Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Х1 Подставив эти выражения в уравнения объекта, получим искомый закон управления: 2 ° =-'( (и) (й'« "»( -д6м))- [х2 + в21(х2 х2) + огг(хг хг)) 2 (х1 х2 х1 х2) Хг и2 (х2 + а21(х2 х2) + в22(х2 х2) 1(х1 х2 х1 хг)] г 8.2. Синтез систем с переменной структурой Системы с переменной структурой (СПС) второго порядка были рассмотрены в гл. 2, где было продемонстрировано, как методом фазовой плоскости синтезировать СПС. Там, в частности, было показано, что в некоторых случаях можно получить скользящий режим движение по вырожденной траектории. За счет организации скользящего режима можно обеспечить системе управления нужные свойства в условиях неполной информации - в условиях, когда не известна точная модель объекта управления или его свойства непредвиденным образом изменяются в широких пределах в процессе функционирования системы.
В данной главе рассматриваются задачи синтеза СПС произвольного порядка, функционирующего в скользящем режиме. В общем случае для того чтобы СПС, в которой создается скользящий режим, была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие три условия: 1) условия попадания; 2) условия скольжения; 3) условия устойчивости скользящего движения. Рассмотрим эти условия. 8.2.1.
Условия скольжения и попадания. Пусть система с переменной структурой описывается уравнениями х = 1'(х, и, с), х Е Ло, и Е Л, (8.4а) 16 Д.П. Кнм 242 Гв. 8, Мевлодьл еинтаева еиетием упулаевехиа и' (х,1), в(х) > О, и и (х,1), в(х) < О, (8.4б) 1пп 1(х,и,!), Г~ = 1шг 1'(х,и,1).
Дх1 — т — 0 Дх1-т-'те Производная по времени функции в(х) в силу уравнения (8.4а) имеет вид в(х) = ~'(~) !'(х, тл, 1) = 8гас( в(х) . !'(х, .и, 4). дх Градиент йгаб в(х), как известно, направлен по нормали к поверхности Я в сторону возрастания функции переключения в(х), т.е. в сторону, где в(х) > 0 (рис. 8.2, а).
Поэтому если предел в = !пп в(х) = 8гас! в(х) . Г, !' = 1(х,и,1), е1х1-т-0 больше нуля (й > 0), т.е. угол между векторами 8гас! в(х) и !' острый, то вектор ! направлен в сторону подпространства Л" в(х) > О ,(х) < О 8 д (х) О в(х) > О в(х) г" 8гас1 в(х) Рис. 8.2. Поверхность переключения (рис. 8.2, б). Если указанный предел меньше нуля (й < 0), то вектор 1' направлен в сторону подпространства Л" (рис. 8.2,в). Аналогично, если предел вт = 1пп в(х) = 8гас! в(х) Гт, Гт = л(х,ит,!), е С т1-т -~-0 больше нуля (в ' > 0), то вектор Г" направлен в сторону подпространства Л", если меньше нуля (в+ < 0), то вектор Гт направлен в сторону подпространства Л". Точки на поверхности переключения Я можно разделить на три типа (7).
Здесь 1(х, и, 1) непрерывная функция, удовлетворяющая условию Липщица; ие(х.,!), и (х,г) непрерывные функции и ит(х,г) у': у': и (х,1): в(х) непрерывная функция, опредоляющая поверхность переключения. Поверхность Я, определяемая уравненном в(х) = О, делит пространство состояний Л" на два подпространства: подпространство Л" = (х: в(х) < О) и подпространство Л'„' = (х: в(х) > О). Правая часть уравнения (8.4а) !'(х,и,е) в силу уравнения (8.4б) на поверхности Я терпит разрыв.
Однако существуют левые и правые пределы; 8.8. Синспео систем с переменной тпруктурой 243 К первому типу относят точки,в которых произведение й в+ положительно: в в+ > О. В этих точках векторы Г и Г+ направлены в одну сторону (рис. 8.3, отрезок ВС). Ко второму типу относят тс точки, в которых в < О и вь > О. В этих точках вектор Г направлен в сторону подпространства Л', а вектор (~ в сторону подпространства Л~,', т.е. они направлены в разные стороны от поверхности переключения (рис.
