Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 16
Текст из файла (страница 16)
е. (х, х) =О, а это может быть только в том случае, если х=-О. И м Знак Ь означаю ор!о!о!!ал! воо!о оокгоров, Система векторов х„х„..., х„унитарного пространства 1г„ называется ортогональной, если каждая пара векторов этой системы является ортогональной, т. е. (х„х,)=0 при сФ) (1, 1=1, 2, ..., и) (10) Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если длина каждого вектора системы равна единице, т. е.
(хс, х.)=6!.*! (с, /=1, 2, ..., п) (11) бу= )'1 при с=/, 10 при ! ~1. Теорема 1. Всякая ортогональн я система ненулевых векторов является линейно независимой, Доказательство. Пусть х„х„..., х„ортогональная система ненулевых векторов. Рассмотрим равенство (12) асхс+ аихи+... + ылхл = О.
Составим скалярное произведение (О, х,); так как нулевой век- тор ортогонален с любым вектором, то получим л л (О, х!) =~ ~", а,х„х!)=,'~', а,(х„х!)=а,(хи х!)=О. (13) ! 1 с=! По условию хс~О, поэтому (х„х!)ФО. Из выражения (13) следует, что а!=-О, т. е. равенство (12) возможно лишь в случае, когда все коэффициенты ой=О. Из определения линейной независимости векторов следует, что в этом случае все векторы системы линейно-независимы. ° Базис унитарного пространства $г„называется ортогональным, если он образует ортогональную систему векторов. Если базис образует ортонормированную систему векторов, то он называется ортонормированным.
Теорема 2. Во всяком п-мерном унсапарном пространен!ве существует, по крайней мере, один ортонормированный базис. Доказательство. Пусть а„а„..., а„— какой-нибудь базис унитарного п-мерного пространства. Преобразуем этот базис в ортонормированную систему векторов следуюшим образом. Положим х,=-а„затем положим х,==а,+Хх„где )— любое число. Вектор х, не может быть нулевым вектором, так как в этом случае равенство а,+Хх,=О может быть справедливо и при ) ~0, что невозможно, так как векторы а, и а, линейно независимы. Подберем число ) так, чтобы было х,) х,. Это всегда возможно; действительно, записывая условие ортогональности векторов, получим (а,+)х„х,)=(ам х!)+) (хс, х,)=0; но "' бс! — сиииол Кроискксри.
(хм хт))0 и, следовательно, при 1=в (а,, х> (х„х1) (х„х,) =О, т. е, вектор х, ортогонален вектору х,. Далее строим векторы аз+)"тх1+ 1'ах2 (14) =[ то их скалярное произведение имеет вид я (х у)= Х Ир / ! (18) ху = а~ +(х,х, + (х,х,+ ...+(х~,х,, (16) Каковы бы ни были коэффициенты иы им ..., (х Ц = 2, ..., и), вектор хр полученный по формуле (16), не равен нулю. В самом деле, предположим противное, т. е. пусть х( = а;+ р1х1 + .+(х,х,+...+(х~ тхрт=О, тогда, выражая векторы х„х„..., хр, через векторы а,, ае, ..., а~ „согласно равенству (16) получим и.+атат+а,а,+...+ау 1а 1 — — 'О (здесь ал — некоторые комбинацйи коэффициентов рт), Но коэффициент при а~ в последней сумме не равен нулю. Получается, что система векторов а„ а„..., ат линейно зависима, чего не может быть, так как эта система векторов в силу условия теоремы является подсистемой из векторов базиса.
Следовательно, х~~О. Покажем, что коэффициенты (л„и„..., рт, можно подобрать таким образом, чтобы вектор хт стал ортогонален всем предыдУщим вектоРам Хы Х„..., ху ь ПУсть х,— один из этих векторов. Рассмотрим скалярное произведение (хэ х,). Подставляя значение хт и учитывая ортогональность векторов х„х„..., хт „ получим (хп х,) =(а(+р,х,+...+(х,х,+...+ит,х( и х,) = =(ат х~)+Рт(хм х~)+ ° ° ° +(х~(хл~ те)+ ° +р~-1(х(-ы хэ) = =(ар х,)+р,(х„хл)=0. (17) Но (х„х,) ) О, поэтому р,,=.— (ат, хэ)/(х„х,). Таким образом, при соответствующем выборе коэффициентов в равенстве (16) можно получить ортогональную систему векторов х„х„..., х„, Р Л Т р , Ю = 1, 2, ....
