Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 22
Текст из файла (страница 22)
(21) Из (21) следует, что если )1 — 1е)(/г, то Х ~ $~ (1) — ф (1) ~ е-- -- (е" ее — 1) = йе, где й= . Таким образом, при е — ~-0 решение ф(1) (1 = , ье = 1, 2, ..., л) равномерно сходится к решению $е (1) (1= 1, 2,... ..., п) и ломаная Эйлера, исходящая из точки (1„$;(1,)), равномерно сходится к точному решению. Неравенство (21) дает оценку погрешности при замене точного решения е-приближенным. Полученные неравенства мы используем для выяснения важной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров уравнений. В е р. чееаданооа, е. 3 что% доказывает лемму для случая 1) 1,. Аналогично доказывается неравенство (17) для случая 1( 1,.
° Рассмотрим следствие, вытекающее из данной леммы. Пусть $,(1) (1=1, 2, ..., л) — точное решение системы (9), удовлетворяющее начальным условиям (12), Обозначим через ~,(1) (1 = =- 1, 2, ..., п) е-приближенное решение системы (9) для тех же начальных условий. Тогда, применив неравенство (17) (б = О, так как начальные условия одинаковые), получим неравенство 4. Непрерывная зависимость решений от начальных условий н параметров. Опираясь на лемму., приведенную в п. 3, докажем теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и параметров уравнений.
Вначале рассмотрим теорему о непрерывной зависимости решений от начальных условий. Теорема 4. Пусть задана нормальная сиапгма дшрфгренциальных уравнений (9), причем функции ), (1, х„..., х„) непрерывны по 1 и удовлетворяют условию Липшица по х„..., х„в некоторой области П. Пусть далее*> х=$(1, 1„х,) — решение этой системы, удовлгтворяюи(гг начальным условиям (12). Положим, что это решение определено на отрезке |1 — 1,~~Ь.
Тогда для любого е)0 существует такое 6 (е, й) )О, что другое решение х = $ (1, 1„х,), удовлгптворяющгг начальным условиям вв (го. оо х о) = Хо, гдг «х, — Хо «» 6„**' будет определено на том же отрезке 18 — 1о ~ (Ь и удовлетворяет неравенству « в (1, го, хо) — 9 (1, го, х о) « ( е. Доказательство. Пусть задано число е ° О, Положим, что решение, проходящее через точку (й„х,), определено на интервале ~1 — (о)(й,(6. Для заданного е)0 примем 6 = ьл Предположим, что «хо — хо«(6.
Тогда, применив к решениям $(1, (о, х,) и 9(У, г„хо) неравенство (17), получим «ов (1~ (о хо) ов (1. го~ хо) «( и — „ьг"щ' — ьв == е. (22) поить По условию теоремы решение $ (1, 1„хо) определено на отрезке ~1 — 1,~()т. Решение $(1, г„хо) также определено на этом отрезке; в противном случае на интервале ((†(о~ (Ь нашлась бы некоторая точка 1т, в которой неравенство (22) не выполняется.
° Рассмотрим теперь непрерывную зависимость решения системы дифференциальных уравнений от параметров. Пусть имеется система уравнений д~'.= — А(г, ХЫ ° ° ., Х„, РЫ ..., Ро) (1=1, 2, ..., П). (23) Здесь (ры ..., р,) = 1о — вещественные параметры, а функции ~,(1, х, 1о) определены и непрерывны по совокупности переменных 1, хм ..., х„, р„..., р, в некоторой области б и+в+1- *1 Здесь х=й(ц тм хо) — вектор решения системы дифференцивльных урввнений; хо †вект начальных условий. оо> Понятие о норме векторв см, с. 95. мерного пространства и удовлетворяют условию Липшица по переменным хы ..., х„с постоянной 1,.
Пусть далее х= $ (1, и')— решение этой системы при значении параметров и=м', удовлетвоРЯюшее начальным УсловиЯм $(1„1ь') =геь и опРеДеЛЕНноЕ на отрезке !1 — 1ь! =-Й. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема 5. Пусть В(Г, 1л") — решение системы (23) при значении параметров и = р", удовлетворяющее начальным условиям: $ (Гь, 1л") =- гсь. Тогда для любого в ) О, существует такое 6 (е, й) ) О, что если справедливо неравенство !! и' — 1л" !! ( 6, то решение й(1, 1ь") определено на интервале !1 — 1, ! (6 и удовлетворяет неравенству !!в(1, р') — Ф(1, 1") !)(е (24) Доказательство.
