Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 23
Текст из файла (страница 23)
+с„е„= О, что невозможно в силу линейной независимости единичных ортов. Следовательно, рассматриваемые решения линейно независимы, Докажем теперь, что полученные и линейно независимых решений образуют базис линейного пространства о, т.е. любой элемент этого пространства $(!) представим в виде й (!) = сД, (!) + сД, (!) + ... + сД„ (!), причем постоянные сг, сг, ..., с„определяются однозначно. Пусть рассматриваемое решение $ (1) удовлетворяет начальному условию $(12)=х,. Вектор х, принадлежит арифметическому векторному пространству (см, $ 5), поэтому он разлагается единственным образом по векторам базиса этого пространства: Хп = С,Е, + С,Е, +... + СлЕ„. Рассмотрим решение $ (1) =СД1 (()+СД2(1)+...+СД„(г); здесь В (() ~ 5.
При ( = 12 в силу выбора постоянных с„с„..., с„й (гп) = = хп = $(12). Тогда из теоремы существования и единственности следует, что $(г)=$(~) при 12:-(а, о). Поэтому решение $(~) представляется единственным образом: в (г) =- С141 (г) + С242 (() +. "+ Слйл (~). ° (4) Таким. образом, мы показали, что любое решение системы (3) может быть записано в виде (4). Поэтому выражение (4) называется общим решением системы (3). Напишем зто решение в развернутом виде. Пусть ЬЮ Ь (() .зп (г) $ (г) $12 (г) $. (г)- $.
(~) 222( Г $ (г) =-- $„„(г) тогда общее решение системы (3) будет иметь вид 21 (1) =-С1211 (1) + Спь21 (1) +... +Сльп1 (() г 22(1) =-С1212(1)+С2222(1)+...-) Спзпп(Г), Х11 (1) Х12 (г) г -х.. (г) Хл, (1) Хм (Г) Х22 (Р) х, (~) =- Х1 (() = х„(г) = Х1 (1) Хлл (2) Х,л (Г) $п(1) =СД1л(1)+СД22(1)+" +Сп$пл(Г) Любая система из и линейно независимых реп1ений системы (3), образующая базис пространства Я, называется фундаментальной системой решений.
Отметим, что если имеется некоторая фундаментальная система решений $1 (1), ..., В„(~) однородной системы (3), то система решений $1(1), ..., В„((), которая образуется с помощью соотношения (-1(г)...~. (~)1=(,(г)...Ф. (~)~С, где С вЂ” некоторая певырожденная матрица, также является фундаментальной системой решений системы (3)г 3. Определитель Вронского.
Формула Лиувилля. Пусть имеется некоторая система из п векторных функций: Тогда определителем Вронского, или вронскианом, называется определитель, составленный из компонент этих векторных функций. Таким образом, определитель Вронского имеет вид Х11 (1) Х21 (1), Хл1 ( ) х12 (1) х„(1) ... хл, (1) Ю' (1) = (6) х1л (") х2 (1) х л (1) Рассмотрим некоторые свойства определителя Вронского, Теорема 2. Если системавекторных функций х1(1), ..., хл(1) линейно зависима, то определитель Вронского )Р'(1) = — О. Доказательство. Так как система функций линейно зави- сима, то существуют постоянные с„с„..., сл, причем не все РаВНЫЕ НУЛЮ, таКИЕ, Чта С,Х1(1)+С,Х,(1)+...+С„Хл(1) =О ДЛЯ любого 1ен (а, Ь).
Пусть, например, с1чьО, тогда х,= — с* х, (1)— с, — — '2 хл(1) —...— — чхл(1), т. е. первый столбец определителя К(1) С1 С1 является линейной комбинацией остальных столбцов. Из свой- ства 8 определителей (сл1. 5 2) следует, что такой определитель равен нулю. ° Теорема 3.
Пусть вектор-функции В1 (1), ..., 3„(1) представ ляют собой и решений системы (3). Тогда, если определитель Вронского Ю'(1) для этих решений обращается в ноль в какой- нибудь точке 12 ен [а, Ь], то (2'(1) тождественно равен нулю на всем отрезке [а, Ь~. Доказательство. Рассмотрим систему нз и алгебраических уравнений с и неизвестными ам а„..., а„: <хй1(12)+2242(12)+" +а4~(12) =О. (7) Это линейная однородная система уравнений, причем по условию теоремы определитель системы К(12)=О. Из теоремы 4 3 4 следует, что в этом случае система (7) имеет, по крайней мере, одно нетривиальное решение Ф л ъ= 1 .= 1 .....=,",(т.( Л', 2) 1=в Рассмотрим решение однородной системы (3): й (1) = а1$1 (1) + а2В2 Я+... + иЩ„(1).
