Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(26) Из равенства (26) следует, что характеристический многочлен матрицы А равен характеристическому многочлену подобной ей матрицы В. И Рассмотрим линейное преобразование пространства 27, задаваемое в базисе п„п„..., в„матрнцей А. Найдем собственные векторы н соответствующие им собственные числа для этого преобразования. Пусть у= — образ некоторого вектора х = в этом базисе. Согласно выражению (10) для координат вектора образа через координаты прообраза и определению собственного вектора получим ЛЗ1 а,1 а„... а12 Л22 А 22 п21 !122 ° ° п2 22 (27) Ль, Ц 1 П22 ° ° а~~ Это векторное равенство эквивалентно системе линейных уравнений а~Д, + п„~~ +...
+ а~Я„= Ц„ а2 Ь+ а Ь+ ".+ а2.$. =- ~42, (28) а И+а. И+" +а-й.=-М нлн (а11 — Л) ~1+ а!а+... + а142 = О, ай!+ (а22 — Л) 52+... + а2Д„= О, (29) а„Д1+а„252+...+(а„„вЂ” Л) $„=0, т. е. имеем систему и линейных однородных уравнений с и неизвестными ~„$„..., $„, Главный определитель этой системы Е>- ~ А — ЛЕ! — характеристический многочлен матрицы, задающей линейное преобразование. Собственный вектор не является нулевым, поэтому по крайней мере одна из его координат не равна нулю, следовательно, если для собственного числа Л существует собственный вектор, то однородная система (29) должна иметь нетривиальное решение. Это может быть только тогда, когда главный определитель системы равен нулю.
Следовательно, собственное значение собственного вектора линейного преобразования совпадает с корнем характеристического многочлена матрицы, задающей линейное преобразование, Из теоремы 2 следует, что собственные числа для одного н того же линейного преобразования, задаваемого в любом базисе, одинаковы и совпадают с характеристическими числами матрицы, задающей линейное преобразование. 76 Решая систему уравнений (29), если известно Л, можно найти значения координат собственного вектора К, 5ьэ ..., $„в базисе, для которого л1атрица А задает линейное преобразование, Главный определитель этой системы равен нулю, поэтому собственный вектор определяется не однозначно, а с точностью до постоянного множителя, Координаты собственного вектора ~~ в базисе е„е„..., е, можно вычислить, вбспользовавшись равенствами (29), подставляя в них собственное значение Л, этого вектора ~.
(1=1, 2, ... ...„ и), т. е. (ам+ Л;) $п+атД~+...+а,Ды=О, а, Дз + (а„— Ц) 3п +... + а,„$м =- О, (30) а„Дп+а„Дп+...+(а„„вЂ” Л~)$ы =О. Из изложенного следует, что всякую квадратную матрицу, у которой каждому собственному значению соответствует столько линейно независимых векторов, какова кратность этого собственного значения, можно привести к диагональному виду. 3. Приведение матриц к диагональному виду. Квадратная матрица называется диагональной, если по ее главной диагонали расположены элементы Л„Л„..., Л„, а все остальные элементы— нули, Диагональная матрица обозначается так: = ай [Л1 Ль... Л„). (31) Нетрудно видеть, что произведение двух диагональных матриц есть также диагональная матрица, т.
е. й(ая[Лт Ль ... Л„|йаи[у, у,... у„1=йая[Л,у, Льуь ... Л„у„), (32) Из выражения (31) также следует, что произведение диагональных матриц коммутативно. Выясним, при каком базисе матрица линейного преобразования имеет диагональный вид. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, Теорема 3. Для того чтобы линейное преобразован е пространства задавалось при некотором базисе матрицей диагонального вида, необходимо и достаточно, чтобы базис состоял из собственных векторов этого линейного преобразованию Доказательство, РассмотРим некотоРый базис Ум гм ... из собственных векторов линейного преобразования Векторы базиса можно записать в виде У,=О У,+...+О У,,+1.Д+О ~...+...+О.У„ (1 = 1, 2, ..., и).
77 Иначе, в базисе у вектор ~. может быть записан через коорди- наты следующим образом: 0 1 (-строка. 0 Согласно определению собственного вектора имеем 0 0 Лг 1-строка (1=1, 2, ..., и). 0 (ЗЗ) Здесь А — матрица линейного преобразования, заданного в базисе)., Объединяя все п уравнений (33), получаем матричное равенство 1 0 ... 0 0 ... О 0 1 ... 0 0 Л, ... 0 0 0 0 1 0 0 Л, 1-строка, (35) 0 А~я= б)ая[Лг Лч... Л,,1 0 0 0 ... 1 О 0 ... Л„ Равенство (34) устанавливает, что если линейное преобразование задано в базисе, составленном из собственных векторов этого преобразования некоторой матрицей, то эта матрица имеет диагональный вид, причем ее диагональные элементы есть собственные значения, принадлежащие векторам базиса.