) ЛЙ М, ~ у. чим ортонормированную систему векторов е, = — ' (1 = 1, 2,..., и), По теореме 1 все эти векторы линейно независимы, т. е, образуют ортонормированный базис пространства (л. И Теорема 3. Если е,, е„... е„— ортонормирсванный базис унитарного пространства 1'„и произвольнь~е векторы х и у этого Ь пространства имеют при этом базисе координаты х = тп ьл Доказательство. Используя свойство 4 скалярного произведения и определение ортонормированного базиса, имеем л л л л л (х, У) =~ ~ $!Е1, ~", т))е))= ~ 'У', $!т)) (еь е,) = ~; 'йзт),. В (19) .зз=! )=! !.=-! у=! /=! Пример !. Векторы а„аз, аз базиса пространства )гз выражаются через ортонормированный базис е„е„ез следующим образом: а,=2е,— е,+е„ а,=е,+ез, аз=е,— е,+2ез.
Найти другой ортопормированный базис пространства. Введем в рассмотрение векторы-столбцы иэ координат векторов аг, аз, аз в базисе е,. ем ез! а,= — 1, а,= О, а,= †1 . 21 Примем х,=аз= — 11, хе=аз+ах!, при этом коэффициент Х найдем из 1 условия ортоговальнссти векторов х, и х,: Х= — ' = — —, тогда (а,, х!) 1 (х„х,) 2 ' 1 2 О 1 — 1 2 О хе= 2 ! 1 2 Положим хз=аз+Хгхг+)лхз, тогда из условия хз ) х„хз 1. х, найдем (аз х!) 5 (аз хз) Ът= — — '= — —, !е= — ' = — — 1, откуда (хз, хз) 6 ' (х,„хД 2 3 О хз — — — 1 — — — — 1 — 1 2 2 2 3 2 3 После нормирования векторов х! и х, получим ортонормированный базис О 1 "гг2 1 1 2 3.
Норма матрицы. Экспоненциальная матрица. Длина вектора х, заданного в некотором ортонормированном базисе е„ вз, ..., е„, называется нормой вектора, Эта норма равна ~х~=3~(х, х)= 1/ ~'„хУ 1 1 ! (20) 2 1' 6 1 6 )г- ' 3 1 'г' 6 ~'з 1 "г' 3 1 )/3 и называется евклидовой нормой вектора. В ряде случаев применяют еще норму вектора вида л '1 х), = ~„'~ х! ~. (21) Понятие нормы вектора обобщается для матриц. Нормой матрицы А размера тхп называется сумма модулей ее элементов: т л 1А1= ~'„~, )а!/(. !=-! 1=! (22) Норма матрицы обладает следующими свойствами. 1.
Числовой множитель с можно выносить за знак нормы, т. е. !) сА 1= ( с )1 А (1 (23) 2, Норма суммы матриц не больше суммы норм этих матриц, т. е. '1А+ В)-=.1А1+1В(. (24) 1АВ~!» ),'А Ц В)!. (25) Докажем, например, справедливость последнего свойства нормы матрицы. Пусть матрицы А и В имеют размер соответственно т,хп, н т,хп, (п,=-т,), тогда ки п„1 т=-~~ т~ п~ м==т1 !!АЩ~ ~,', '5', ~', амЬ„/~==,5;;~'„~ ~а!ь ~ ( Ьь/~ = !=! /=1 Ф=.! !=-! !=-! ь=! /ч = г, (т 1~.! г, 1ь„~). Й= — 1 !=! /=- ! Сумма произведений положительных чисел меньше нлн равна произведению сумм этих чисел, т.
е. при аь)0, Ь„)0 ~а,Ь„( Уаь~Ьы поэтому т=т, / лч /ч !АВ! т, (~, '1, ! ~'1Ью1)~ ь=.! !=-! /=! л, т„ т, /ч ( ~ ~ ) а!ь ( ~ ~~~ ! Ьь/~=1А11В)!. И в=О /= ! ь=! != — ! Рассмотрим функциональную матрицу А (/), тогда для нормы интеграла от матрицы А (/) имеем следующее свойство. 3. Норма произведения матриц не больше произведения норм этих матриц, т.
