Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 10
Текст из файла (страница 10)
если аяЧ и Ьыу, а ).— произвольное число, то и а+Ь ен Ът, Лаен Ъ'*> и для названных выше операций сложения и умножения справедливы следующие свойства: 1. Сложение векторов коммутативно, т. е. а+Ь=Ь+а. (1) 2. Сложение векторов ассоциативно, т. е. (а+Ь)+с=а+(Ь+с). 3. Существует хотя бы один элемент х такой, что а+х=а. (3) Такой элемент х называется нулевым и обозначается О. 4. Для всякого элемента а существует хотя бы один элемент у такой, чпю (4) а+у =О. Элемент у называется элементом, обратным элементу а, и обозначается — и. б.
Для произвольного "числа а и векторов а и Ь справедливо равенство а(а+Ь) =-аа+аЬ. (5) б. Для произвольных чисел а и Р и вектора а справедливо равенство (ар) а = а фа) = р (аа). (6) 7. Если а и р — произвольные числа, а — вектор, то выполняется равенство (а+ )3) а = аа+(1а. (7) *' Осовначенне а т у означает, что вяемент а нрннадяежнт множеству у. 8. Умножение единицы. на векпюр а не изменяет этот вектор, т. е.
1 а=а. 8 (1 Элементы линейного пространства называются векторами. Например, множество одностолбцовых и однострочных матриц- векторов (30) и (31) 5 1 удовлетворяет всем восьми свойствам линейного пространства и поэтому составляет линейное пространство. Элементы линейного векторного пространства могут быть любой природы, достаточно лишь, чтобы они удовлетворяли всем свойствам линейного пространства. Частный случай линейного пространства с одностолбцовыми (однострочными) элементами— матрицами-векторами — называется арифметическим векторным пространством. 2.
Линейно независимые векторы. Размерность линейного пространства. Рассмотрим линейное пространство У. Выберем в этом пространстве систему векторов Хы Хю "° ~ хьь (9) Назовем систему векторов (9) линейно зависимой, если существуют такие числа а„ а„ ..., а , из которых хотя бы одно отлично от нуля, и справедливо равенство а,х,+а,х,+...+а х =О. (10) Если же равенство (10) справедливо только тогда, когда все а,=О Ц=1, 2, ..., т), то система векторов (9) называется линейно независимой, Любая система, содержащая нулевой вектор, является линейно зависимой системой. Действительно, полагая в этом случае х„=О и выбирая ах=О (/= 1, 2,..., т — 1), а а чьО, получим 0 х,+О.хз+...+О х„,+а .0=0, т.
е. система векторов линейно зависима. Пример 1. Показать, что система векторов О, 1 и О линейно независима. Действительно, рассмотрим равенство а, О +аз 1 +ссз О =О= О . Умножая числа а,, ая и аз на соответствующие векторы-столбцы и производя сложение матриц, найдем [о[ Из опрсделеяия равенства матриц получим а,=о, аз=о, ив=о, т. е.
рассматриваемая система векторов линейно независима. Пример 2. Показать, что система векторов [в~ [2[ [\1 линейно зависима. Для того чтобы убедиться в атом, рассмотрим равенство свв 3 +ое 2 +ив 1 =О= О, или Зав+2ав+ое — — О . Это равенство выполняется при а,= — 1, а =2, ае= — 1 т. е. система векторов линейво зависима.
Рассмотрим свойства линейно независимых векторов. Теорема 1. Если некоторая система векторов х„хв, ..., х„ пространства )г линейно независима, то всякая ее подсистема также линейно независима. Доказательство. Возьмем некоторую подсистему векторов х,, хм ...,х„. Предположим, что она линейно зависима. Тогда справедливо равенство а,х, +сввхв+ ...+ах„=О, где по крайней мере одно число ат не равно нулю. Дополним это равенство суммой гвроизведений остальных векторов системы на нули: атхт+ авхв+... + а,х, + Ох„т+...
+ Ох„= О. Из последнего равенства следует, что исходная система из п векторов линейно зависима, тогда как по условию теоремы зта система линейно независима. Полученное противоречие доказывает справедливость теоремы, ° Назовем вектор у линейной комбинацией векторов х„ х„ ... ..., хьо если его можно представить в виде у=ятхт+квхв+...+я х, (11) где ку (1=1, 2, ..., т) — некоторые числа. Теорема 2. Если система векторов х„х„..., х„линейно зависима, то по меньшей мере один из ее векторов выражается через остальные.
Обратно, если некоторый вектор системы линейно вырахсается через оспшльные, то такая система линейно зависима. Доказательство. Из определения линейной зависимости следует, что существует равенство„в котором хотя бы одно число а, не равняется нулю: атхв+ ссвхз+... + а„х„= О.
(12) Тогда, разделив это равенство на а, и вводя обозначение — — =-Аи получим Кв Яв Хт = йькт + ЯвХз+ -. + Ят-тХУ и + йывХмм +. "+ йьХп. (13) что доказывает первую половину утверждения теоремы. Рассмотрим теперь равенство х ="тхт+Изхз+ "+й -тх -1. Прибавляя теперь к правой и левой частям этого вектор — х„, получим ятхт+ яехз+...
+ й„тх„т — х„= О, (14) равенства где й„= — 1. Из определения линейной зависимости векторов следует, что полученная система векторов линейно зависима. И Теорема 3. Пусть даны две системы векторов х„х„..., х„, (16) Ут> У2» ' У». (17) Если каждый вектор системы (16) линейно выражается через вектор системы (17) и п)72, то система (16) линейно зависима.
