Чемоданов. Математические основы теории автоматического регулирования. Том 1 (952248), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Основные понятия и определения. Прямоугольной матри- 2(ей А размера тхп называется таблица из т строк и и столбцов вида а„а„... а1„ А а21 ам °" а2~ 11~1 ат2 ° ° ° а~лв В этой таблице первый индекс элемента означает номер строки, а второй — номер столбца, в котором он расположен, Так, например, элемент а» расположен в 1-й строке н /-м столбце. Элементы матрицы ау(1 =1, 2, ..., т; /=1, 2, ..., и) могут быть действительнымн или комплексными числами. В случае, когда т=п, матрица называется квадратной матрииеи, такая матрица имеет вид ьп Ь12 ° ° ° Ь1л В Ь21 Ь22 Ь2 (2) Ь21 Ьлв ° ° ° Ьвл Две матрицы А и В одинакового размера называются равными, если равны ик соответствующие элементы, Пусть А =- = "1ав1, В=1Ь»); тогда А=В, если а11=Ь» (1=1, 2, ..., т; / = 1, 2, ..., п), Как правило, матрицы обозначают большими буквами латин ского алфавита А, В, С и т.
д, Траноионированной матри2)ей А' для матрицы А размера тхи называется матрица размера ихт, получаемая из мат- рицы А заменой ее строк столбцами, т. е. если а„а„... аг» а„а„... а»» А =(апД = а , а , ... а „ то транспонированная матрица будет а„а„... и, Ат (и 1 12 2» ° ° ~п» (4) аг» а»... а.,л Рассмотрим алгебраические операции над матрицами. Суммой митриц А н В одинаксеого размера тхп называется третья матрица С того же размера, элементы которой равны сумме соответствующих элементов исходных матриц А и В, т. е. ап им ..а»» Ьп Ьм" Ь» А+В им иы ... а»„) Ьм Ь»2 ...
Ь» а»а и » ... а , Ь » Ь » ... Ь „ аы+Ь„и„+Ьм ... а»„-(-Ьг» ам +Ьм им +Ь»г °,. аы +Ь»» а»»+Ь»а и„,»+Ь»и ... ищ»+Ь»,» Проиээедением матриорю А на число Л (или числа Л ни матрицу А) называется матрица С того же размера, что и А, элементы которой равны произведению соответствующих элементов матрицы А на число Л: Лам Ла„... Лат» С=-АЛ=ЛА.= '"' '- (6) Ла»п Ла~» ...
Ла„„ Произведением матрицы А размера т»х,п, ни матрицу В размера т,хп, (пронзведепис определено в случае п,=т„т. е. когда число столбцов множимого равно числу строк множителя) называется такая матрица С, элементы которой определяются по формуле и, со= ~; сч»Ь»,. (» =-1, 2, ..., т~', 1= 1, 2, ..., п»). (7) »=! Следовательно, Ь Ь, ...Ь)л, 821 Ь22 Ьтлт а11 а1, ... а!л, а„а„...
а„ь С=АВ= а„„а„„, л)=л), а„,„Ь „Ь,, Ьльлт л,.= л)„ ~ч~ ах»Ьм ~ ', аыЬ»2 а1»Ь»лв »=! »=! Л, = Л)2 ав»Ь», »=! »=! л) )л) ав»Ь»1 »=1 в~ =2) ав»Ь,л, »=! (8) л,=мт а,»Ьм а,»Ь»2 ... У а,»Ь»,„ Лг (АВ) =~к о„ь„. »=! Для транспонированных матриц Вт=[Ь!!1 и Ат=[а!!! анало- »2 гично найдем В'А'= '2, 'Ь»!а!». »=1 Полученные выражения для (АВ)' и В'А' доказывают справедливость равенства (9).
2. Свойства матриц. Рассмотрим некоторые свойства матриц относительно введенных выше операций сложения и умножения. 1. Операция сложения матриц обладает свойством коммутативности, т. е. / А+В=В+А. (10) 2. Операция сложения матриц обладает свойсп)вом ассоциативности, т. е. А+(В+С) =(А+В)+С. Г2 3! 11 2 !! Пример 1.
Заданы матрицы А и В: А=~ ~, В=~ (5 1~' )3 4 2~ Найти произведение этих матриц С= АВ. Согласно равенству (8), имеем [2 31[1 2 11 [2+9 4+12 2+61 [11 16 81 В ряде случаев необходимо вычислять транспонированную матрицу от произведения двух матриц. Покажем справедливость равенства (АВ)т — Вт 4т (9) Пусть А = [а!11, В = [Ь!!]; согласно равенству (7) АВ Г л! - ~ э', „,)т~, ° ° ...
