popovEP2 (950647), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Вябрацнояная помехоустойчивость нелинейной системы управления. Пусть в уравнении нелинейной системы (6.8) ~~ (1) = В вш в1 представляет внешнюю вибрационпую помеху (например, со стороны нзгнбпых вибраций корпуса летательного аппарата, воспринимаемых гироскопом вместе с полезным сигналом по углу тангажа). Характеристическое уравнение системы для полезного сигнала в процессе управления, согласно (6.19), имеет внд О(ц+Ь„В(Л) =О, где коэффициент й„зависит '(см. (6.26)) от амплитуды В и частоты ол внешней вибрэционной помехи. Следовательно, от этих параметров помехи будет зависеть качество процесса управления и даже устойчивость системы. Таким образом, если устойчивость чисто линейной системы, как мы знаем, не зависит от внешнего воздействия, то в нелинейной системе устойчивость может а) Рвс.
6.14. от него зависеть. Предельное значение амплитуды вибрационной помехи В, до которой система остается еще устойчивой, называется границей внбрационной помехоустойчивости системы. В качестве примера определим внбрационную помехоустойчивость самолета с автопилотом. Схема системы эаобраллена на рнс.
6.14,а, где 1 — измерители, 2, 4— тривод с обратной связью, 8 — корпус самолета. Уравнение углового движения самолета по тапгажу (р'+ с,р'+ с,р+ с,)д — И,(Т,р+ л)6, лде 6 — отклонение самолета по тангажу, 6 — отклонелие руля. Уравнение измерителей х, =(й, + й,рЯО+ Д8) — «(8)), ;де Д8) = В эш ол8 — вибрационная помеха (например, лэмерение гироскопом изгибных вибраций корпуса саколета), й(Г) — медленное управляющее воздействие. 'гравнение привода руля (Тр+ $) рб = Р(х)', х = х, — й 6, (6.27) где Р(х) — нелинейное ограничение скорости привода (рис. 6.14, б).
Если Т = 0,08 с, а частота вибраций в = 100 с ', амплитуда вынужденных вибраций на выходе привода руля будет ослаблена в 800 раз. Поэтому можно считать, что вибрации туда не проходят. Следовательно, амплитуду симметричных вынужденных колебаний на входе нелинейности х моя~но вычислить по формуле а, = В)/ 1с~ + йз~ю~, и для данной нелинейности (рис. 6.14, б), согласно (6.24), получаем и .
ь йз = агсз~п я ~l а + ~Р~Р 1 3 Уравнение привода руля для процесса управления вместо (6.27) примет вид (Тр + 1) рб = й,(х~ — й„б). Характеристическое уравнение всей системы для процесса управления будет иметь пятую степень„ ас)Р+ а~У+ ~),з+ аз)Р+ а~Х+ аз — — О. Предпоследний определитель Гурвица Ь, = (а,ат — аса,) (азаз — азаа) — (а,а~ — а,а,)з при некоторых числовых значениях параметров системы принимает вид Ьа = й„— 14,2йй+ 6 51йа График аависимости Ьа(й,) изображен на рис. 6.15, а. Условие устойчивости Ьч > 0 выполняетсн при й, ) ) 13,7. Легко проверить, что при атом положительны и остальные определители Гурвица; их положительность сводится к положительности всех коэффицкентов уравнения и неравенству а~аз — аеас О.
Из формулы (6.28) находим максимально допустимую амплитуду внепгней вибрационной помехи по условию устойчивости 7а, ) 13,7 в виде ь Вшаа ~ ий Ьа 1-глшааи ' и сап 2ь 0,047, где 5= 0,5, кг = 0,9, 7са — — 0,4, ю = 100, 7а. „= 13,7, 7а = 80. Коли при этом расчете системы надо выбрать, например, наилучший коэффициент обратной связи привода й, то указанные вычисления надо провести для разных 'иаа г78 г7Р фК г7Я р у 4 ю у уа14уъ„ Рис.
ел5. значений 7аши определяя каждый раз граничную величину к,шг . Результаты такого расчета приведены в виде графика на рис. 6.15, б. Этот график дает границу помехоустойчивости системы по коэффициенту 7а„,которую по вышенаписанной формуле легко пересчитать на допустимую амплитуду В, внешней впбрацпопной помехи.
й 6.3. Процессы управления в автоколебательных системах Лв гоколебательвые системы довольно часто встречаются среди систем автоматического управления и регулирования, в том числе системы с характеристиками релейного типа. Будем считать, что частота автоколебаний в рассматриваемых системах лежит много выше спектра возможных частот процесса управления. По- этому будем искать решение для переменной,х на входе нелинейности (рис.
6.1) в виде х Щ = хе (1) + х* (~) х* = а яп ф, ю = —, (6.29) Щ где х'(~) — медленная переменная по сравнению с х*(~). Уравнение динамики системы (рис. 6.1) имеет вид 0(р)х+ В(р)Р(х) = Я(р)1(Г), (630) где т(~) — медленная функция времени (по сравнению с хз). Гармоническую лннеаризацию нелинейности проивведем в предположении, что х не успевает заметно измениться за период автоколебаний. Тогда, согласно (4.15), с( Р(х)= г"е(х", а)+~д(а хз)+ ~ * р)х*. (6.31) Подставив (6.31)' в уравнение системы '(6.30)', разобьем последнее, как и прелюда, на два. Уравнение для медленных составляющих (т. е. для процесса управления) получит вид 0(р)хо+ В(р) Р(зо, о)' = Б(р)1Я'.