Теорему примем без доказательства *'. 3. Базис лине4«ного пространства. Пусть имеем систему векторов Х1 Хе ° . > Хл. (18) Базисом (базой) системы векторов (18) называется такая линейно независимая ее подсистема, через которую линейно выражаются все указанные векторы. Так, например, базисом в трехмерном арифметическом векторном пространстве могут быть три вектора: О еа= О 1 Рангом системы векторов х„х„..., х„называется наибольшее число линейно независимых векторов этой системы.
Векторы базиса обладают важным свойством, устанавливаемым следуюшей теоремой. Теорема 4. Количество векторов базиса системы не зависит от выбора базиса и равно рангу 'втой системы векторов. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим систему векторов (18). Пусть х,, х„..., х,— какой-нибудь произвольно выбранный базис этой системы. Выберем из системы (!8) произвольную подсистему из г+ ! векторов: ХК,, Х« > ..., Х« (19) По определению базиса все векторы этой подсистемы должны выражаться через базис.
Число векторов г+! подсистемы (19) больше числа векторов г базиса, поэтому на основании теоремы 3 эта подсистема векторов линейно зависима, «> Доказательство см., капримерс Курош А. Г. Курс высшей алгебры. «Наука», !975> с. 88> !88. Таким образом, в системе (18) сушествует г линейно независимых векторов, а ' всякие г+ 1 векторов линейно зависимы, откуда следует, что г есть ранг системы векторов (18).
Следовательно, число векторов базиса равно рангу системы и не зависит (в силу произвольности рассматриваемого базиса) от выбора базиса. И Покажем, что введенное выше в ~ 2 понятие ранга матрицы равносильно понятию ранга системы векторов-столбцов этой матрицы, Рассмотрим матрицу А ранга г: ам ... а„,1 ад...а„~ Пусть минор г-го порядка, не равный нулю, расположен в левом верхнем углу матрицы. Столбцы матрицы будем считать векторами. В силу свойств определителя и определения ранга матрицы столбцы матрицы с номерами с+1, с+2, ..., и линейно выражаются через первые г столбцов, которые линейно независимы (в противном случае минор г-го порядка обратился бы в ноль), т.
е. ранг системы столбцов матрицы равен рангу матрицы. И Аналогично можно показать, что ранг системы строк матрицы А равен рангу матрицы. Действительно, транспонировав матрицу А, мы получим матрицу А' с минором г-го порядка, не равным нулю, и со столбцами, которые равны строкам матрицы А, а для столбцов сделанное утверждение доказано выше. Понятие ранга матрицы позволяет ввести критерий разрешимости системы т линейных уравнений с и неизвестными. Этот критерий устанавливает следуюшая теорема.
Теорема 5 (критерий Кронеккера — Капелли). Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы втой системы. Доказательство. Сначала докажем необходимость условий теоремы. Пусть дана совместная система линейных уравнений а„х,+а„х, +...+а,„х„=Ь„ а„х,+а„х, +...+а,„х„=Ь„ (20) ащдхд + а~дхд + + а~лх Ь~ В этом случае решение этой системы хд=сдд, хе=а„..., х„=а„, т. е.
~х', адьяь=Ьу (1=1, 2, ..., т). ь ! (21) Записанное равенство показывает, что столбец из свободных членов Ь, системы (20) есть линейная комбинация из столбцов основной матрицы этой системы линейных уравнений, откуда следует, что ранг расширенной матрицы совпадает с рангом основной матрицы. Необходимость условий теоремы установлена. Докажем теперь достаточность этих условий, Пусть ранг расширенной матрицы системы (20) равен г — рангу основной матрицы. Без ограничения общности рассуждений можно положить, что первые г столбцов основной матрицы линейно независимы, Согласно условию теоремы, добавление столбца из свободных членов не изменяет ранга матрицы, поэтому этот столбец является линейной комбинацией первых .
г столбцов основной матрицы: ~,' амат= Ь! (1=1, 2, ..., т), (22) ь=! где ат — некоторые числа. Положим теперь х, = м„х, = ат, ..., х, = а„х,+т — — О, ..., х„= О. Подставляя эти значения неизвестных в исходную систему уравнений (20) и учитывая равенство (22), находим, что эти значения являются решением системы, ° Максимальное число линейно независимых векторов линейного пространства У называется размерностью этого пространства. Если в линейном пространстве т' существует конечная система, состоящая из максимально возможного числа и линейно независимых векторов, то такое пространство называется конечно- мерным пространством размерности п.
В противном случае это пространство называется бесконечно-мерным, Очевидно, что число векторов базиса равно размерности пространства, Пусть векторы е„е„..., е„образуют базис л-мериого линейного пространства; тогда любой вектор этого пространства может быть записан в виде х = $тет+ $тет+... + $„е„, (23) где $т, $„..., $„— числа. Покажем, что вектор х выражается через базис единственным образом. Допустим противное: пусть вектор х может быть выражен через векторы базиса еще в виде Х=т1тет+т1те,+...+т1„е„. (24) Почленно вычитая из равенства (23) равенство (24), получим ($! — т1!) ет+ $т — т1т) е, +...
+ ($„— т1„) е„= О. (25) Базис является линейно независимой системой векторов, поэтому выражение (25) справедливо при $ = т1 (( = 1, 2, ..., и). Я Числа $„$„..., $„будем называть координатами вектора к в базисе е„е„..., е„и записывать вектор х следующим образом: (26) Рассмотрим два базиса линейного пространства У„: е„е„..., е„и Каждый вектор второго базиса будет выражаться через линейную комбинацию векторов первого базиса: ~;=тие,+тме,+...+тые„(1=1, 2, ..., и). (27) Составим матрицу Т перехода от первого базиса ко второму из коэффициентов системы (27): ты ты ° ттл (28) тт тьз ''' тль Введем обозначения для базисов в виде векторов-столбцов: е, Л е, Ть е= (29) е„ У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
