Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 43
Текст из файла (страница 43)
дх) — ~.~-0 Если при г < й г-е неравенство в условии (8.206) не выполняется, т. е. имеет место неравенство с а~"~ — (с Ь)Д вЂ” сс(с арб) < О, то при х„> 0 и [л„[ » бе[ из (8.22а) и (8.19) получаем я = 1пп й = [с аб~ — (с Ь)сОс — с„(старб))т, — (стЬ)6 < О. бх) — ~ — 0 Следовательно, при г < х условие скольжения (е+ < О, е > 0) не выполняется, если не выполняются соотношения (8.20). При г > 1 не выполняется г-е неравенство в условии (8.20в), т.е. имеет место неравенство с арб — с„(с абб) > 0 (8.23а) или с аб~ — с„(с абб) < О.
При я„> [4>[ из (8.226) и (8.19) находим е+ = 1пп й = [с абб — с„(с арб))хс — [(с Ь)до[ > О, дх) — нио (8. 236) если имеет место неравонство (8.23а), и е = 11ш й = [стаМ вЂ” с„(с абб))х„— [(с ЬМО[ < О. е(х) — ~-О если имеет место неравенство (8.236). Следовательно, и при г > й условие скольжения (е+ < О, .з > 0) не выполняется, если не выполняются соотношения (8.20).
Таким образом, необходимость выполнения соотношений (8.20) для возникновения режима скольжения доказана. Теперь поясним, чем вызвано вклк~чение в закон управления (8.19) малого слагаемого б . При й < л — 1 на поверхности переключения е(х) = 0 в точках, в которых я; = 0 (1 = 1,2,...,Й), имеют место равенства йч = 0 и е = О. Поэтому если принять 6 = О, то при попадании в одну из таких точек.
не являющуюся началом координат, изображающая точка может не устремиться к положению равновесия или при попадании в начало координат по указанным точкам может удалиться из положения равновесия. При й = п — 1 можно принять б„ = О, так как в этом случае на поверхности переключения з(х) = 0 равенства е+ = 0 и е = 0 252 Гл. 8, Метаады сиитаева сисглем управления имеют место только в начале координат. Лействительно, в этом случае вт = 0 и в = 0 в точках х = 0 (1 = 1,2,...,п — 1).
Но такая точка одна, так как в этом случае из в(х) = 0 следует, что и т,„= О. При синтезе СПС (8.12), (8.19) в случае й < и. — 1 постоянные с, (т = 1, 2,..., п — 1) нельзя назначать произвольно, так как они должны удовлетворять условию (8.20в). При и = п — 1 эти постоянные можно назначать произвольно, так как в этом случае условие (8.20в) отсутствует. Выполнение условий (8.20а) и (8.20б) обеспечиваются выбором констант ад и т д О = 1, 2,, К) Пример 8А. Система с переменной структурой (СПС) описывается уравнениями 21 = 22. х2 = хз, хз = тх, (а, в>0, и= т(тхт бь ~= т( в=стхт+сгхг+хз, в<0, ( бо, в(2) > О, ба = ~ ', бо = ~бо(218п(с Ь). ( -бо, в(х) < О, Требуется определить параметры а, Д, ст и сг, при которых СПС совершает скользящее движение, а степень устойчивости при этом движении принимает максимальное значение. Решение.
В данном случае й = 1, п = 3 и условия скольже- ния (8.20) принимают вид (стЬ)а ) ста10 ст(ста(зт) (стЬ)1 ( стаЯ т 1(от а 3) ) Статг)т С (Ста121) Матрица А и векторы-столбцы Ь и с имеют соответственно вщт А= 0 0 1 Отсюда получаем с Ь=1, с аЯ=О т тг~ с аРО = сг. Условия скольжения принимают вид а ) — стог, /5 ( — стог, ст = Сг, 2 или з г -а ( Сг < -~Зь Ст = Сг. Методом эквивалентного управления получим уравнение скользящего движения.
Однако в данном случае нет необходимости непосредственно вычислять эквивалентное управление. Это связано с тем, что в первые два уравнения не входит управление, а переменную хз при скользящем движении можно найти из уравнения плоскости скольжения. Исключив из первых двух уравнений переменную хз, 8.Я. Синтез систем с переменной апрукгпурой 253 получим уравнения скользящего движения. Из уравнения ь(х) = = сьх1 + сзхз + хз = 0 накопим хз = — с1х1 — сзхз. Попставив это выражение во второе уравнение объекта, получим следующие уравнения для скользящего движения: х! = хз, хг = С1х1 Сзхз. Характеристическое уравнение имеет вид 2 = Л + сяЛ + с1 = О.
— сз — Л вЂ” С1 Его корнями являются сэ (сз — 4с! Сз . чу Л!,2 —— — — ~ !! = — — ~ усг —. 2 7 4 2 2 ' При вычислении этих корней учтена зависимость с1 = сз в условиях скольжения. Как следует из условий скольжения, степень устойчивости У= сз/2 пРинимает максимальное значение пРи сг = ьз! — Д. Если значение параметра Д (11 ( 0) из каких-либо соображений установлено, параметры с1 и сз определяются однозначно; сз = ~/ 1.' с1 =сз= ~/7 В соответствии с условиями скольжения значение параметра о выбирается так, чтобы выполнялось неравенство о ) (3.
