popovEP2 (950647), страница 16
Текст из файла (страница 16)
'(5.48) Следовательно, график Ит„,(усе) имеет вид, аналогичньтй амплитудно-фазовой характеристике линейной части И'(ую) и отличается от нее только маспггабом по мнимой оси (рпс. 5.21). Поскольку зыраженне (5.47) молсно за- д писать в ваде 17(в) — ойХ (ю) + — ) О, ю с подстановкой (5.48) оно треобразуется к впду Уя (ю) — й'г',. (св) + —, ) О. 1 (5.49) Выражение (7я — пгя+ —, = 0 (5.50) представляет собой уравнение прямой на плоскости прямоугольных координат Г„, т'„.
Эта прямая проходит череа точку — 1/Й на оси (У„и имеет крутизну наклона 11'й. Отсюда вытекает следуюп1ая формулировка. Критерий абсолютной устойчивости. Состояние равновесия нелинейной системы абсолютно устойчиво, если нелинейном характеристика Е(х) находится внутри сектора 10, й ] и можно провести через точку — 1/й прямую так, что она не пересечет модифицированную частотную характеристику (последняя лежит справа). На рис. 5.22 показаны случаи, когда критерий абсолютной устойчивости выполняется, а на рис.
5.23 — когда не выполняется. Интересно получить с помоп1ью етого критерия уело° ня абсолютной устойчивости для той же системы 'амолета с нелинейным автопилотом, которая была рассмотрена выше методом Ляпунова ($5.3) и методом гарионической линеаризации ($ 5.4). Особенность там 'остонт в том, что допускалось расположение нелинейной характеристики во всей 1 (и Ш) четверти, т. е. в секторе (О, й ), где й = . Поэтому примак в частотном критерии должна проходить через начало координат. Рас.
5.22. Рас. 5.23. Решим агу аадачу сначала аналитически, а натек проиллюстрирусм графически. Условие (5.47) при й = о принимает вид Ве(х + угой) И'Цю) ~ О, (5.51)' а вместо (5.48) получаем К,(гс) — Н'„(в) -" О. (5.52), Для указанного примера ($5.3) уравнения (5.25) можно преобразовать к виду д = е (хо)~ (1 + р)р ез = (гр + (1 + г)р+ 11уе где обозначено у = — рло, причем р — операторный символ производной по т(р = д/о)т).
Передаточная функция линейной части системы записывается в виде ге + (1-(- г) е+ т ($+е)е а следовательно, — гео +1(1+ г) ее+ т )4г (1оо) = — ео (1+)ое) Умножив числитель и знаменатель на 1 — 1ео, получим Ве И'(усе) = — оР(1+ оР) ' ((+ г — т) оо+ гоР— оР (1+ оР) а согласно (5.48) (5 53) — оР(1+ оР) ™ — (1+ оР) Неравенство (5.52) принимает вид — ((+ ыо) + ЬоР(1 + г — (+ гооо) ) О. (5.54) Очевидно, что ото неравенство может быть выполнено при лгобом ео > О, если 1+г — () О '(5.55) и если Ь берется сколь угодно бозьепим, чтобы обеспе- чить неравенство (5.54) при сколь угодно малых оь Полученное условие (5.55) выполняется при г > '( — 1, если ( 1, г>0, если 0<т <1, что точно совпадает с найденными ранее условиями абсолютной устойчивости данной системы (5.28) и (5.20)'.
мысл практической реализации этих условий был разьзснен в 4 5.3. Графически критерий устойчивости выражается в том, кто вся кривая гг'„()ы) = С (а) + )Р„,(сс), построенная :огласно (5.53), расположена (рис. 5.24, а) справа от прямой ӄ— Ь$'„= О, обозначенной штрих-пунктирной кинней, со сколь угодно малым наклоном, если 1+г— Рис.
5.2Ф. — О. Если же 1+ г — ( ( О (рис. 5.24,6), то такую прямую провести яевозможпо и, следовательно, неллнейиая система не будет абсолютно устойчивой. Здесь был приведен простой пример, в котором условия устойчивости выражаются в аналитическом видо. В большинстве технических задач этого не получится. Однако видно, что описанный частотный критерий устойчивости в его графической форме мои1ет быть применен для систем с одной однозначпой пелинейностью при любой сложности линейной частя системы и численно заданных коэффициентах уравнений.
Перейдем к случаю, когда нелинейная характеристика Е(х) расположена в секторе (Ьо, Ь ], т. е. Ьвх ~ г' (х) ( Ь„х, '(5.56) что показано на рис. 5.25. Здесь неравенство '(5.47) в теореме В. М. Попова принимает вид Ве~(4+ /ыЬ) ) + > О. (5.57) После преобразований приходим к выражениго П'()+(,' —,+ —,~П()-(',—,.
