Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 3
Текст из файла (страница 3)
!.1). Покажем, что если в каком-либо слагаемом определителя поменять местами два сомножителя, то знак этого слагаемого не изменится, Действительно, согласно теореме 1 при транспозиции двух сомножителей перестановки из первых н из вторых индексов изменяют свою четность, а чегность суммы не изменится. Таким образом, последовательно переставляя пары сомножителей, всегда можно первые индексы сомножителей каждого слагаемого определителя расположить в порядке возрастания. Знаки каждого слагаемого в этом случае не изменяются, поэтому, " ° — знак, означаюгний окончание доказательства какого-либо утвержде- нии т.
е. изменение числа инверсий после транспозиции нечет- но. ° е> 2. Определители л-го порядка. Рассмотрим квадратную матрицу размера пхп, т. е, таблицу, составленную из пв элементов: не нарушая общности, выражение для определителя можно записать в виде а,т ато .. ат„ а21 а22 ' ат а„, а , ... аоо ( — !)'а2йат;,,ао) . (7) Рассмотрим несколько примеров. Пример 1. Вычислить определитель аторого порядка. Имеем аи а„) = ( — 1)"' апа„+ ( — 1)'+' омам = а„а22 — а, а,т. о21 а22 (8) Пример 2, Вычислить определитель третьего порядка Имеем ап о12 ам ам а а22 =( — 1)2+" аматом+( — 1)она„о а, +( — !)2+со а а22+ а„ат, ом -и — 1)2+2 а12о~то21 -1- ( — 1)а+' атто22ам+ ( — 1)ты амат ап = = омо от -1- о„а том + амамо„— омаоом — ама оа22 — омаототт. (9) а„а„... ато аы а22 "° ато ап а„... а„, а„а.„...
а„и а„, ат .. аоо а1 а2 пол отличающиеся друг от друга тем, что столбцы одного из них являкпся одноименными (в смысле порядка следования) строками другого. Выберем из определителя 2) произвольное слагаемое а!)а!1 ...а1 1, .оно также будет и слагаемым определителя Л, 1~ 22' оо' так как в него входят элементы из каждой строки и каждого столбца и только по одному, причем сумма инверсий в перестановках из первых и вторых индексов будет той же четности.
Иа приведенных примеров следует, что введенное понятие определителя и-го порядка обобщает известное из курса высшей математики для втузов понятие определителей второго и третьего порядков, 3. Свойства определителей. Для вычисления определителей высшего порядка простых правил не существует, Такие определители вычисляются на основе следующих свойств. Е Если в определителе строки заменить столбцами, сохраняя при этом порядок их следования, то значение определиптеля не 12зменится. Иными слов ми, определители квадратной матрицы и соответствиюи(ей ей транспонирсванной матрицы равны. Рассмотрим два определителя Таким образом, все слагаемые определителя О войдут с тем же знаком в определитель Л. Отсюда получим, что гг=Л.
Следовательно, если строки определителя обладают каким-либо свойством, то этим же свойством обладают столбцы определителя. Поэтому в дальнейшем все свойства будем формулировать только для строк определителя. И 2. Если одна из строк определителя нулевая, то определитель ровен нулю. В самом деле, каждое слагаемое определителя представляет собой произведение элементов, взятых из каждой строки; следовательно, в него войдет и нулевой элемент, а-так как определитель равен сумме произведений элементов, то этот определитель равен нулю.
И 8. Если в определителе поменять местами две строки, то по абсолютному значению определитель не изменится, а знак определителя изменится на обратный. Рассмотрим два определителя, у которых переставлены строки г и я: а„а„... и,„ а„ам ... а,„ ап а„... а,„ а„, а», ... аь„ ап ап ". а,„ аы а„...
а„„ а„,а„,... а„„ ата„,... а„„ Выберем произвольное слагаемое ап пм ...аи,...аю„...ат определителя В. Это слагаемое будет также слагаемым второго определителя Л. Но так как в определителе Л столбцы остались те же самые, что и у определителя В, а две строки поменялись местами, то перестановки из вторых индексов элементов для обоих определителей будут одинаковой четности, а число инверсий в перестановках из первых индексов будет отличаться на единицу, т. е.
изменит четность. Следовательно, все слагаемые обоих определителей по абсолютной величине одинаковы, но имеют противоположные знаки, т. е. Л =" — О, И 4. Всякий определитель, у которого две сгпроки одинаковы, равен нулю. Пусть Π— определитель с двумя равными строками.
Поменяем местами зти строки, тогда, с одной стороны, на основании предыдущего свойства новый определитель Л = — О, с другой стороны, Л =-О, так как определитель не изменяется при замене одной строки на одинаковую другую строку. Это возможно лишь в случае, когда В=О. ° 5. Если элемента какой-либо строки определителя имеют общий множитель, то этот множитель можно вынести за знак определителя. 16 Действительно, по определению, имеем а„а„... а,„ ( — 1)'а1йац ...тац ...алг 1111 '" ~л пиы талл ...