- ° р „... )4) » ! Из свойств 1 и 2 видно, что при суммировании конечного числа матриц слагаемые можно писать в любом порядке, а скобки, определя«ощие порядок суммирования, расставлять произвольно. д, Сущесп«вует единственная матрица Х такая, что если прибавить ее к произвольной матрице А, то матрица А не изменится, т.
е. А+Х=- А (12) Матрица, удовлетворяющая условию (12), является единственной, и все ее элементы есть нули. Такая матрица называется нулевой и обозначается О, т. е. О О ... О Х=О= О О ... О О О ... О 4. Для всякой матрицы А существует единственная матрица У такая, чпи« сумма этих матриц равна нулевой матрице, т.
е. А+ У=О. (14) Все элементы матрицы У равны элементам матрицы А, но име!от противоположные знаки, поэтому 'ам а„... а,„— а„— а,2 ... — аьк «121 «122: «12 1 «121 «!22 ' ' а2~ О а 1 а, ... а„,„— а„я — а, ... — а „ Матрицу У обозначают — А и называют матрицей, противопоюжной матрице А, т.
е. — а„— а„... — аь2 4 — а21 — а22 ° ° ° а22 — а, — а„в ... — а „ рази«стью двух матриц А — В одинакового размера называется такая матрица С, для которой справедливо равенство В+С==-А, Разность всегда существует и равна сумме А+( — В). Действительно, В+ С = В+ [А + ( — В)1 = В+ [( — В) + А1 = =[В+( — В))+А =О-)-А=А, т, е. выбранная матрица С удовлетворяет определению разности, 5 Если а и Ь вЂ” числа, А — матрица, то справедлавы соотно«иения а(ЬА) =-(аЬ) А =Ь(аА). (16) «о б. Если а — число, А и  — матрицы одинакового размера, то справедливо равенство а(А+В) =аА+аВ. (17) 7.
Если а и Ь' — числа, А — матрица, то справедливо равенство (а+Ь) А =аА+ЬА. (18) 8. Произведение единицы на любую матрицу не изменяет зту ,натрицу, т. е. 1.А=А. (19) 9. Если а — число, А и  — матрицы размера соответственно т,хп, и т,хп, (п,=т,), то справедливо соотношение а (А В) =' (аА) В, (20) 10. Операция умножения матриц обладает свойством ассоциаивности (при умножении матриц скобки, определяющие порядок выполнения умножения, можно расставлять произвольно), т. е. А (ВС) = (АВ) С, (21) где размер матриц А, В и С равен соответственно т,хп„п,хп„ пьхпз.
11. Среди всех матриц размера пхп существует единапвенная матрица такая, что ее произведение на произвольную квадратную матрицу А слева или справа не изменяет матрицу А, т, е. АЕ= ЕА, (22) Непосредственным умножением матрицы А на матрицу Е нетрудно проверить, что матрицей Е, удовлетворяющей равенству (22), является матрица, у которой элементы, расположенные на главной диагонали, равны единице, а остальные элементы — нули, т. е. 100 00 0 1 0 ...
0 0 (23) 000...01 Матрица Е называется единичной. Скалярной матрицей называется такая матрица, у которой на главной диагонали расположены одинаковые элементы, а остальные элементы — нули. Легко заметить, принимая во внимание равенство (23), что а 00...0 ОаО... 0 (24) 000...а. 12. Операция умножения матриц обладает свойством дистрибутивности относительно сложения, т.
е. (А + В) С = АС+ ВС, (2б) С (А+В) = СА+ СВ. (2б) Из свойства 4 следует, что умножение матриц дистрибутивно относительно вычитания, т, е. (А — В) С=АС вЂ” ВС, (27) С(А — В) =СА — СВ. (28) 13. Числовой множитель а можно ставить при любом из матричных множителей, т, е. а (А В) = (аА) В = А (аВ). (29) В справедливости приведенных выше свойств матриц легко убедиться, записывая матрицы в виде таблиц и выполняя указанные над ними действия, Операция умножения матриц не обладает свойством коммутативности.