(6 32) Уравнение для периодических составляющих запишется в виде ~~(р) )-В(р)~д(о, хе)+ ' р)хе = О. (6.33) Три неизвестных функпии хз(1), а и а в искомом решении (6.29) определяются совместным решением уравнений (6,32) и (6.33). Поскольку зти функции вааимосвязаны, причем х' (процесс управления) меняется во времени, то амплитуда а и частота ю автоколебаний тоже будут медленно меняться во времени в процессе управления.
Будем рассуждать аналогично пашим рассужденинм в предыдущем параграфе. Если путем решения уравнения (6.33) найти зависимость а(хе) и подставить ее в выражение Ге(хэ,а), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию Ф( )=Р ( а( )) которая оказывается плавной кривой (рис.
6.6) для любыл вел инейностей. Применяя к этой функции всю прежшозо процедуру обычной лннеаризацня (6.17), (6Л8), получим гр =- й„хс, й„ = (6.34) Для конкретных нелияейпостей здесь будут справедливы прежние формулы (6.20) — (6.24) и графики (рис. 6.9 — 6Л2), в которых, однако, в отличие от прежнего, величина а, является амплитудой симметричных аетояолебаний, определяемой для данной системы согласно $ 4.3 или 4.4. Таким образом, для нахождения коэффициента усиления нелинейности в процессе управлении Й, в автоколебательной системе нет необходямости искать зависимость а(х') и строить новую нелинейную функцию Ф(хе), а требуется знать лишь амплитуду .симметричных авто- колебаний а,.
В результате уравнение динамики процесса управления в автоколебательной системе вместо нелинейного (6.32) будет линейным: ~Яр) + (т Л(р) )х' = Я(р)~(Ю). (6.35)' Однако коэффицпент й„обладает особыми свойствамн. Оп, согласно (6.20) — (6.24), зависит от амплитуды а а зта последняя, согласно з 4.3, определяется через параметры всей системы. Следовательно, й„ аависит также и от структуры и параметров (йь Т;) линейной части системы, т. е.
й,(йь Т;). (6.36) Эту особенность надо учитывать при синтезе системы с использованием линейной теории, а также прн исследовании устойчивости и качества процессов управления. Для определения амплитуды и частоты автоколебаний, которые накладываются на процесс управления, надо использовать уравнение (6.33) Оно полностью совпадает с уравнением (4.65) для несимметричных автоколебаний. Решается зто уравнение в общем случае подстановкой Х = )в в характеристическое уравнение ч(7)+Р()ф(а, ')+ е ( ' )71=0; после выполнения подстановки и выделения вещественной и мнимой частей получим два уравнения: Х(в, а, хс) = О, Г(в, а, хо) = О.
(6.37)' Отсюда определяются зависимости а(х ), в(хе), причем зе (() — процесс управления, определяемый дифференциальным уравнением (6.35). В случае, если нелинейность р(,х) нвляется однозначной, зто решение упрощается, так как частота автоколебаний в в атом случае не зависит от величины хе и от формы нелинейности. Эта частота постоянна в процессе управления и определяется отдельно из уравнения 4.67): .( Хо(в) У,(в) — К,(в)Х,(в) = О, (6.38) а зависимость а(хе) определяется также отдельно из выажения .39) р — Хо (в) " х') = (-) ° (6 куда подставляется значение в, найденное из (6.38)'. Ркс. 636. Пример. рассмотрим систему с идеальной релейной характеристикой, схема которой приведена на рис. 6.16.
Заданы сс а И',(г) = . ',, И'з(з) = ', Г(х) =с з(лпх т с+1' Б (Усс+ 1) и козффициепт жесткой обратной связи й„. Общее уравнение динамики системы относительно переменной х запишется в виде (Тср+ Ц (Тзр + 1)рх+ (Ус„~Тср+ Усс +)с ))сер(х)' = ссс (Тср + 1) рб(с) — ( ссоаТср + )сс + ссос) У(с) . Для подстановки в уравнение (6.38) здесь имеем Ха = — (Т~ + Тз) сато Та = сс — Т,Тасс'со Ха — 1сз(1с~ + 1ооо) о о а )сз ооТ1 Поэтому, согласно (6.38), получаем значение частоты автоколебаний ь,+ь (6.40) Гармоническая линеаризация нелинейности дает Р(х) = рч(хс, а) +с1(а, х')ха, где, согласно (4.33), с 2 . а вс 1 ар '1а Рс = — агсзгв — д = — 1 — ~ — ) .
в а' оа ~а) (6.41) Коэффициент усиления нелинейности в процессе управления 1с„согласно (6.20), вычисляется в виде 2с )са= о ""с откуда с подстановкой (6.40) находим ас1сТ,(Т Ь вЂ” Т Ф ) ' (То+ то) (6.42) Следовательно, Т,+Т, (6.43) 2с,т,(Т,Ь,— Т,З ). Итак, общее уравнение динамики системы относительно переменной х для процесса управления принима'ет вид Т Тзрз + (Т,.+ Тз) ра + р + ()с Т р + )с, + й ) 1ст)с1ха ,=)с~(Т р'+ р)б(1) — ()с„Т~р+ 1с, + )с„)ДЕ), где а,— амплитуда симметричных автоколебаний в данной системе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
