельный цикл 193 — узел 186, 187 — — вырожденный 188 — — декритический 187 — фокус 190 Норма вектора 95 — матрицы 96 Нормальная система дифференциальных уравнений 115 — линейная система дифференциальных уравнений 132, 138 — — — — —, общее решение 138 — — — — —, понижение порядка 147 — — — — —, с постоянными коэффициентами 150, 156 — — — — †, фундаментальная матрица 154 Нормированный вектор 92 Нулевое решение 53 Область 286 — огрзниченпая 287 Обратная матрица 25 — †, теорема 27 Образ вектора 66 Общее решение системы дифференциальных уравнений 124, 134, 176 — — уравнения 115 Общий интеграл системы дифференциальных уравнений 177 Обыкновенные дифференциальные уравнения 113 Однозначная функция 287 Однородная система линейных алгебраических уравнений 53 — — — дифференциальных уравнений 133 Оператор 67 — дифференцирования 166 Операторная форма записи уравнений 166, 167 Определенная система линейных алгебраических уравнений 47 Определитель Вандермонда 23 — Вронского 135, 136, 144, 148, 153, 171 †, вычисление с помощью понижения его порядка 21 †, — — — приведения к треуголь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
