Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 54
Текст из файла (страница 54)
В этом случае для уравнения (21) будут справедливы условия ЕŠ— 0А=-ЕЕ)0, В~О, т, е, уравнение (21) является уравнением окружности.на плоскости и, проходящей через начало координат. Таким образом, прямые на плоскости г, не проходящие через ! начало координат, переходят при отображении в= — в окружг ности, проходящие через начало координат плоскости щ. 2.
Пусть О=О. Уравнение (21) в этом случае принимает вид Ен!+ Етв+А =О. (22) Если исходная кривая на плоскости г была окружность, т. е. выполнялись условия А~О, ЕŠ— АР)0, то уравнение (22) будет уравнением прямой на плоскости ~о, не проходящей через начало координат. Если исходная кривая — прямая, т, е. Е чь О, А = О, то уравнение (22) будет уравнением прямой, проходящей через начало координат. Таким образом, окружности на плоскости г, проходящие через начало координат, переходят в прямые на плоскости !а, не проходящие через начало координат, а прямые на плоскости г, проходящие через начало координат, переходят в прямые на плоскости и!, также проходящие через начало координат. Дробноаг+ Ь линейная функция в(г) — имеет полюсом точку г=— сг+ д поэтому все сказанное выше для точки г=О следует отнести к точке г — — — -.
° г ' 2. Показательная и логарифмическая функции. Рассмотрим показательную функцию е'=ехр г. Покажем, что е' = е" (соз у + ) яп у). (23) В формулах разложения в ряд Маклорена функций хз хл е"=1+х+--+...+-+..., 21 ''' л1 х' х' хзп+з зшх=х — ---+- — —...+( — 1)" +...
31 81 ' ' ' (2л+ 1)1 хз х' и х соз х = 1 — — — + — — —... + ( — 1)" — +... 2! 4! ' ' ' (2л)1 положим показатель степени мнимым. Тогда имеем: з з з +)Р 2 1 + 4 +"'' 2! 31 41 Я + 41 ' ' ') + ) ('Р 3! + й т. е. в квадратных скобках получено разложение в ряд соответ- ственно сов ер и яп зр, следовательно, егч = сов зр+)яп зр, (24) Формула (24) называется формулой Эйлера. Учитывая эту фор- мулу, получаем е'=е""ее=ее(сову+)з!пу). Из формулы (23) следует, что шое)е'=е", Агре'= у+2йп, й=О,:г 1, ... (25) С помощью формулы Эйлера можно получить выражения тригоно- метрических функций через показательную: СОЗзР= 2 ззпеР=- еуе+е зм, еле е гч (26) 21 Учитывая формулу (4) 3 22, а также используя формулу Эй- лера, получим показательную форму комплексного числа: г = геу", (27) где г †моду, а зр — аргумент комплексного числа.
Функция )(г) = е' является аналитической функцией иа всей комплексной плоскости, Действительно, если е'= и(х,у)+/о (х, у), то и (х, у).=е" сои у, о(х, у) =е" зшу, Проверим для функции е' выполнение условий Коши — Римана. Имеем: ди до, до . до дх " ' ду ' ду ' дх --- =- е" соз у, - — = е" сов у, — = — е'з(п у,;-- = ех з! и у. (28) Из равенств (28) следует, что условия Коши — Римана выполняются на всей комплексной плоскости, т.
е. ез является функцией, аналитической иа всей плоскости г. Вычислим производную показательной функции: ди .до (е')' = - + у-д = ех соз у+ )е' зш у =-- е'. Производная отлична от нуля во всей комплексной плоскости, т. е. функция е' осуществляет конформное преобразование во всей плоскости г, Поставим задачу о нахождении функции, обратной к показательной, т, е. функции ш=1(г), удовлетворяющей соотношению (30) Эта обратная функция называется логарифмической фуикиией и обозначается следующим образом: ш=Епг.
Пусть в=и+/и, а г=гетч. Тогда равенство (30) означает, что г=-е", <р=и+2йл, т, е. и=!п ~ г1, и=агдг+2йл (й=-О, -~-1, -1-2, ...). Отсюда получим, что логарифмическая функция определяется равенством ш=Епг=-(п!г)+/(агдг+2йл) (к=О, .+ 1, ! 2), (3!) Отметим, что логарифмическая функция — многозначная. Изучим геометрические свойства отображения с помощью показательной функции. Функция е' является периодической функцией с периодом, равным мнимой величине 2л)', Действительно, имеем е' ьч =е +'ь+ею =-е" [соз (у+ 2л) + )яп (у+2л)! =- =-е (соху+)яву) ==с'. Отсюда следует, что две точки г, и г, плоскости г, действительные части которых совпадают, а мнимые отличаются на число, кратное 2л, отображаются в одну точку плоскости в. Таким образом, функция ш = — е' — однозначная, но не однолистная. Обратная к этой функции функция ш = Еп г — бесконечно-значная, Ввиду периодичности функции ш =-е' достаточно рассмотреть отображение полосы плоскости г: а ~ 1т г ( а+ 2л, например полосы О -.
