popovEP2 (950647), страница 17
Текст из файла (страница 17)
6.3 можно построить зависимости а[в) и ~р(ю), т. е. частотные характеристики замкнутой нелинейной системы по первой гармонике (6.3). В линейных системах частотные характеристики А (ю) и ~р(ю)' не зависели от размера входной амплитуды и вычисля- лись для единичной амплитуды на входе. В нелинейной же системе характер частотных характеристик А(ю)= а(ю)УВ и ~р(ю) может существенно зависеть от размера В. Поэтому для разных значений В получается серия частотпых характеристик (рнс.
6.5) замкнутой системы но первой гармонике. Пример. Пусть уравнение системы имеет вид (Т,р+ 1) (Т,р + 1) рх + ЬЦх). -(т,р+1) (т,р+ 1)рР), при гпстерезисной нелинейности. (рис. 6.6)' и 7'(~) Вешай Тогда в уравнении (6.6), согласно '(6.7), будем иметь Для заданной частоты ог = 10 сек ' и заданных параметров системы й = 10, с = 10, Ь = 4, Т, = 0 01, Тг = = 0,02, кривая Е(а) изображена на рис. 6.6, где от- гг л з хг гу лг яю лг Ркс. 6.7.
Рис. 6.6. яечены значения а. Проведя окружности разных радиу:ов В, по точкам пересечения определим зависимости г (В) и ~р(В) (рис. 6.7) для вынуягдениых колебаний прп ханной частоте. $6.2. Процессы управления, сопровождающиеся вынужденными вибрациями Рассмотрим случай, когда в системе при наличии пегеменного внешнего воздействия протекает некоторый гроцесс управления, а кроме того к системе приложено гнешнее периодическое воздействие.
Уравнение динамики :истемы (рис. 6.1) в этом случае получит вид (~(р)х+Л(р)Е(х) = Я(р)~(1) +51(р)~,(1), (68) 'де ~~(1) = Вз!в егг, а 7(г) — медленное по сравнению с 'г(г) воздействие, т. е. спектр возмовшых частот измене- ния ДГ) много меньше ю. Решение будем искать в виде х = хз(1) + х*(1), х* = а з1п (ю1+ ~р), (6.9) где хс(1) — тоже медленная по сравнению с х~(г) функция времени, определяющая процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях ха.
Полагая, что основной процесс управления хз(г) протекает настолько медленно, что за один период колебаний хз можно приблизительно считать величину хз неизменной, используем прежние формулы гармонической линеаризации (4.15), а именно г" (х) =,Р (хз, а) + ~д1(а, х') + З ( '* ) р~х*, (6.10) где Гз, о и о' вычисляются по формулам (4.16) и (4.17). Для некоторых конкретных нелинейностей зти функции приведены в $4.2 (примеры 6 — 10). Подставив (6.10) и (6.9) в уравнение (6.8), разобьем его на два.
Для медленных составляющих (процесс у&- равления) имеем 0(Р)ха+У)(Р)г "(хв а) =8(рЩ1), (611) а для вибрационных составляющих ((~(р) + тг(р)~д(а,х ) + ' р~~х*= Я (р) Ве1поМ. (6.12) Нетрудно видеть, что неизвестные хз и а могут быть определены только на осяове совместного решения обоих уравнекий. Если, решив уравнение (6.12), найти зависимость а(хе) и подставить ее в выражение г'з(хо, а), полученное но формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию ф(хо) ро(хо с(хз) ) (6 13) Тогда уравнение для процесса управления (6.11) примет вид ~(р)хо+В(р)Ф(хо) = Я(р))(1).
(6.14) Оказывается, что нелинейная функция Ф(хз) обладает тем свойством, что опа имеет вид плавной кривой (рис. 6.8) для любых нелпнейностей г(х), в том числе релейных и гистерезисных. Позтому зту функцию можно эинеаризовать обычным порядком, определив крутизну в начале координат (рис. 6.8): Ф Ь„х йв ( в'в) Но согласно (6.13) имеем (о) -%) — '„" М . е1)) а согласно (4.16) ~ да )е'=о йя ) ( ох) = ) е1п)))д))) = 0„(6.17) о эультат".
Й„= —, . (6Л8) это аначит, что для определезия Й, не нужно находить ааэисимости а(хо) и строить новую нелинейную функцию Р(хо), а достаточно взять частгую производную по хс от имеющегося для каждой нелинейности выражения Г~(хо, а). С заменой (6.15) уравнение Рис.
