Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 40
Текст из файла (страница 40)
<з) (з) <з) <з) )з) <з) Отсюда получаем )з) )з) )з) =1, В (з) 1 1 )10 01 Так как матрица Се = ~ ) (1 = 1,2,3) является диагональ- ной, то ее собственные значения совпадают с ее диагональными эле ментами, поэтому имеем Лс, 10, 1 = 1,2,3.
Составив характеристическое уравнение и решив его, для минимального и максимального собственных значений матрицы Вз получаем Лп' = 0,9 и Лвм' = 11. 234 Гм 7. Системы большой размерности. Чтобы определить элементы матрицы Р, согласно формуле 17.45) нужно определить постоянные 1Ьь )з 1к, 1 = 1,2,3, Ь ф Я. Евклидовы нормы векторных функции 1з01 1з = 1, 2,3) удовлетворяют соотношениям )ЬО~)~ = 0,0025(з1пт~ ~) + 0,011е ~*' ~ — 1) ( < О 0025 1т~ ~) + О 011т~ ~) < 0013(к~ ~) < 0 013/т~~~!~, !ЬОО!~ = (),002511 — соз2т ~) + 0,011е ~" ~ — 1) ! и)( = 0,0025.4зш~и, +0,011е ~*' ~ — 1) < (001(л, ) +001(и, ) (002(л~ ~) (002/т~~~!~, /Ь~~~!~ = 0,011тз~ ) е ~~из ~ +0,00251зш2л~ 1) ( < 0,01 <т,"')Я+ 0,011',")' < 0,01( 1Ц!з.
В соответствии с неравенством Коши-Шварца имеем з з з ~з" е (Еи'~) Ез' Еи е з=з з=1 з=! Поэтому из приведенных выше соотношений находим Ь,з = 0,013, Ь,з — — О, Ьз, = О, Ьзз — — 0.,02, Ьз, — — 0,01, Ьзя — — О. Лв' = 6, .Лв' = 1,23, Лд' = 2,61, Л~~~з — — 11, Л~' = 10, з = 1,2,3. Лв' = 2,3, Лв' — = 0,9, т Теперь определим элементы матрицы Р: Лс' сзы = —— 2 Л"' М = — — = — 0,84,. 2.6 лс.
10 — = — 1,91, 2. 2,61 сз22— 2 Лвз :! Лс'з — = — 0,45, 2. 11 2 Лв' и 2Лл' з 2.6 1й 1,23 Лез 3 2 6 Для удобства выпишем здесь полученные выше собственные значения матриц Вь и Ся 1Ь = 1, 2, 3): 235 Задами 2(Ль')' „г Лс41в1 1 21 2(Л~~а)1 Лс,Лвз 2(Льв14)2 Лса Лв1 Ь + , салаг Г 31 и В имеот вид лз ) = Г ' ) 0,02=0.,012, сГ21 = )12 ) = Г ' ) 002— = 003, 10.0 д а23 = ы ~,и и 32 Матрица -О, 84 0,076 0,104 0,012 — 1,91 0,03 0,01 0,20 — 0,45 121 — †( — 1)( — 0,84) = 0,84 > О., 222 = ~ 0 012 1'9 ) = 1,6 > О, à — 0,84 0,0761 — 0,84 О 076 0,012 — 1,91 0,.01 0,20 0,104 0,03 = 1,33 > О. — 0,45 Сл овательно сис ~з = Г-1)' Условие устойчивости выполняется.
ед тема сравнения и агрегированная система устойчивы. Задачи 1. Произвести децентрализацию по входу Гуправлению) системы, которая описывается уравнениями х1 = — х1+ хз+ 2хз + 2х4+ и1+ из, хз = — 4хз+хз+х4+2из, хз = — х1+ 2 ха — Зхз + 24+ 2и1+ из. х4 = х1+2хз — 2х4+и1. 2. Произвести децентрализацию по входу Гуправлению) системы, которая описывается уравнениями х1 = — 2х1+ хз+ 2хз+ 2х4-~- 0,3хз+ и1+ из, хз = — 2хз+хз+0,1хз+2из, хз = — 2х1+:гз — 3хз + х4+ 0,2 ха + 2и1+ иг, х4 = х1+ 2 хе — 2х4+ ха+ и„ хз = — 0,2х1+ 0,5хз+ 2хз+ 2х4 — Зхз + Зи1+ 2 из. Она является М-матрицей, и необходимое условие ее устойчивости вы- полняется.
