popovEP2 (950647), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Устойчивость системы не зависит от величины коэффициента обратной связи, если производная введена с достаточно большим коэффициентом. ф 5.4. Исследование устойчивости методом гармонической лииеаризации Для нелинейных систем с одной нелинейностью, обладающих свойством фильтра ($4.1), можно определять устойчивость как свойство затухания переходных процессов. Это непосредственно вытекает из материала т 4.3 (см., например, рис, 4.16, 4.18). При этом граница устойчивости может быть определена как граница областисуществования периодическим собственных колебаний в системе (К= К„, на рис.
4.16, 418) т. е. как граница появления пары чисто мнимых корней в характеристическом уравнении гармонически линеаризованной спгелм. А это в свою очередь можно определить, приравняв нулю предпоследний определитель Гурвица Ь„1 — — О, если все стальные определители положительны (дпя систем третьего и четвертого порядка это означает просто положительность коэффициентов характеристического уравнения). Ограничимся рассмотрением однозначных нечетных нелинейностей г'(х), гармоническая лпнеаризация которых имеет внд Р(х) = д(а)х.
(5.32) Величина коэффициента д(а), как видно из графиков, полученных в т 4.2, меняется в зависимости от а в различных пределах для различных форм однозначных нелинейностей. Для одних — в пределах О «~ т' < со1 (5.33) для других — с некоторыми конечными предельными значениями: О < д <г1 г1 -. д ~ оо, г~ == д < гм (5.34) где г1 и гз — определенные числа для каждой нелинейности (см.
4 4.2). Бесконечный интервал (5.33) охватывает все виды однозначных нелинейиостей, Для отыскания границы устойчивости системы (5.31), как границы появления периодических колебаний с какой-либо амплитудой а, надо потребовать выполнения равенства Л„~'(д) = О хотя бы при каном-либо одном значении д в воаможном для данной нелинейности интервале (5.33) или (5.34). Область же устойчивости системы будет лежатьс той стороны этой границы, где Л ~(д):» О при всех возможных для данной нелинейности значениях д. Так, в примере 1 $4.3 имеем й > д > О, причем граница устойчивости (5.31) получается при д = Й, а условие (5.35) выполняется, согласно (4.48), при й)Сэ < — + —.
1 1 т, т,' Аналогично в примере 2 т 4.3 имеем О~ д ~д „, д „= 2с/яЬ, и граница устойчивости (5.31) достигается при д = д, а область устойчивости (5.35) Если же речь идет об определении абсолютной устойчивости при любой форме однозначной нелинейности, удовлетворяющей лишь условию (5.16), т. е. Г(О) = О, хр(в) ) О при х чь О, '(5,36)' или (5.22) при наличии воны нечувствительности, то надо потребовать удовлетворения условия (5.35) при любом значении д в бесконечном интервале (5.33).
Граница (5.31) области абсолютной устойчивости '[5.35) определяется обращением в нуль минимально возможного при О ~ д -= со значения Л -ь Это минимальное значение,может получаться как при конечном значении д внутри интервала [О, сс1 (рис. 5.14, а), так и при одном из крайних значений д = О или д = оо (рис. 5 14, б). Иначе говоря, граница устойчивости может быть определена иэ пары условий сап-ъ А„,(д) =О, ~ ' — — О, (5.37) дд вли А. (р) =О, д=о, (5.38) или же Ь.,() =О,7- '(5.39) Пркведем примеры.
Пример г. В качестве первого примера рассмотрим абсолютную устойчивость той же системы управления курсом самолета (рис. 5.9), которая в $ 5.3 исследовалась методом Ляпунова. Проведя гармоническую линеаризацию нелинейности г'(и) = д(а)и, получим, согласно р „. бгг уравнениям (5.2$) — (5.23), характеристическое уравнение системы в виде Т,Лз+($+ Т1йосд(а)])з+д(а)(й„+Ь,й„е)Х+ + ятйер (а) = О. Условия (5.37) принимают вид Ь„, = (1+ Т,й„д) (Ь + Й,1сге) д — Т,й йед = О, л-1 — "' = 2Т И (й~ + йй е) г7 + й + Кй — Т ййе = О.
(5.40) Рба они удовлетворяются при д = О, если )с + йоге Т~~е = О (5.4() Это — граница устойчивости (типа (538)). Условие же устойчивости Ь„-1 ) О при любом положительном значении д, как нетрудно видеть, запишется в виде й„ + й1й — Т1й,й, ~ О, откуда непосредственно вытекают оба условия (5.30)' и оба графика рис. 5.13, полученные методом Ляпунова. Гаков совпадение имеет место не только в данном примере, но и для большого класса нелинейныхсистем [22). Рас. 5.15. Пример 2. Система (рис. 5.15) вадана уравнениями '(Т~р+ 1)ха = — Й~хн ха = Е(х), х = ха — й,„хп (Тир+ 1)рх~ = Аахм При замене Е(х) = дх получаем характеристическое уравнение Т~Та)~+ (Т~+ Тт)Х~+ (1+ Т,йал д)Х+ +(й1+й)йадО Предпоследний определитель Гурвица Л -1 = (Т1+ Те) (1 + Т!йтймд) Т!тт(й1 + й с) йад.
На границе устойчивости, согласно (5.37), имеем й„,= Т, + Т,+ Ттй,(Т~,— Т,й,)д=О, ааа -1 — '' =. ТА (ТА — Т,йд = О. (5.42) Отсюда — граница абсолютной устойчивости, имеющая место при д = оо: т а йоС = —, т, (5.43) В предыдушем примере условие устойчивости определялось условием (5.38), т. е. д = О.
