popovEP2 (950647), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Из формул (6.39) и (6.4() при ха =0 получаем 4с (Т1+ Та) сс с„(а+1о ) где коэффициент Й, выражается через другие параметры системы формулой (6.43). Дальше эту систему можно рассчитывать как обыкновенную линейную, определяя устойчивость и качество процесса управления с соответствующим выбором параметров, учитывая выражение для й, (6.43). Здесь нужно еще иметь в виду ограниченность возмояшого интервала линеаризапии процесса управления„так как из (6.41), какример, следует требование хс ( а. Отсюда вытекают требования на соотношение параметров системы в соответствии с формулой для амплитуды (6.42). Для того чтобы определить амплитуду автоколебаний, наложенных на процесс управления, надо воспользоваться формулой (6.39), которая с подстановкой в (6.40) и д (6.41) дает откуда определяется зависимость а(хс) в процессе управления. Ряс.
6.17. Рассмотрим и здесь те же две специфические частные задачи, которые рассматривались выше при вынужденных вибрациях. Задача 1, Вибрационное сглаживание и вибрационная аинеариэация нелинейности при помощи автоколебаний, Мы видели, что за счет автоколебательных вибраций в автоматической системе любая нелинейная характеристика, в том числе скачкообрааная и гистерезисная, становится плавной кривой Ф(хо), как и прежде (рис. 6.8). Зто и называется вибрационным сглаживанием нелинейности, а замена Фо = й,ал — вибрационной линеаризациев нелинейности для сигнала управления при помощи автоколебаний. Для реализации этого свойства в системе вокруг нелинейного авена органиауется внутренний автоколебательный контур (рис.
6 17). Параметры его выбираются так, чтобы частота автоколебаний была достаточно высокой и не пропускалась остальными звеньями системы (за пределами этого контура) и чтобы амплитуда автоколебаний была не меньше возможных значений медленной составляющей хо на входе нелинейности л (рис. 6.17). Далее вычисляется амплитуда а, симметричных (т. е. при хо 0) автоколебаний атого контура, взятого отдельно. Затем через величину а, определяется аначение й„ для данной нелинейности. После этого процесс управления зо всей системе в целом исследуется и рассчитывается как в чисто линейной с ааменой нелинейности г'(л) на й„зз.
Задача 2. Влияние автоколебательных вибрационнгях помех на устойчивость и качество процесса управления. Наряду со специальным использованием автоколебаний, изложенным в задаче 1, могут быть случаи их вредного влияния вплоть до нарушения устойчивости процесса управления. Зто влияние совершенно аналогично действию внешних вибрационных помех (з 6.2). Обратимся к той же задаче учета упругих вибраций корпуса самолета в полете, как и при исследовании вибрационной помехоустойчивости в предыдущем параграфе. Там эти вибрации считались поступающими на гироскоп извне.
Строго же говоря, они имеют место внутри системы, как показано на рис. 6.18, а, где автопилот и самолет составляют прежний контур управления, в котором ассматривается движение самолета как твердого тела. о теперь параллельно ему подключен еще контур упругих колебаний корпуса с уравнением (рз+ Ьр+сз)6~ = М, где 6~ — угол отклонения при иагибе осн самолета в точ- ке установки гиРоскопа. Изгпбные виб и рацпи при таком рассмотрении являются автоколебательны Чтобы определить коэффициент усилениик иления нелинейности г(х) автопилота в процессе управлен управления, нужно найти сначала амплитуду симметричных изгиб ых изгнбных коле- Рис.
6А8. баний а.. Поскольку они не проходят через звен < че ез звено «самолет как твердое тело», то для определения а, рассчитываются автоколебания в отдельном контуре (рис. 6 (6 б). Затем полученное значение а, испольауется при пре е ауется при определении й, после чего система самолет — автопилот исследуется как линейная с учетом выражения )г, чеРез дРУгие параметры системы (см. пример прилодивдемпфиРования в уравнении (6.44) мал то частота авто- колебаний будет близка к значению с в уравнении (6.44). Зто и давало возможность рассматривать в предыдущем паРагРафе пРохождение автоколебаний через автопилот как прохо1кденио вынужден к деба ик заданной извне частотой. н 6.4.
Колебательные переходпы процессы Рассмотрим определение качества Реходных процессов в нелинейных сис колебательных пе- системах (рис. 6.19). Эти процессы могут быть затухающ„ амплитуды автоколебании и расхо ими до нуля или до амплитуды автоколебаний, или же ягцимися износи о Расходящимися неограниченно в случае неустойчивости. БУдем РассматРивать их как собств ственные колебания при отсутствии внешних воздействнй во время самого процесса. Уравнение нелинейной системы (рис.
6.20)', как известно, имеет вид ~)(р)в+Л(р)г'(х) = О. (6.45) В линейных системах силусоидальные переходные колебания имели вид л = а(г) з1л ю1, а(1) = а,е". (6.46)' Для линейной системы высокого порядка такое решение является приближенным в том смысле, что опо соответствует одной паре комплексных корней характеристического уравнеи ния системы. Чтобы Рнс.