е. 4. Норма интеграла от функциональной матрицы не больше интеграла от нормы втой мал!рицы, т. е. !!А«1Ф~~!/А а!!«« (26) Действительно, ! ь ы а !Ь ь ~А (!) й7~= ~';,У,' 1) а!7(!) йг'1'» ~ '~~ ~!а, (!) !с(! б «=! 1=! а 1=!/=1а » '' ь' =1 Х Х ~1а«7(!) ~й! =$~А(0)!йй И а!=1/=1 Понятие нормы матрицы дает возможность рассмотреть матричные ряды, Суммой ряда В=.У', А» (27) »-е называется такая матрица, элементы которой являются суммами рядов, составленных из соответствующих элементов матриц А». Определим экспоненциальную матрицу е" для данной квадратной матрицы размера ахи как сумму ряда А Ав чз А» ел=Е+ — + — +...
И . 9! "' л~!»! (28) 1=-Е »=О1 Е См., например: Ф ах ген голь н Г. М. Основы математического анализа, т. П., «Наука», !968, с. 74. 4 н. а. чеааденава, т. 1 97 Ряд (28) сходится, так как из равенства (25) следует, что )А»)!»))А!)» для всех А==О и каждый из и' рядов, составленных из соответствующих элементов матриц А», мажорируется рядом с общим членом —,, и согласно признаку Вейерштрасса а! ! А !" чз а!7 ряды ~ —,(!', )=!, 2, ..., и) сходятся. Для экспоненциальных »=о матриц справедливо соотношение е'ен =е'+и, (29) где А н В квадратные матрицы размера пхп, причем эти мат- рицы коммутативны относительно операции умножения, т. е, АВ=ВА. В самом деле, Выполнив замену переменной суммирования 1=т — к, получим СО СО О т е" ев = У т Э т. ~1 АьВт ь ът 1 у т1АеВт ь ~ы й! (т — й)1 аьи т),аы й! (т — й)1 т-за=о т=-о а=о (А+В)т л+в т) т=о При выводе этой формулы мы воспользовались формулой бинома Ньютона, которая, как нетрудно убедиться, справедлива для матриц, коммутативиых относительно операции умножения.
Рассмотрим экспоненциальную матрицу е"', где 1 — некоторое действительное переменное. Для производной экспоненциальной матрицы справедлива формула — (е"') = Ае"' = емА. г) г(1 (30) В самом деле, имеем г( ° 1 ° 1 — (е"') = 11ш — — (е'1! ь а'1 — е"') = Иш — е"' (е" '-' — Е) = ы о а! ы о а! лгА атель =е"' !)ш — (Е+ — + —,+... — Е) = емА. ог (, 1! 2! По аналогии с обычным понятием логарифма введем понятие логарифма от матрицы.
Матрица В называется натуральныч логарифмом матрицы А, если справедливо равенство ее=А, т. е, В=!пА, если ен =А. (31) 4. Неравенство Коши — Буняковского. Найдем соотношение между скалярными произведениями векторов х и у. Теорема 4.
Какова бы ни была пара векторов х и у и-мер- ного унитарного пространства У„, всегда справедливо неравенство ! (х, 3!) !а =- ( ~, х) (у, у), (32) причем, знак равенства имеет меси!о тогда и только тогда, когда векторы х и у пропорциональны *' или один из них нулевой. Неравенство (32) носит название неравенства Коши — Буня- ковского. Доказательство. Если вектор у=О, то рассматриваемое неравенство очевидно. Положим у чь О. Рассмотрим скалярный квадрат (х — Лу, х — Лу)=-0, где Л— произвольное комплексное число. Раскрывая скалярное произ- ведение, на основании аксиом (2), (3), (4) и свойств 3, 4 ска- лярного произведения получим (х — Лу, х — Лу) =(х, х) — Л(х, у) — ),(у, х)+ЛЛ(у, у) = = (х, х) — Л (х, У) — Л (, у) + ЛЛ (у, у) - О.
(33) Два вектора называкпсн пропорциональными (коллиисарными), если один из ник выражаетсн через другой с помощью улщоженнн его на некоторое число. Так как последнее неравенство справедливо для любого Л, то, в частности, оно справедливо при Л= (»' . Подставляя это (у, у) ' значение Л в неравенство (ЗЗ), будем иметь ) (х у)(х, у) (х, у)(х. у) ! (х, у)(х, у)(у, у) ~0 (34) (у у) (з у) (у з)(у у) откуда (39) поэтому !!х+А' ~ !! х Р + 2 $! х !! !!у !!+ 0у !!' =- ( П х !!+ !у !!)'. (41) Извлекая корень из обеих частей последнего равенства, убеждаемся в справедливости соотношения (36). ° Введем еще одно определение. Расстоянием между двумя векторами х иу унитарного пространства называется число р (х, у) = = !!х — у~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