Здесь ~ке имеет место :лучай (5.39), т. е. д = со. Очевидно далее, что условие абсолютной устойчивости системы Ь ~ ~ О, согласно (5.42), при любом апачении д определится неравенством й,-> Тзк1/Ть В соответствии с этим область устойчивости представлена графически на рис. 5.16. В 122) имеются примеры, когда условия границы устойчивости (5.37) выполняются не только при крайних значенияхо = Оклик = оо, как здесь, но при промежуточных конечных значениях в в соответствии с рис. 5.14, а. Уаж'гввггяв Рве.
5дб. Рассмотрим теперь влпяние конкретной формы нелинейности на устойчивость нелинейной системы в обоих характерных случаях, приведенных в примерах 1 и 2. 0 и ф Рис. 5.17. Пример 3. Пусть в примере 1 задана конкретная форма нелинейности (рис. 5.17,а), для которой коэффициент гармонической линеаризации в лежит в интервале О~д~й. (5.44) Поскольку граница устойчивости (5.41) определялась наименьшим значением д = О, то она останется той же и при данной конкретной форме нелинейности. Но здесь следующим образом может быть определена область неустойчивости системы (в целом).
Равенство Ь„1 —— О, определяемое формулой (5.40), при д = 0 дает границу устойчивости, а при всех остальных значениях д(а) в интервале (5.44) равенство (5.40) определяет автоколебания. Но зто возможно, согласно (5.40), только прн условии ~ос+ ~1~Р9 йч С т ь (( + Т1йос171с) 1"1 (5.45) Иначе окажется Л„1 ~ 0 при любых значениях д в интерва- 17 р ле (5.44), т. е. система не- устойчива.
Рис. 5.18. В результате получаем в данной системе трн области (рис. 5 18): устойчивости, автоколебаний и неустойчивости. Здесь граница устойчивости определяется формулой (5.41), а граница неустойчивости, согласно (5.45), ~ос+ атаре й... (( + т,й.д„). 11 Однако во многих случаях нежелательно входить и в область автоколебаний. Тогда выбор параметров системы ограничивается областью устойчивости. Пример 4. Пусть та же конкретная форма нелинейности (рнс.
517,а) фигурирует в примере 2, приведенном выше. Поскольку граница абсолютной устойчивости (5.42) получается прн с = оо, то ограничение значений о интервалом (5.44) расширит область устойчивости. Вместо (5.43) из (5.42) при д= д получим новую границу тЛ т1+ ~1 т, Усас „ В соответствии с этим область устойчивости при конкретной Форме нелинейности вместо общего случая (рис. 5.16) расширится, как показано на рис. 5.19. За этой границей имеет место область автоколебаний. В ааключение заметим, что описанное выше исследозание устойчивости нелинейной системы методом гар- ~,.л.
7; а) Рвс. 5.19. ионической линеаризации может быть выполнено и с пришечением критерия Михайлова вместо критерия Гурвила. Подставив в левую часть характеристического уравнения гармонически линеариаованной системы ), = Гы и выделив вещественную и мнимую части В0ю, у) = Х(ю, д) +1У(ю, Ч), надо потребовать выполнения критерия Михайлова при всех возможных значениях д (5.33) или (5.34). Иначе границу устойчивости можно определить как границу области, в которой Х(ю, д) =О, У(ю, д) =О, г. е. как границу области существования автоколебаний.
Это бывает удобно в более сложных случаях. Пример будет рассмотрен в конце $ 7.2 (пример 4). $5.5. Частотный критерий абсолютной устойчивости Выше мы уже получали условия абсолютной устойтивости в различных случаях. Аналогично для цели исзледовадия абсолютной устойчивости нелинейных систем слунсит частотный критерий устойчивости В.
М. Попова. Он дает достаточные условия абсолютной устойчивости нелинейной системы по виду частотной характеристики линейной части системы. Пусть в системе имеется одна однозначная нелинейность Е(х) (рис. 5.20). Рассмотрим два случая располонсення характеристики: пер- вый — нелинейная характеристика располонсепа в секторе [О, й ), как на рис. 5.20, второй — в секторе [йн й ), что будет показано нннсе. Начнем с первого случая: 0(Р(х)<й х.
(5.46)' Линейная часть системы описывается уравнением с',7(р)х * — лс(р)у, Рис. с.Ы. причем степень многочлена с,с(р) болыпе степени мпогочлена Л(р). Передаточная функция линейной части И'(в) Л(в)/с'„г(е) имеет полюсы с отрицательными вепсественныисс частями, причем допускается наличие не более двух нулевых полюсов. Приведем без доказательства формулировку теоремы В.
М. Попова (доказательство см. в [ЗЦ). Теорема Попова. Состояние равновесия нелинейной системы будет абсолсотно устойчивым, если нелинейная характеристика находится в секторе [О, к ) и существует такое действительное число Ь, что при всех св > 0 выполняется неравенство Не [(1 + )сс)с) И'()св)) + — „) О, (5.47) где И'()сс) — амплитудно-сдавовая частотая характеристика линейной части системы. Для удобства графического представлении этого критерия вводится моди4ицированссая частот я характеристика лвнейпой части И'„'(усе) = У„(сс) + / $'„(61), где О'„,(ю) = О'(со), т'„(ю) = сот'(со).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