6.20. это решение отвечало основной части переходного процесса, зта пара корней должна быть блигкайшей к мнимой оси. В нелинейных системах, удовлетворяющих свойству фильтра (см. з 4Л), будем считать переходные колебания близкими к синусоидальным (6.46), полагая, однако, что показатель затухания $ и частота ю медленно изменяются с изменением амплитуды колебаний а в ходе процесса. Сама амплитуда а(Г) может меняться быстро вплоть до затухания за один-два периода.
Тогда решение вместо (6.46) надо искать в виде х = и (г) зш ф (г), — = а$ (а) — =- ю (а). (6.47) На И$ Как частный случай отсюда прн $ = сопзФ и ю = солз$ получается формула (6.46) для линейных систем. При з (О колебания затухают, при $) Π— расходятся.
Гармонпческая лпнеарнзацпя нелинейности адесь изменится, поскольку нз (6.47) ячеек х = а з1п р, рх = аю соз ~) + а$ гйп ~). Отсюда з(пф= —, созф= — х. а' еы В связи с этим первая гармоника колебаний на выходе нелинейности вместо прежнего (4.10) получит выражение г' (х) — -- ( д (а) + о' (а) ~ — ~ л, (6.48) где коэффициенты гармонической линеарнзации д и д' определяются, как и раньше, формулами (4.11). Поэтому здесь для конкретных нелинейностей можно пользоваться результатами, полученными в з 4.2. Затухающие или расходящиеся колебания в линейной системе соответствуют комплексным корням характеристического уравнения.
Следовательно, для их определения нужно в характеристическое уравнение гармонически линеаризованной системы (вытекающее из (6.45) и (6.48) ) ~ (й) (- Л (Х))(д (а) -(- д' (а) — ~ = 0 подставлять Х = $ + )ю„ полагая, что это соответствует ближайшей к мнимой осп паре комплексных корней. В результате получим (~Й+(ы) +пй+)ы) И(о) +И'(о)1 =О.
(6.49) В это комплексное уравнение входят неизвестные величины $, ю, а. Следовательно, из этого уравнения можно найти две из них как функцию третьей: з(а) и ю(а). (6.50) Зтого достаточно, чтобы затем по формулам (6.47) приблизительно определить и кривую переходных колебаний х(1). В большинстве случаев при проектировании системы автоматического управления и регулирования не требует- ся вычерчивать кривую переходного процесса. Нуягна лишь оценка быстроты затухания и частоты колебаний, т. е. для оценки качества переходного колебательного процесса в большинстве случаев можно ограничитьсн определением зависимостей $(а) и ю(а) из уравнения (6.49), Один из способов определения этих зависимостей состоит в следующем (другие способы описаны в [22) ). Выделив в уравнении (6.49) вещественную и мнимую части, получим дза уравнения Х(а, ю, $) = О, У(а, е1, $) = О, (6.51) иа которых н определяются зависньюсти (6.50).
Если нужно выбирать какой-либо параметр системы, например коэффициент усиления линейной части Й„так, чтобы Ц и ю удовлетворяли а л заданным требованиям, то 1э з м можно пользоваться так нааываемыми диагр зевами лачестна. Они строится следующим образом. Пусть в ка,кой-либо системе мы опреде- лили зависимость амплитуды 1 автоколебаний а, от пара- 1 метра й„, как показано на а ААг рис. 6.21. Здесь по параметру Й д б у ,Втагаггйгмг чивоств равновесного состоя- ния. В автоколебательном реРис.
621. жиме имеем а = а. = сопзц т. е. $ = О. Ниже линни АВ (рис. 6.21) колебания расходятся. Следовательно, там з) О. Выше линии АВ колебания затухают и, значит, там $ ~ О. На самой линии АВ имеем $ = О. Если на основании уравнений (6.51) провести линии равных значений $, то получится диаграмма, иаображенная на рпс. 6.22. Взяв некоторое значение й„= й1 з области устойчивости равновесии, получим (идя по вертикали) зависимость з(а), показанную нн рис.
6.23, а. Дли значения же й„= аз в области автоколебаний (рис. 6.22) зависимость $(а) будет иметь иной знд (рис. 6.23, б). Эти графики дают представление о качестве затухания колебательных переходных процессов при разных значениях параметра й„. Можно найти огибакпцую переходного колебательного процесса а(Ц во всех этих случаяв (рис.
6.24), согласно (6.47), по форвгуле (6.52) ОО Интегрирование (6.52) в конечной форме возможно лишь з' простейших случаях. Поэтому приведем графический способ построения огиг бающей а(1). Введем в рассмотрение текущую 1 «ггостоянную временна / Т (а) = — —. (6.53) Лгвпл в= свзвг В обыкновенных линей- 1 ных системах Т =сопа$.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