Проверим условие устойчивости Севастьянова †Котелянс- кого (7.39): 236 Гм 7. Системы бельгией раэмерноссли. 3. Исследовать устойчивость системы, состоящей из двух под- 4. Исследовать устойчивость системы, состоящей из двух под- систем х( = — (3+ яшг 4)х; ) + 0,5х( ) + 0,1т1( ), х( = — х( ) — (1+ е 1)х( ) + О 05х( г Яг. х = — 2т — 31пх(1 ) + 0,05х( ).
5. Исследовать устойчивость системы, состоящей из трех под- систем .(г) 1 6. Исследовать устойчивость системы, состоящей из двух под- систем 7. Исследовать устойчивость системы, состоящей из двух под- систем 0,1(1 — соя2х1 ), 4 х( ) + 0,1 (е ) ) — 1); = — 4х, + (1) (1) 1 = — 2т х( ) +0,1е бх( + 0,0531п2х (2) 1 = — 5х систем )т() *1 .(2) Х1 .(2) г Я~ ..
. (2) 1 . (2) Х2 й(1) ,,( / х(2) . (2) т2 — 4х1 — 5хг + 0,1х1 (1) - (Ц (2) 5хг +01х1 (1) (1) (2) — (3+сап 1)х, +О,охг +0,1х — 2х1 ) — (с1+ е 1)хг( ) + О 05 х( ) — (3+ ьчп 1)х1 + 0,5хг + 0.1х, — х( ) — (1+ е с)х( ) + 0,.05 х( ); 4х(') 5 х(') + 0,1 х — 3хг — 5хг + 0,05хг (Ц (2) (3) — 2х — яшх +0,05тг (2) . (3) (1) — 2х +х +0,05яшх -4 х( ) + 0,1 (е )2) ) — 1):, — 4х1 + 0,1(1 — соя2х, ), 00 (1) 2 (2) — 4 (2) -)- 0,11 (*)о) — 1). 237 8.
Исследовать устойчивость системы, состоящей из трех под- систем '( '( х =х +01х е 1 2 ~ 2 х = — 5х — бх + 0,05сйп2х х, ~ = — 4х, ) + 0,05(1 — соз2х) ~), х = х — 4х +0,11е ~'» ~ — 1); х = — х +х +005ашх хя ~ = — 2хя +0,0б(е ~*~ ~ — 1) Глава 8 МЕТОДЫ СИНТЕЗА СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ В данной главе рассматриваются различные методы синтеза систем управления: метод обратной задачи динамики, метод синтеза систем с переменной структурой, метод синтеза, основанный на построении функции Ляпунова, и метод синтеза, основанный на декомпозиции. Методы синтеза оптимальных и адаптивных систем будут рассмотрены в следующих главах.
8.1. Метод обратной задачи динамики Как известно, прямая задача, механики (динамики) состоит в том, чтобы по заданным силам, действующим на механическую систему, определить свойства движения этой системы. Обрашн зайачили 0янамикп называют задачи определения сил, действующих на механическую систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой системы [20). Если распространить это определение и на немеханические системы, понимая под силой всякое воздействие, вызывающее изменения в ее движениях, то задачу синтеза можно рассматривать как обратную задачу динамики. Применительно к задачам управления методом обратной задачи динамики будем называть метод синтеза систем, когда по заданным уравнениям объекта и требованиям к качеству системы управления определяется желаемое дифференциальное уравнение, решение которого удовлетворяет заданным требованиям, а затем из найденного уравнения выражается старшая производная и подстановкой ее вместо старшей производной в уравнение объекта находится требуемый закон управления.
Такой метод был предложен Л. М. Бойчуком для определения структуры при синтезе нелинейных систем управления )1Ц. Широкому распространению этого метода способствовали работы Л. П. Крутько ~35). Дифференциальное уравнение, которое задается или определяется по заданным уравнениям объекта и требованиям к качеству синтези- 239 8.д Метод обратной задачи динамики руемой системы управления и решение которого удовлетворяет заданным требованиям, будем называть эт лонным (дифференциальным) уравнением.