буь тля нроиесса управления (6.14) принимает вид линейного уравнения Ейр) + й.™(рИ ' = Йр)ХЯ '.(616)' где я — коэу))риуиент усиления нелинейности в процессе управления, определяемый по формуле (6Л8). Например, для идеальной релейной характеристики (см. 4 4.2) э г'(х) = се1ивх, т" =- — агсв(п —, 2с . х получим ь=(" ) (6.26) сак как произведение четной функции на нечетную интегрируется за период. В соответствии с зтим вместо (6Л5) получаем важный ре- где а,— амнлитуда симметричных вынужденных колебаний в данной системе, найденных согласно $6.1. Для репейных характеристик с зоной нечувствительности и с петлей, дифференцируя (4.31), находим На рис. 6.9 представлена зависимость коэффициента й, от амплитуды симмотричных вынужденных колебаний. а с Рис. 6ЛО.
Рис. 6.9. Аналогично дли релейной характеристики общего вида (рис. 6ЛО) получаем (6. 22) Для кусочно-линейной характеристики с зоной нечувствительности (рис. 6Л1) имеем )г„= й — — агсз1п —, 2Ь . Ь (6.23) "с а для характеристики с насьпцением (рис. 6.12)' й„ = — агсз1п — (ас -Ь) 2Ь . Ь (6.24) сс Итак, пользуясь значениями коэффициента усиления й„, мы моясем определять процесс управления в нелинейной системе по линейному уравненного (6Л9) на базе линейной теории. Однако прп этом надо учитывать, что коэффициент йа имеет необычные свойства.
В самом деле, как видно из формул (6.20) — (6.24), он зависит от амплитуды симметричных вынужденных колебаний а,. Рис. 6.12. Рас. 6.11. Эта амплитуда в свою очередь, согласно 6 6Л, аавнсит от стРУнтУРы и паРаметРов линейной части системы (йь Тс) и еще, что очень важно, от амплитуды В и частоты се внешнего вибрационного воздействия. Поэтому при синтезе системы (6Л9), т. е. при выборе ее структуры и параметров надо знать зависимость 1с,(йь Т,)', '(6.25) а зная (или выбирая) внешнее ввбрационное воздействие, надо учитывать также зависимость й.(в, .). ;(6.26) Итак, процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях исследуется по линейному уравнению (6Л9) без определения зависимости а(хе).
Однако если все же необходимо определить величину амплитуды а(хе), то аналогично уравнению (6.5) решение уравнения (6Л2) запишется в виде Е(а, хс) = Ве-'~, сде 2 ( а) 0 Оса) + я Все) (д (а, а ) + 1д' (а, а )) 6' йса) Графическое решение получается, как показано на рис. 6.2, с той только разницей, что здесь строится серия кривых Я(а) для разных значений хс. В результате на пересечениях этих кривых с окружностью радиуса В и определяется искомая зависимость и(хс).
Тогда можно, согласно (6.15), найти н нелинейную функцию Ф(хе), если необходимо учесть зту нелинейность в уравнении процесса управления (6.16). В связи с изложенным на практике часто возникают следующие две важные частные задачи. Задача 1. Вибрацнонное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности прн помощи вынужденных вибраций. Свойство плавности функции Ф(яг) (рис.
6.8) как характеристики прохон1дения медленного сигнала в процессе управления х'(г) через нелинейное Муиаасиас1 сааю сисгжю' „1' Г ! ! Л Ряс. 6.13. звено при любом очертании нелинейности с'(х), имеющей скачки и петли, называется еибрационнььи сглалсиеанием нелинейности для процесса управления при наличии вынужденных вибраций. Поскольку за счет етого возникает возможность обычной лннеаризацни полученной сглаженной характеристики (рис. 6.8) в виде Ф= .= Й,яз, то говорят также о еибрационной линеаризации нелинейности. В технике вибрационное сглаживание применяют следующим образом.
Непосредственно у входа нелинейного звена (напрнмер, релейного злемента), как показано на рнс. 6.13, прикладывается внешнее внбрациопное воадействие ~(г) = Вз1п юг с частотой вьппе полосы пропускания линейного звена 2. Тогда вынул~денные вибрации локализуются во внутренней части системы. Сигнал на входе нелинейности имеет вид х = хе+ х" = х~ — ха + г (1), причем хе = х1 — хв, х* = г (8) = Ваш ай Отсюда следует, что амплитуда а, и фаза ~р симметричных вынужденных вибраций переменной х равны соответственно а, = В, <р = 6. Таким образом можно ликвидировать гистерезисную петлю или вону нечувствительности реле (рис. 6.9) и получить для сигнала управления, согласно (6.21), линейную характеристику с ковффициентом яу'В' — Ь' или же ликвидировать зону нечувствительности (рис.
6.11), получив 2ь ь Ь =-й — — 1п — В> Ь. н— в Аналогично можно преобразовать сухое трение в трение, пропорциональное скорости, и т. п. Величину й„ можно регулировать амплитудой В внешнего воздействия, не выводя ее, конечно, за допустимые пределы. 11роме того, амплитуда В должна быть во всяком случае болыпе максимально возмолшого значения сигнала х', до которого хотят обеспечить линейность характеристики. например, для петлевой релейной характеристики (рис. 6.9), согласно (4.31), должно быть В ~ Ь+ ~х'~. Задача 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