8.3, отрезок АВ). Третий тип составляют точки, в которых выполняются условия Л". В~ У =8гас4в(х).Г >О, С в~ = 8гас1 в(х) Г+ < О. (8.5) В этом случае векторы Г и Г+ направлены к ьз поверхности переключения, т.е. фазовые траек- Рис. 8.3. Три типа торин у поверхности Я направлены встречно. В точек на поверхносслучае попадания изображающей точки в эту ти переключения группу точек на поверхности Я начинается процесс скольжения (рис. 8.3.
отрезок СВ). Условие (8.5) называется условием суиСествования скольоксния или просто условием скольжениег, поверхность переключения, состоящая из точек третьего типа, называется поверхностью скольжения. Указанные три типа точек в общем случае отделяются друг от друга многообразием, в точках которых или й = О, или ве = О, или выполняются оба эти равенства.
На поверхности переключения правая часть уравнения (8.4а) терпит разрыв. Однако в точках первого и второго типов этой поверхности описание движения изображающей точки вопросов не вызывает, так как в непосредственной близости от этой поверхности она движется с фазовой скоростью Г или Г+, а на самой поверхности значение ее скорости не играет роли, так как изображающая точка при попадании на одну из точек первого или второго типа мгновенно сходит с поверхности.
Проблема возникает при описании скользящего режима, т. е, при попадании изображающей точки на одну из точек третьего типа на поверхности Я. Это связано с тем,. что при скользящем движении фазовая ско- ЛХ рость изображающей точки не равна ни Г ни Ге. Г Рассмотрим, с какой фазовой скоростью происходит движение изображающей точки в процессе скольжения, т.е. чему должна быть равна правая часть уравнения (8.4а) в(х) = О при описании движения в скользящем режиме. Пусть точка В лежит на поверхности Я, через которую проходит траектория сколь- Рис. 8.4. Определение фажения (рис.
8.4). Проведем векторы Г и Гл вовой скорости на участвыходящие из этой точки. Соединим концы ке скольжения 16 244 Га. 8, Методы синтезе светаем управления этих векторов прямой и найдем точку М пересечения этой прямой с касательной плоскостью к поверхности Я в точке Л. Считается, что в точке Ь скорость скольжения совпадает с вектором ЬМ [7, 2]. Для того чтобы изображающая точка, находящаяся в состоянии х (в(х) ф О), двигалась в сторону поверхности скольжения, необходимо и достаточно, чтобы при е(х) > О производная по времени в(х) в силу уравнений (8 4) была отрицательна, а при в(х) < О - положительна. Таким образом, условие попадания изображающей точки на поверхность скольжения имеет вид е(х)е(х) < О. (8.6) Это условие называют условием попадания.
8.2.2. 'Уравнение движения в скользящем режиме. Как отмечалось выше, возникает проблема описания системы с переменной структурой при ее движении в режиме скольжения. Был рассмотрен один из возможных способов описания такого движения. Здесь эту проблему рассмотрим более подробно. Возможны два подхода к решению проблемы описания идеального скользящего движения; аксиоматический подход и подход, основанный на предельном переходе [56]. Рассмотренный выше способ определения фазовой скорости при скользящем режиме основан на аксиоматическом подходе. Под идеальным скоаьэяшим режимом понимается такое движение, при котором изображающая точка совершает относительно поверхности скольжения колебания с бесконечно большой частотой и бесконечно малой амплитудой.
Реальное скользящее движение из-за различного рода запаздываний, гистерезиса и других «неидеальностей» переключающего устройства совершается с конечной частотой и конечной амплитудой. И это движение может быть описано, так как при реальном скользящем движении изображающая точка в основном совершает движение вне поверхности скольжения. Подход, основанный на предельном переходе, состоит в том, что, имея описание реального скользящего движения и совершая предельный переход при устремлении запаздывания или других «неидеальностей» к нулю, получаем описание идеального скользящего движения. В последнее время наибольшее распространение получило аксиоматическое описание скользящего движения, предложенное А.
Ф. Филипповым [56]: х= го(х,1) го рГь+(1 р)1' ' (О < р < 1) (87) Параметр р определяется из условия, что вектор Г~ располагается на касательной к поверхности скольжения плоскости. В случае скалярного управления это условие можно записать в виде бгас1 в(х) 1~ = О. Подставив сюда выражение для г"о из (8.7), получим 8гад в(х) г"о = бгас1 в(х) [р Г" + (1 — р)Г ] = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