П р и м е р 8.1. Объект описывастся уравнением х+ ((х,х,1) = Ь(1)и, о(1) ф О. Требуется определить закон управления, при котором синтезированная система описывается уравнением х + агхо + агх = О. 1эешение. Из эталонного уравнения имеем х = — агх — агх. Подставив это выражение для второй производной в уравнение объек- та,получим 1 и = — [ — агх — агх +,~(х, Т.,1)]. Ь(1) Как легко проверить, при таком законе управления уравнение синтезированной системы совпадает с эталонным. В рассмотренном примере управление входит в уравнение объекта линейно. В таких случаях, если эталонное уравнение задано или определено по заданным требования к качеству системы, закон управления определяется просто.
Если управление входит в уравнение объекта нелинейно, то для нахождения требуемого закона управления по заданному эталонному уравнению требуются определенные ухищрения. Пример 8.2. Объект описывается уравнением у = э(у, у, и). Требуется определить закон управления, при котором синтезированная система описывается уравнением у+ агу+ агу = д(1).
Р е ш е н и е. В данном случае имеем задачу слежения. Функция д(1) является задающим воздействием. Если разрешим эталонное уравнение относительно старшей производной и подставим в уравнение объекта, то получим д(1) — агу — агу — Э (у, .у, и) = О. (8.1) Если это уравнение неразрешимо относительно управления, то требуемое управление находится путем построения следящей системы на основе уравнения [35] и = д[д(1) — агу — агу — Д(у, у, и)], где д положительная константа. Очевидно, что при и о 0 управление удовлетворяет уравнению (8.1). На рис. 8.1 представлена струк- 240 Га. а, Метадьь сииьиева ситьем управления Рис.
8.1. Структурная схема системы турная схема системы, синтезированной на основе последнего уравнения. На этой схеме Е = у(с) а1у — а2у — 1 (у, у, и). Эталонное уравнение будет реализовано, если будет выполнено соотношение е = е(1) — ь О. Последнее, в частности, возможно, когда д(ь) = сопз1 и система асимптотически устойчива. Рассмотрим еще один пример, в котором эталонное уравнение не задано, а заданы требования к качеству системы. В этом случае, чтобы воспользоваться методом обратной задачи динамики, нужно сначала на основе требований к качеству системы определить эталонное уравнение.
П р и мер 8.3. Объект описывается уравнениями хь — — Б(хьь хз, хь, х2) + бьиьь Х2 = 12(Х1 Х2 Х1 Х2) + Ь2и2. Требуется определить закон управления,при котором «скорость» и = ~/х~ + х2 и фазовая координата хз изменяются в соответствии с функциями Решение. Точное выполнение заданных требований невозможно, так как оно зависит не только от выбранного закона управления, но и от начальных условий. Поэтому потребуем., чтобы ошибки вь = и'(2) — и(2), еь = х~(2) — Х2(2) (8.2) стремились к нулю в соответствии с решениями уравнений (8.3) еь + аыеь = О., е22 + азье2+ а22«2 = О.
Чтобы воспользоваться методом обратной задачи динамики, нужно определить желаемый закон изменения вторых производных фазовых координат. Лля этого найдем из (8.2) производные: 2 2 1 е1 = и (у) д ')ььх~ + Х2 = 6 (с) (Х1Х1 + Х2Х2), д1 11 ' 22+22 1 2 ез = Х2(1) — Х2(У), е2 = Х2(1) — Х2(1). 8.2. Синтез систем с переменной струннгррой 241 Подставив эти выражения, а также выражения для ошибок в уравнения (8.3), получим х1х1 + х2х2 )/схг + хг (и (2) + п11(и г„йг + хг )), хг х2 + о21(х2 х2) + а22(х2 х2) О Отсюда находим х2 х2 + п21(22 т2) + в22(с2 х2)~ (е)'~ " ( -Й":)~- (Х2 + О21(Х2 Х2) + 1122(Х2 Х2)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