Действительно, пусть, например, даны две матрицы АиВ: А=, В= . Тогда АВ=, ВА=, откуда следует, что АВчи ВА. При перемножении матриц А и В надо указывать порядок выполнения операции умножения. Например, в случае произведения АВ указывается, что матрица В умножена на матрицу А слева, а в случае произведения ВА — что матрица В умножена на матрицу А справа. Пусть имеем матрицу, состоящую из одного столбца, т. е. размера пх1, хг х— (30) хд Тогда транспонированная одностолб1)оная матрица будет состоять из одной строки (имеет размер 1 хп): х'=(х, х, ...
х„]. (31) Матрицу, состоящую из одного столбце или одной строки, будем называть арифметическим векпюром. Естественно, что векторы, как частный вид матриц, обладают всеми их свойствами. $2. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И ИХ СВОЙСТВА 1. Инверсии и перестановки. Пусть задано и натуральных чисел 1, 2, 3, ..., и, Меняя местами различные элементы этого ряда, можно получить и! всевозможных комбинаций из и эле- 12 ментов. Каждая комбинация из и различных элементов, следующих в определенном порядке, называется перестановкой этих и элементов.
Например, для трех чисел 1, 2, 3 получаем 31=6 перестановок: 123, 132, 213, 231, 312, 32!. Случай, когда в перестановке большее число следует перед меньшим, называется инверсией. Два числа в перестановке образуют инверсию, если большее число стоит впереди меньшего. Так, например, в перестановке 1 3 2 — одна инверсия, а в перестановке 3 2 1 †т инверсии. Чтобы подсчитать число инверсий в какой-либо перестановке, нужно перебрать ее элементы в порядке возрастания, считая каждый раз число элементов, расположенных перед рассматриваемым и имеющих большее, чем этот элемент, значение.
Суммирование полученных результатов дает число инверсий. Число инверсий в перестановке обозначается заключением этой перестановки в жирные квадратные скобки; так, можно записать: ]1 3 2]=1, ]3 2 1]=3, ]5 1 3 2 4]=5, Если перестановка имеет четное число инверсий, то она называется четной; если же число инверсий нечетное, то перестановка называется нечетной. Операция, которая заключается в перемене местами двух членов перестановки, называется транспозицией. Теорема 1. Транспозииия изменяет четность перестановки. Доказательство. Рассмотрим перестановку из и элементов: а,а,...
а,... аг... а„. Пусть транспозиция осуществляется между элементами а, я ар После транспозиции число инверсий для элементов а, и ау е элементами, стоящими левее а„не изменится. Не изменится также число инверсий для элементов, расположенных правее ат. Обозначим число элементов, расположенных между а~ н ап через т. Пусть до транспозиции из этих т элементов и образует, а т не образует инверсию с элементом аь Пусть также и, элементов образует, а ч, не образует инверсию с ар Очевидно, что р+ч=р,+т,=т, т, е, т=т — и, т,=т — рь (1) После транспозиции элементы, расположенные между а, и аг и образовывавшие ранее инверсию с а, или а~, не будут ее иметь, и наоборот. Кроме того, после транспозиции, в случае если а~(а~, добавляется инверсия между а, и а~, если же ау(аь траиспозиция ликвидирует инверсию между ними.
Таким образом, после транспозиции число инверсий изменится иа величину [( +1) — ( +М]~1. (2) Из выражений (2) и (1) следует, что изменение числа инверсий после транспозиции равно 2(р+р,-т) 1 1, ам атз ... ат„ А пзт йм . ° ° Йза (4) аат а~ ... а„„.) Введем следугошее определение. Определителем (детерминантом) и-го порядка квадратной матрицы размера и х п называется алгебраическая сумма всех возможных произведений ее элементов, взятых до одному и только по одному из каждой стрдки и кдждого столбца, йричем зйак каждого слагаемого определяется числом инверсий в перестановках, составленных нз первых и вторых индексов членов-сомножителей; если сумма числа инверсий четная, то слагаемое положительно, если нечетная — отрицательно.
Для определителя вводится обозначение атт а„... ат„ ам атз ... ага т)е1 А — с(е1 ает азз ... а,„ ае, ам ... аеа (6) аат паз ... а„„ а„т паз ... а„„ Согласно определению, имеем атт атз ... ат„ ам азз ... аз„ аат паз ... а„„ — 'Я ( — 1)ама;,!,аг ! ...аг у, (6) где и — число инверсий в перестановке нз первых индексов !т(з...(„, а ! — число инверсий в перестановке из вторых индексов !т!а ... !. (з = (!т!з ... !а1, ! = (!т!з ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