Условие устпойчивосгпи скользящего движения. Свойство (устойчивость и качество) скользящего движения в значительной степени зависит от плоскости скольжения в(х) = О. При ее выборе нужно прежде всего позаботиться об устойчивости скользящего движения. Как уже отмечалось., в случае системы с переменной структурой (8.12), (8.19) в силу необходимости выполнения соотнощения (8.20в) плоскость скольжения произвольно выбрать нельзя. Рассмотрим, при каких условиях скользящее движение указанной системы будет асимптотически устойчиво. Теорема 8.1 ([56)).
21ля того чтобы скольэяи4ее движение системы (8.12), (8.19) на пхюткоспт в(х) = стх = 0 (сп = 1) было асимтпотически устойчиво, необходимо и достаточно, чтобы все корни хс!рактеристического уравнения системы (8.12) при эквивалентном управлении, кроме корня с а! "1, имели отрицательную веилественную часть. П о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть уравнение, которое получается при подстановке в (8.12) эквивалентного управления, имеет вид (8.24) х = Рх. Если в этом уравнении исключить переменную х„, выразив се через остальные фазовые переменные из уравнения в(х) = с х = О, то получим уравнение скользящего движения. Поэтому чтобы доказать теорему, достаточно показать, что характеристическое уравнение 254 Гж 8. Методы еингиеза енетеее унравиения системы (8.24) имеет один корень с а1и1, а остальные его корни совпадают с корнями характеристического уравнения скользящего движения. Производная по времени функции в(х) в силу уравнения (8.12) имеет ви и — 1 и — 1 й;„( — Е'И*)ЕИ, ~и12,..., — 1, /.=1 и — 1 и — 1 =ко" и,,"' ( -Е л)еи.еь 1=1 1=1 или и — 1 х, = ~ (аб — о,„с )х„+ аыв+ Ь,и, 1= 1,2,...,и — 1, (8.25а) 1=1 и — 1 й = ~и [стабй — (с~а1и1)со)х + (с а1и1)в+ (с Ь)и.
(8.256) 1'=1 Найдем эквивалентное управление. Лля этого в уравнении (8.256) положим й = О, в = О и разрешим его относительно управления: и — 1 и = —,, ~ [с ஠— (с а~"~)с,)х.. (8.26) (' Ц,= Подставив это выражение для управления в (8.25), получим и — 1 х, = ~~ (а1 — о„,с — — '[с абб — (с а1"1)с ]~хд+аыв, ст 1=1 1 = 1,2,...,в — 1,  — (Ста1и1)я Введя обозначения Х = (Х1 ХЗ ... Х„ 1), а = (а1„ аэи ... аи 1и), А = (ае ), (1~ т -1и1 т (ц д и '= т-= т(А-+Ь ) =, ','«т'О)х,+(тЬ)' 1=1 Уравнение (8.12) в скалярной форме примет вид хе=~~ а;х +Ьи, 1=1,2,...,те. 1=1 В этих уравнениях заменим переменную т„на в, Лля этого последнее уравнение этой системы заменим на приведенное уравнение для в и — 1 и исключим пеРеменнУю хи, сделав подстановкУ хи = в — 2 с х..
=1 Тогда получим 8.е. Синтез систем с переменной структурой 256 а~ = ац — а;пс. — — ' ~с~аб~ — (с а~"~)с,), г, у = 1, 2,..., и — 1, ст последнюю систему можно записать в виде хц~ = А~цхб~ + аббе (8.27а) е = (с арб)е, (8.276) или к=Ск, к=, С= т 00 . (828) Здесь 0„1 - - вектор-строка, состоящая из тс — 1 нулей. Характеристическое уравнение последней системы имеет вид АО~ — ЛГ абп ~С вЂ” ЛТ„~ = = !АО~ — Л1п 1!(с арб — Л) = О, где 1о г .—. единичная матрица порядка и — 1. Один корень этого уравнения равен с арб, а остальные корни находятся из уравнения /А~Π— Л1„~! = О.
При е = 0 уравнение (8.27а) является уравнением скользящего движения, и его характеристическое уравнение совпадает с приведенным выше уравнением. Таким образом, характеристическое уравнение системы (8.27) имеет один корень Л = ста~ 0 и остальные корни, равные корням характеристического уравнения скользящего движения.
Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, корни характеристического уравнения системы (8.24) совпадают с корнями характеристического уравнения системы (8.28). Уравнение (8.28) получается из уравнения (8.24) путем преобразования к, = ьо 1 = 1,2,...,п — 1, кп = еп — (с1яг+сзяз+ .. +со — зяо,— с), или х=Тк, Т= где О" 1 нулевой вектор-столбец (и — 1)-го порядка. Матрица Т является неособой 01есТ = 1) и собственные значения матриц Р и С = Т ~РТ совпадают. Теорема доказана. Сингпез усгпойчивоно снользнщеео движении.
Рассмотрим, как на основе доказанной теоремы синтезировать закон управления СПС (8.12), (8.19), при котором обеспечивается асимптотически устойчивое скользящее движение. Так как условия скольжения рассматриваемой системы включает равенство (8.20в), то эквивалентное управление (8.26) принимает вид ь и = — ~~ ~с ஠— (с арб)сДк .. (8.29) 256 Гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