мал ал, ат ... алл ам ам ... агл аы аы ° ° аь =т Я ( — 1)'ам ам ...ац ...ал1 =т 'А- 'л ал, ат ... алл ап а11 аы а1, ... авл а1л аы ат .. аьл Ьм+сь1 Ььл+сьэ ... Ьь +ел ал, а„, ... алл а„1 ал, алл ( — !) ац ац ... (Ьц + сцД... а„;, СА —. 1л Выполняя операцию умножения и разделяя результат на две суммы, найдем 11= ~ ( — 1)'(ам ам ...Ьц„...ал; +анап ...слг„...а„)= 'А- 'л ( — 1)1 а1йаэ1; ..Ьц .. ал1 + Я ( — 1)1 а11,а11...сц„...ал; = 1А- гл 'А -'л а„ а„,, ...
а,л а„а„... агл + сы сел ... с„л . ° Ь , Ь . ... Ь„„ а„1 ал, ... алл ал1 ал, ... алл 17 Отсюда следует, что, для того чтобы умножить определитель на число т, достаточно умножить на это число лишь все элементы какой-либо его строки или столб1Га. б, Определип1ель, у которого какие-либо две строки пропор11иональны, равен нулю. Пусть у определителя О элементы 1-й строки равны элементам 1-й строки, умноженным на постоянное число т; тогда из свойств 4 и 5 непосредственно следует справедливость свойства 6. Й 7. Если элементы некоторой 1-й строки определителя являются суммами двух слагаемых, то определитель можно разложить на сумму двух определителей пюго же порядка, причем в первом определителе в качестве элементов 1-й строки будут первые слагаемые, а во втором определителе в качестве элементов 1-й строки будут вторые слагаемые, остальные строки останутся такими же, как у первоначального определителя.
Рассмотрим определитель 8. Если к какой-либо строке определителя прибавить другую его строку, умноженную на некоторое число, то значение определителя не изменится. Прибавим к 1-й строке определителя О его ~-ю строку и определитель, полученный после такого преобразования, обозначим через йа а,п ала ам ам+ та„, аыа+ тала ... а1п+ толп аы апп ап, ат, а„' ...
а,п а„а„... алп аы ааа ... аап анан ... ап = О+ тО1. ам ааа " аа. аы аы " аап ап1 ап2 ' апп ап, а„... апп Согласно свойству 6, О, = О, следовательно, Л = О. Ь Из свойства 8 следует, что если какая-нибудь строка определителя является линейной комбинацией других строк *1, то этот определитель равен нулю. 4. Миноры и алгебраические дополнения. Рассмотрим определитель и-го порядка ам а12 ... а,п а„а„... а,п ап1 ап2,, апп Выберем произвольно в этом определителе й строк и й столбцов (1 =. й =-:: и). Из элементов, находящихся на пересечении выбранных строк и столбцов, можно образовать определитель й-го порядка, который назовем минором я-го порядка определителя О.
Вычеркнем затем в нашем определителе выбранные й строк и й столбцов, тогда нз остальных элементов можно образовать определитель (и — й)-го порядка, который будем называть дополнительным минором определителя О. Минор будем обозначать М, а дополнительный минор Я. "' Линейной холбилооией каких.либо элементов называется сумма пронзав;елий этих элементов на произвольные постоянные числа. Пример 3. Вычислить минор М и дополнительный минор 1И для второй и четвертой строк и первого и третьего столб1гов определителя а,з азз агз с.аге-.им ам ам азь азз -азз -азв -азз Выберем в определителе 0 вторую и четвертую строки, первый и четвертый сюлбпы, тогда м=!"" "~, м=!"' "'~. Пусть ау — некоторый элемент определителя П (очевидно, что минор первого порядка является элементом определителя), Под алгебраическим дополнением элемента определителя (з будем понимать дополнительный минор к элементу ау, взятый со знаком ( — 1)'+у„где з — номер выбранной строки, а 1 — номер столбца.
Алгебраическое дополнение обозначается А„, т. е. Аи= ( — 1)г+611. Пример 4. Вычислить алгебраическое дополнение А, в определителе аи а„ ам 0=ам а, ам. аз, аз, а,з Используя определение алгебраического дополнения, имеем Ам=( — 1Р+ ~"" '"!. Теорема 2. Проиэведение некоторого элемента определителя ' ау на его алгебраическое дополнение Аи равно алгебраической сумме всевозможных слагаемых определителя П, в которые агу входит в качестве общего множителя. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим алгебраическую сумму всевозможных слагаемых определителя, имеющих ау общим множителем, с теми же знаками, с которыми они входят в исходный определитель Ез. Обозначим эту сумму 5, тогда 3 = ~; ( — 1)з+'ауазаазр ... аг,ьа,+зи „.. а„р, где элементы последовательности а() ... р принимают значения из ряда чисел 1 2 ... 1 — 1 1+1 ... и. Обозначим через 1 число инверсий в перестановке из первых индексов, а через з — число инверсий в перестановке из вторых индексов элементов слагаемых в сумме 5: з=(1 12 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