Это решение при 1=12 в соответствии с (7) обращается в ноль, т. е. $ (12) = О, а поэтому благодаря единственности решения системы (3) получим в(1) = — О, или еФ(()+аВ2(1)+...+аул(1) =О, ь!! (у) Ы! й " Ы! (у) 212 (~) 222 ( ! ' ° ° Ьл2 (~! ~-(Уй1((). ", $.(~))= Ь1и ( ) 22и (~) ° ° ° Елл ( ) з (т) е (г) " з. (() З12 (У) Б (У) " . Еи (() $11 (у) 221 (О ' ' ьл! (~) $ (т) Ь (У)" Зие(О 21и ( ) 22л (~) ' ' ' ьлл ( ! Ь!л (() Веи (У) ". Вил (У) Так как Ц1(!), 52(() ..., $„(0 — решения системы (3), то справедливы равенства: п л ь!! (У) ~б а1!Р1! (О $21 (~) = У! а1!22! (У) ! — ! 1=! л л а.= Х .~и(у). "., Ы Ю = Х .а.
((). *' Бр — начальные буквы немецкого 22!овв 23рцс2-22!ед. 'г. е. решения $1(!), $2(!), ..., $„(!) системы уравнений (3) ли- нейно зависимы. Из предыдущей теоремы следует, что при этом йг(~) =О. ° РассмотРим вектоР-фУнкции х1=!ь ] и хе=~ л!. ОпРеделитель ) О) Ь23. Вронского для этих функций !г 0 )р'(х1, х,) =~ =22. ~о( При 1=0 2Р'(0) =О, но Ю'(1) ~0. Отсюда следует, что данные вектор-функции х1(~) н хе(!) не могут быть решениями системы уравнений вида (3) с непрерывными коэффициентами, определен- ными на интервале, содержащем точку 1=0.
Значение определителя Вронского в произвольной точке можно вычислить с помощью рассмотренной ниже зависимости, называемой формулой Лиувилля, теорема 4. пусть $1 (!), $2 (!), ..., $„(0 — н решений системы (3), Тогда между значениями определшлеля Вронского Цг (() в точках г, и ( существует следующая зависимастьс ) ЗР Л(2)бс (р' (!) = яг (у,) е' л еде Бр А (1) = а„(У) + а22 (0+... + а„„(У) =- ~ аи (!) 1= ! — след матрицы А(!) и!. Формула (8) носит название формулы Лиувилля. Доказательство. Применим правило дифференцирования определителей (см.
равенство (9) 5 3): Таким' образом, ~ч~ а1Д1! ((),5, а,Д2, (() ... ~, а1Д„, (!) 1=- ! 1=1 ! =- ! 212 (~) 222 (~) ° Ьпй (л) да!' (!) !!! байи (~) ° лип( ) 221(() ''' ьл1() 21л (С) п п )~ ~айД2!(() ... ~ айД 1Р) ййп (() Ьйи ( ) Ьлл (~) 211 Ц) Ьй! ( ) ' ' Ьл! (~) $12 (О 2222 (() ° ° йлли (~) Учитывая, что определитель с пропорциональными строками равен нулю, имеем а11ь11 а!1221 (~) а11$~! (() 2212 Р) 2222 (~) ° ° ° илий (~) 51„(1) Ь„ (() $лл ( ) К!1(~) $21(() " $.~И) а2Д12 (!) алый (1) " айД.2 (1) + + Ьп(~) $22(() ." 5лп(~) 5П(() $21Р) " $.1(() 512(() $22(~) " $ (О а~~51~ (~) а~пЬйп (() алипии ( ) Вынесем обший множитель всех элементов строки за знак определителя: л! — (аы+айй+...+апп) )г (!)=Яр„4(() )р(() (9) Разделяя переменные в равенстве (9) и интегрируя, получим искомую зависимость ( ЗР Л <2! 21 )Р (~) = В' ((2) еь . ° 511 (О и а,Ди (1) '~ а„йа(1),У, а„Дм(() ...,'), апДп,(1) 4.