Достаточность условий теоремы доказана. Докажем необходимость этих условий. Пусть в некотором базисе ~ь Д, ..., 1'„ линейное преобразование задается диаго- нальной матрицей, тогда т. е. АД =- Щ. Полученяое равенство показывает, что в рассматриваемом случае базис состоит из собственных векторов, И Докажем две вспомогательные теоремы, устанавливающие условия, при которых матрица линейного преобразования о б приводится к диагональному виду.
Теорема 4. Если х1, х„ ..., х„ — система собственных векторов линейного преобразования пространства У„, принидлежаи1их к различным собственным значениям, то вта система векторов линейно независима. Доказательство. Рассмотрим условие линейной незави- симости а1х1 + а2х2 + °, + алхи — О, (36) Применим к обеим частям равенства (36) линейное преобразование оК, Тогда получим а1(а КХ1)+а2(а КХ2)+...+а„(а Кх„) =О. Из определения собственного вектора найдем, что а, (Л,х,)+а,(Л2Х2)+...+а, (Л,х„) = О, (37) (38) или Л1 (а1х1)+Л2(а2Х2)+...+Л„(а„х„) =О, К равенству (37) опять применим это же линейное преобразо- вание, тогда получим Л1 (а,х,) + Л2 (а2х,) -1-... -)- Л'„(а„х„) = О, (39) Осуществив подобные преобразования п — 1 раз, получим систему линейных уравнений а1Х1+ х2Х2+...+а„Х„= О, Л1 (а,х)+Л,(а2Х2)+...+Л„(а„х„) =О, (40) Л1 ' (адх1)+Л2" ' (а2х,)+...+Л„" ' (а„х„) = О, или в матричной форме 1 1 ...1 ах, О Л1 Л2 ...
Л, а,х, О (41) Л1 Л2 ... Л„" а„х„О Определитель матрицы-множимого в равенстве (41) есть определитель Вандермовда; он равен (см. $ 2, пример 7) О=Ц (Л, — Л,). 1>У (42) Определитель В не обращается в ноль, так как по условию теоремы все собственные числа различны. Так как определитель матрицы не равен нулю, то для нее существует обратная матрица; поэтому, умножая равенство (40) слева на эту обратную матрицу, получим а,х, О ,хь О (43) алхп или а~х~=О (1=1, 2, ..., и). Но так как, по предположению, х~ — собственные векторы, то х,~О, значит, а~ = 0 (1= 1, 2, ..., и), т. е.
рассматриваемая система векторов линейно независима, И Из этой теоремы следует, что если все характеристические числа линейного преобразования пространства к'„различны, то для него существуег базис из собственных векторов. Линейное преобразование в этом базисе задается матрицей диагонального вида (см.
теорему 3). Заметим, что часто рассматривают линейные пространства с векторами, координаты которых представляют собой действительные числа. Такие линейные пространства называются действительными, Но корни характеристического многочлена в общем случае могут быть и комплексными, Для дейстительного пространства комплексные корни характеристического уравнения не могут быть собственными числами. Для того чтобы в действительном линейном пространстве существовал базис из собственных векторов, необходимо, чтобы все характеристические числа линейного преобразования этого пространства были действительны.
Теорема 5. Если Ль Л„..., Л,— различные собственные значения линейного преобразования с кратностями соответственно )г,, 'к„..., й„где й,+йь+...+к,=п, то для суи1ествования базиса линейного пространства 1г„из собственных векторов необходимо и достаточно, чтобы каждому собственному значению соответствовало столько линейно независимых веюпоров, какова его кратность. Доказательство.
Рассмотрим собственное значение Л,(1 =. = 1, 2, ..., з) линейного преобразования. Пусть ему соответствует максимальное число линейно независимых собственных векторов хп, хн, ..., хи, (1=1, 2, ..., з), равное 1ь Покажем, что в этом случае векторы хим ' ххм г хм линейно независимы. 80 Запишем условие линейной независимости векторов: аггх11+...+агг,.с11 +...+ алгхлг+...+ алг,хлг, = О. (44) Введем обозначение Уг=аггхгг+аггх12+...+сгпгхя, (1'=1, 2, ..., з), (45) Из равенства (43) получим У,+У,+...+У,=О. (46) Каждый из векторов у, является или нулевым, или собственным вектором, принадлежащим собственному значению Х,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