!юг(2л. В этой полосе функция ш=е'будет однолистной. Если точки г, и ге принадлежат указанной полосе, то !1ш г,— — 1шг,! с 2л и, следовательно е' эьеьч Рассмотрим, отображение прямой у =- с. Функция щ =- е'(созе+ + 1' зш с) при постоянном с характеризует на плоскости ш прямую, выходящую из начала координат под углом с к оси абсцисс. Действительно, так как и =- е" соз с, и =- е з(п с, то и =- и !д с; получили уравнение прямой на плоскости ш, проходящей через начало координат нод углом с к оси абсцисс и.
При изменении х в пределах — со х< со модуль ~~о! изменяется в пределах О ~в~ со. Полосу с,(1тг(с, на плоскости г, показательная функция е' переводит на плоскости ш в сектор, для которого с,(агяш(с, (рис. 68). Рассмотрим теперь отображение отрезка прямой на плоскости г: х=к, О-=:у(2л. Будем иметь ги= — еь (сову+)япу); на плоскости ш образом этого отрезка будет окружность с радиусом е" з04 и с центром в начале координат. Действительно, и=ехсозу, о=ехяпу.
Исключив у из игих равенств, получим и'+ о' = (е~)', т. е, имеем уравнение окружности с центром в начале координат и с радиусом с!. Рис. 68 Рис. 69 3. Степенная функция. Степенная функция имеет вид го=г", где п — целое положительное число. Если г =г (соэ гр+) яп ср), то го = г" (соэ п~р+) э!и п!р). Для этой функции и = г" соз пгр, о = г" яп пср. Проверим выполнение условий Коши — Римана (7) $ 24 для степенной функции: . ди до — =пг" тсоапср — пг" 'яппср дг ' дг до — = пг" сои !ир, д!р ди — — пг" з|п п!р дт э !! и. и, ~!сия аисви, ь ! Полуполосу — со х -.
О; О ( у(2п плоскости г показательная функция е' отображает на внутренность единичного круга плоскости !о, а полуполосу О(х(со; О у(2л — на внешность единичного круга (рис. 69). т. е. ди ! д» дг г д»р' да ! ди дг ~ д~р Следовательно, для степенной функции условия Коши — Римана выполняются на всей комплексной плоскости г. Поэтому функция ш=г" является аналитической на всей плоскости г. Производная степенной функции ш' (г) == иг"-'. Рис. 70 при г=-О. Это нарушение конформности в точке г=О состоит в том, что угол между двумя любыми лучами, выходяпшми из начала координат, при отображении возрастает в и раз, Если 2и повернуть луч на плоскости г на угол - --, то луч на плоскости ш и ' 2я повернется на угол 2и. Сектор 0«агдг( — отобразится на всю и плоскость ш.
2и Таким образом, угол 0«агпг(--'- является областью одно- и листности степенной функции. Окружности ! г ~ ==с на плоскости г переходит при отображении с помощью функции г в окружности !ш ~ =-с" на плоскости га. Введем понятие степени комплексного числа г с произвольным показателем. Пусть г — произвольное, отличное от нуля комплексное число. Тогда, если и — целое положительное число, то г" =- ! г /" ! сов (и агп г) + ! з ! и (и агп г)!.
Если г с- — рациопалыюе число, причем дробь ~- — несо- Ч и »„ кратима, то г =г»=.)г!»ь!соз! агйг~+)з!и! — агпг)]. Ь При г~О ш'(г)~0, т„е. отображение с помощью степенной функции является всюду конформным, за исключением точки г=О. Рассмотрим отображение, осуществляемое степенной функцией (рис. 70). Луч агпг=а, 0«(г!(со на плоскости г отображается в луч ариш=па, 0« ~ш)(со на плоскости ш.
В точке г=О конформность отображения нарушается, так как ш'(г) =О Пусть теперь се — иррациональное число. Тогда сушествует последовательность рациональных чисел [ — [ — ьа при и-ьоо. (Р») Чл Положим и г'= 1(гп ге =-1г )и [сов (аагдг)+) яп(ггагаг)1.
(ЗЗ) Мы получаем одно значение степени г", если сс — целое число; д различных значений, если сс — рациональное число, представленное в виде а==--, и бесконечное множество значений, если Р и†иррациональное число. Для определения степени с любым комплексным показателем представим формулу (33) в виде ги = ! г )и [соз (а агп г) + 1 з !и (гг агд гД = и" '" 1'1+ 1" л г* = ехр (с! 1 п г).
Это выражение имеет смысл и для комплексных сс. Поэтому положим для любого комплексного сг г"= — ехр (и1.пг). (34) Пример !. Вычислить !Д Согласно формуле (34), имссм 1г=-слр (/ (.п 1) —.схр ((2)гл().—.-.е ааи (Р=-О, З- 1, ч 2, ). Пример 2. Вычислить 14 Имеем [.(л †.14л+ П (и=сир(1 Ьп()=схр[1( (-(-2ли() ~=е 2 (д=в, з- 1, з. 2, ), [ (,2 4. Тригонометрические функции. Определим тригонометрические функции комплексного аргумента г следуюшим образом: ег»+е у» . ем — е у» созг=, япг= 21 Из формул (35) следует, что сов г и япг — периодические функции с периодом 2п. Определим действительные и мнимые части, а также модули функций япг и созг: еи+е г» е уьм+ех г» е у (соах+/Нп»)+ел (сгмх — 1'мп») 2 е»'+е-у, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