— —,,)Ь Р()+ г1 1 11 11 + т"' (ы) + —, > О. Введя в рассмотрение модифицированную частотную характеристику (5.48), получаем, что уравнение на плоскости координат модифицированной частотной Рпс. 5.26. Рпс. 5.25. характеристики (У„, 1'„) дает параболу, проходящую через точки — 1/Ьэ и — 1/Ь и имеющую в этих точках крутизну наклона касательных соответственно -1/Ь и 1/Ь. Построение параболы ясно из рис. 5.26. Формулировка критерия следующая. Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолютно устойчиво, характеристика линейной части лежала вне этой параболы. Иллюстрация выполнения критерия дана на рлс. 5.27, откуда легко видеть, что етот критерий устойчивости дает более широкую область устойчивости, чем предыдущий.
Видно, что на рис. 5.27 нельзя провести прямую через точку — 1/к так,чтобы она не пересекала модифицированную ! Уэггвд частотную характеристику Рис. 5.27. И' (~ь). Следовательно, данная система, абсолютно устойчивая при нелинейности, расположенной в секторе [йе, й ), не будет обладать абсолютной устойчивостью (в смысле достаточных условий), если сектор расположения нелинейности расширится до [О, й 1. Это вполне естественный результат.
если нелинейн я характеристика находится внутри сектора [йм й ) и можно провести через точки — Цяз и — 17)с„такую параболу с вертикальной осью, чтобы моди4ицированная частотная ГЛАВА б ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ И ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ $6Л. Одночастотные вынужденные колебания. Частотные характеристики Исследование вынужденных колебаний нелинейных систем представляет собой в общем сложную задачу в связи с отсутствием суперпозицин отдельных решений, а также существенным изменением поведения системы в аависимости от размера амплитуды колебаний, с наличием не единственного установившегося режима и воаможностью перескоков с одного режима на другой, с особенностями высших гармоник, субгармоник, комбинационных частот и с многими другими факторами.
В данном параграфе мы рассмотрим случай одночастоткых вынужденных колебаний, т. е. колебаний нелинейной системы с частотой внешнего периодического воздействия, г'Ф и найдем условия их существования. Рассмотрим нелинейную систему с внешним воздействием (рис. 6Л), звдзвпым в виде 1(~) =- В з1п ю1. (6.1) Уравнение динамики системы имеет вид Рва 6Л. Я(р)х+ Я(р)Р(х) = Я(р)Г(1]'. (6.2) Решение для вынужденных колебаний будем искать приближенно в форме х = а зш (юФ + ~р), '(6.3) где ы задано, а неизвестными являются амплитуда а и фаза <р. Произведем гармоническую линеарнзацию нелинейности: г' (х) = [д(а) + — р1х, де коэффициенты д(а) и д'(а) вычисляются для симкетричных (нечетных) нелинейностей по прежним формулам (4.И), если в них положить ф еч1+ ф. Для конкретньп нелинейностей можно здесь испольаовать формулы, полученные в $4,2.
Подставим (6.1), (6.3) и (6.4) в уравнение систеиы (6.2): () (р) + В (р) ~д (а) + — р) а зш (ьФ + ф) = е Я(р)Взупеу. (6.5) Используем символический метод определения периодического решения, подставив сюда р = )а, а вместо з)пму У выражение е'"'. Тогда получим (у) (ую) + В (ув) (д (а) + +уд (а)) аед ми) ° = Б (уеч) Ве'"'„ или Е (а) Ве-Уез (6 6 где Я (а) = <3 (у ) + у) Ое) (ч (а) + уч' 661 Ю йм) (6.7) Рве. 6.3. Уравнение (6.6) с двумя неиавестньвки а и ф можно решить графически, как показано на рис. 6.2.
Правая ~асть (6.6) изображается в виде окружности радиуса В, н левая часть Я(а) строится как кривая по точкам с пеземенным параметром а. Точки пересечения окружности ". кривой Е(а) дают решение, причем величина амплитуды вынужденных колебаний определяется в точке нересеченя по отметкам на кривой Я, а фаза — по величине угла (рис. 6.2). На рис. 6.2 окружности пересекают кривую только при радиусе, большем некоторого порогового значения В) Вч„. Следовательно, в зтом случае одночастотные вынужденные колебания (6.3) возможны только при У(а~ ~рп,има ю Рис. 6.3. Рзс. 6.4.
~остаточно большой амплитуде В, а при меньшей ампли'уде В внешнего воздействия будет иметь место сложное движение, включающее в себя и собственную частоту :истемы. Построив серию кривых Я(а) по формуле '(6.7) для «азн 1х значений частоты внешнего воздействия ю (рис. 6.3), можем построить график зависимости порогового значения В от частоты ь, например, в виде, изображенном на рис. 6.4, где гз, — частота автоколебаний данной системы. Тогда мы получим область значений В и ю, в которой существуют одночастотные вынужденные колебания. Эта область называется областью захаатывания.
Явление захватывапия состоит в том, что при В ' В, собственные колебания (ввтоколебания) срываются и система переходит целиком на одночастотные вынужденные колебания с частотой внешнего воздействия. Строго говоря, зти одночастотные вынужденные колебания будут несинусоидальными. В соответствии со и ы свойством фильтра линейной части (4 4Л) они для переменной х будут только близки к синусоидальным (6.3). Об определении высших гармоник этих колебаний см. (22). На основании рнс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