Так как $(1, и') есть решение системы (23), то =— й(Г, $,(1,' 1ь'), ..., З„(1, 1л'), 1л') (ь'=1, 2, ..., и), или л~ — = П(1 В1(Е, 1л'), ..., Б„(г, 1ь'), 1л')+ +6 (1, Ь (1, 1'), ." В. (1, 1'), м")— — ~г (1, Ьг(У, 1л'), ..., 5„(1, м'), 1ь") (25) (1=1, 2, ..., и). В силу непрерывности функций ~; по 1ь, для любого е)О можно указать 6(е, Ь) ) О такое, что для и' и м", удовлетворяю- щих неравенству !!1ь' — 1л"!!(6, будет справедливо неравенство !Ь(1, Ь(1, 1'), ", Б.(1, 1'), 1')— — 7;(1, В,(1, и'), ..., В„(1, и'), р")!(е, (26) (1=1, 2, ..., и), где е, = „„. Перепишем тождества (25) с учетом неравенег.
ств (26): — ~~(1, 51(1, 1ь'), ", 6 (1, 1ь'), 1ь")~(еь (1 = 1, 2, ..., и). Из полученных неравенств следует, что $ (1, 1лц является е,- приближенным решением для системы (23) при значении пара- метра 1ь=1ь". Оценим норму !!$(1, и') — $(1, 1ь")!!. Используя неравенство (17) и учитывая„что начальные условия для обоих решений совпадают, получае„'~ !! $ (Ф, и') — $ (1, 1ь") !! == -'- (е" с о — ' > — 1) < е. ° Доказанные теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров имеют принципиальное значе- а н. Линейные диФФВРенцилльные уРлвнения 1.
Нормальная линейная систем» дифференциальных уравнений. Линейной системой дифференциальных уравнений называется такая система уравнений, в которую неизвестные функции и их производные могут входить только в первой степени. Нормальная линейная система дифференциальных уравнений имеет вид л ~)~ ам(У)х~+)ь(8) (1=1, 2, ..., и). (!) х.=-1 Введем в рассмотрение векторные функции 6 (1) ам (1) ... а,„(1) а„, (г)... а„„(г) и матрицу А (1) =- Тогда систему (1) можно переписать в векторной форме --.=А (г) х+ г(1). (2) Проверим, выполняются ли условия теоремы существования и единственности решения для системы (1). Положим, что ам(1) и )~(1) — непрерывные функции на интервале (а, Ь), Тогда правые части уравнений (1) будут непрерывны в бесконечной области 6, определяемой неравенствами а <1< Ь, — со <ха<со (/г=1, 2, ..., и).
Частные производные по ха от правых частей уравнений (1) Из непрерывности функций ам(1) следует, что )ам(г)~<)т', где А' — некоторое постоянное число, если 1 ее ~ам Ь,) с: (а, Ь). Бесконечная полоса 6 является выпуклой областью, поэтому ограниченность частных производных в этой области влечет за собой выполнение условий Липшица. Следовательно, теорема существования и единственности справедлива для линейной системы на любом отрезке (ао Ь11 с: (а, Ь1, где (а, Ь) — интервал, на котором функции ам(г) и )~(1) непрерывны, ние.
Параметры дифференпиальных уравнений систем автоматического регулирования (САР) задаются с некоторыми погрешностями. На основании доказанных выше теорем можно утверждать, что если погрешность в определении параметров дифференциальных уравнений САР незначительна, то решения этих уравнений с достаточной достоверностью описывают происходящие в САР процессы. 2. Общее решение линейной однородной системы. Система (1) называется однородной„если !г(г)=0 (г=1, 2, ..., и). Однородная система в векторной форме запишется в виде -„-„- =- А (!) х. (3) Изучим некоторые свойства решений линейной однородной системы, для чего рассмотрим следующую теорему.
Теорема 1. Совокупность 5 всех решений $(!)) системы (3) образует линейное пространство разлгерности п. Доказательство. Пусть вг(!) ен5 и $г(() еио'. Непосредственной подстановкой в систему (3) нетрудно убедиться, что сумма сДг(!)+сДг(1) также является решением системы (3), т.е. сДг(!)+санг(г) енЯ. Из определения линейного пространства (см. $5) следует, что совокупность решений 5 образует линейное пространство. Покажем, что в этом пространстве существует и и только и линейно независимых элементов, т. е. и линейно независимых решений $г(!), $г(!), ..., 5„(!). В качестве начальных условий возьмем векторы — единичные орты: $г (!г) = !1 0 0 ...
01 = е„ йг(!г) =10 1 0 ... 01 =ег, с„(У,) =-10 0 0 ... !1=о„. По теореме существования и единственности этим начальным условиям соответствуют и решений, определенных на интервале (а, Ь). Пусть эти решения будут Эг(!), ... $„(!). Покажем, что они линейно независимы, Допустим противное, т.е. что эти решения линейно зависимы. В этом случае существуют (см. 5 5) постоянные с„с, ..., с„, причем не все равные нулю, такие что сД,(1)+с4г (!)+...+сД„(!) =О для ! ев(а, Ь). л Введем обозначение: В(г) = ~', сДг(!); по доказанному выше г=.! й(г) енЯ. В точке (г имеем: сДг ((г)+сДг (!о) + ° ° ° +сДп ((о) =О, или с,ег+с,ег+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