Линейная неоднородная система. Метод вариации произвольных постоянных. Рассмотрим линейную неоднородную систему уравнений (2) — „х =- А (1) х+~((); соответствующая ей однородная система (3) ах — - = А (1) х. а! Пусть х=оР(1) н х=-4>(1) — два решения системы (2), Тогда разность И) =ф(1) — р(1) представляет собой решение однородной системы (3). Действительно, ии~ е~м ве(0 А „(1)+ р. А ( = А (1) И (1) — ор (!)1 = А (!) $ ((). Если х=й(1) — решение однородной системы (3), а х=ор(1)— решение системы (2), то х == $ (!)+ ор (1) — представляет собой решение системы (2). В самом деле, ох ВВ (!1 йр 1!) в! = л! + ш = '4 (Г) Ф (Г)+'4 (1) оР (1)+У(1) = = А (() В (()+ ор (1)1+УЙ = А (1) х+У(() Способ определения общего решения линейной системы (2) устанавливает следующая теорема, Теорема 5.
Общее решение системы (2) имеет вид л х(1) = ~ с,й,(()+!р(1), (Рд) !=- ! еде с! — произвольные постоянные; 5! (!) (! =1, 2, ..., п) — фундаментальная сиопема решений системы (3); ор (г) — произвольное решение сиса!еми (2). Доказательство. Зададим произвольные начальные условия хоо х(Ц) =х,=- (11) Хоо Как показано вы!пе, функция х(!), определяемая формулой (10), является решением системы (2).
Покажем, что можно так подобрать постоянные сь чтобы это решение удовлетворяло начальным условиям (11), Запишем решение (10) по компонентам прн (=то: о хоо==' ~„'сй!о(1о)+Чъо(1о) (й=-1, 2, ..., и). о=.! х (1) = ~ с! эь! («) + «р (!) «==1 (13) удовлетворяет начальным условиям (11) и в силу теоремы единственности других решений с теми же начальными условиями быть не может. ° Таким образом, если известна фундаментальная система решений однородной системы уравнений (3), то нахождение общего решения системь! уравнений (2) сводится к нахождению какого- либо частного решения этой системы, Частное решение системы (2) может быть найдено я«вл«одоз« вариации произвольных пос«поянных, Рассмотрим этот метод. Пусть ь«(!), ь«(!), ..., в„(!) — фундаментальная система решений системы (3).
Частное решение неоднородной системы (2) будем искать в виде х =- р (1) =- ~, с, (!) ~, (!), ! =.= ! (14) полагая, что с, являются пе постоянными, а некоторыми функ- циями г. Подставим решение (!4) в систему (2): л я и 'У', с! (1) $! !!) + ~ ', с! (!) Щ (1) = А (!) ~~~', с, (!) ~! (Г) +~ (!), (1 5) «= ! «=! ! =- ! Так как вектор-функции й«(1) являются решениями однородной системы (3), то а л ч с«!1) $! (1) = ~ с«(1) А(!)$«(!) = А (!) ~~ с«(!) 4«(!), «=1 !=! !=- ! поэтому тождество (15) можно переписать в виде п '~', с,' в! (С) =~(У), (1б) «=! Если хяв=фя(1,), то в силу теоремы единственности х(1) — «р(1), т. е.
решение, удовлетворяющее начальным условиям (1!), получается из (10) при с,=О (! =1, 2, ..., и). Пусть теперь хя« ~ ф„(1,). Для определения постоянных с, («=1, 2, ..., и) в этом случае имеем алгебраическую систему линейных уравнений ~~',сйя(1о)=хяо — фя(1о) ()1=1, 2, ..., п). (12) «=! Определитель этой системы уравнений есть определитель Вронского Я7(1,). Так как система решений й«(1) (!'=1, 2, ..., л) фундаментальная, то определитель Вронского !Р'(1,) ФО. Следовательно, система уравнений (12) имеет единственное решение, обозначим его с) («=1, 2, ..., п). Решение (18) В соответствии с формулой (10) общее решение неоднородной системы (2) будет ~(1) = Х Д; (1)+Х Ь (1) ) Ф (1) (1.
5. Формула Коши. При помощи формулы Коши можно выразить решение линейной неоднородной системы дифференциальных уравнений через некоторую фундаментальную систему решений соответствующей однородной линейной системы. Рассмотрим неоднородную линейную систему дифференциальных уравнений (2), записанную в векторном виде — = А (1) А'+~(1). Соответствующая ей однородная линейная система имеет вид (3): их сЫ -- =- А (1) х.
Пусть $, (1), ..., в„(1) — фундаментальная система решений системы уравнений (3). Образуем матрицу Х, (1), столбцы которой являются этими решениями 5м (1) $м (1) ° . ° $ю (1) Х (1) ь12 (1) ь22 ( ) ' $п2 (1) ьы (1) ьйп (1) балл (') Определитель матрицы Х,(1) представляет собой определитель Вронского. Он отличен от нуля для всех 1 ~ [а, Ь). Следовательно, существует обратная матрица Х; ' (1) при каждом 1ен(а, Ь1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
