Kim D.P. Teoriya avtomaticheskogo upravleniya. T. 2. Mnogomernye, nelinejnye, optimal'nye i adaptivnye sistemy. (950615), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Как было установлено выше, матрица Агг является устойчивой. Поэтому положительно определенная матрица Р, удовлетворяющая уравнению Ляпунова, существует. Производная искомой функции Ляпунова по времени в силу уравнения (6.29) имеет вид Г=е'Ре+е'Ре+р ~~' кй') = дк(гг = е~(А Р+ РА)е+ р —,г ъи(е+ у,хрб) и с учетом уравнения Ляпунова может быть преобразована к виду цг + оег ~ г — + — (гг) гО (гг)] + оег гО (гг) Используя приведенные выше неравенства, для производной Ъ' 201 получаем следующую оценку сверху: 1 < — /е/ +с411~х~ ~!1 ()е!+б1) — сз14~х1 ~/ = — — !е/ — — 14сз/х1 ~! — ( — — рс41,!х~ ~/) + 3 — 2 3 г г /1~~ г 4 4 (, 2 + ($4с41,ц,/х~ 1!) — 14сз ( — — ) + 14 — "б1.
2 сз ПОложив 11 = сз/(4с41~), ЛОлучим 2 2 4 8сЯ, ~ 2 4ся1„ С4 Исключив два отрицательных слагаемых (третий и четвертый), последнее неравенство можно представить в виде 2 Ъ" < — — (е! — —,з, (х~ ~! + —. С4 ~ Отсюда следует, что производная Г < О, когда ~е~ и ~хрб ~ принимают большие значения. Следовательно, переменные внутреннего состояния ограничены. В общем случае устойчивость нуль-динамики гарантирует только локальную устойчивость (устойчивость в малом) системы управления, синтезированной на основе линеаризации обратной связью по выходу. Задачи 1. Вычислить производные Ли 1-го и 2-го порядков функции Ь(х) по векторной функции 1(х), если Ь(х) и 1(х) имеют следующий вид: а) й(х) х1 + х21 1(х) (х2 х1 + х2) б) 6(х) = х1 + х1х2 + х2, К(х) = (х2 -~- х1 х1 — х',) в) л(х) = хг+хг+хг К(х) = (хг хз х1 — 2хг — х.з)т 2.
Вычислить скобки Ли 1-го и 2-го порядков функций и(х) и 1'(х), имеющих следующий вид: а) К(х) = (О 1)т 4'(х) = (х2 х )т; (О 2)т Е( ) (хг з;т1 в) й(х) = (1 0)т, Г(х) = (хг хг)т; г) Ц(х) = (О 0 1) , Г(х) = (хг + е "хз хз 0)т. 3. Показать линеаризуемость обратной связью по состоянию и определить соответствующие линеаризующие преобразования сле- 202 Га. 6. Линеаризаиин обратной еоноею х1 =х2+е хз, .'Г2 =хз, хз=и линеаризуема обратной связью по состоянию.
х1 =х2+е х2, х2=хз хз =и не линеаризуема обратной связью по состоянию. дуюпзих систем: а) Х1 = хг, хг = Х1 + и, б) 2 в) х1 = 22, хг = хгзг + 2и; л) х1 — — хг+и, хг = х,; е) г. 4. Показать,что система 5. Показать.что система хг=хз, хг=х,+2и; з г) Х1 = хг, хг = х1+ и; 2 :е1 = хг + и, хг = хзхз. г Глава 7 СИСТЕМЫ БОЛЬШОЙ РАЗМЕРНОСТИ. ВЕКТОРНАЯ ФУНКЦИЯ ЛЯН~'НОВА При рассмотрении систем управления большой размерности широко используются методы, сводящие исследование исходной системы к исследованию более простых моделей. Такими методами являются принцип (метод) сравнения, метод декомпозиции и др.
Метод сравнения состоит в том, что вместо исходной системы рассматривается более простая система, или модель сравнения. Система сравнения определяется следующим образом. Пусть задан некоторый показатель,7, который характеризует качество или устойчивость системы и который будем называть показателем сравнения. Этот показатель может быть числом или функцией.
Если 1„обозначает выбранный показатель исходной системы и,1, - показатель системы сравнения, то систему сравнения выбирают так, чтобы выполнялось условие 1„< 7 или 1„> 1 при любом 1 > Р (Г фиксированное число). Естественно, система сравнения тем лучше отражает свойство исходной системы по заданному показателю, чем меньше по абсолютной величине разность между показателями исходной системы и системы сравнения при собл|одении заданного выше неравенства. Однако главным критерием при выборе системы сравнения является ео простота, возможность ее исследования доступными средствами.
В качестве показателя сравнения можно принять показатель качества систем управления, в частности им может быть вромя регулирования. А. А. Фельдбаум для оценки времени регулирования использовал миноранту и мажоранту. Напомним, что для функции ~(~), если она удовлетворяет условию У (~) <У(~) <1,,Я И>~о, Я называется минорантой, ~мф -- мажорантой. Рассмотрим дифференциальное уравнение (~Ц (и — В аоу +аз у +...+а„у=О,. (7.1) 204 Гл.
7. Системгл большой раэмерносепи. у которого все корни характеристического уравнения являются действительными. Как показал А. А. Фельдбаум, для решения такого дифференциального уравнения при начальных условиях у(0) = уо, у(0) = 7и — Ц = О......, у (0) = 0 функция у,„(С) = уое "', где у степень устойчивости, является минорантой, а функция Узц(С) = Уое " [1+ — +...
+ — 67 Г ь7С (цС) 17 (п — Ц! мажорантой. Пользуясь указанными минорантой и мажорантой, можно получить нижнюю и верхнюю оценки для времени регулирования системы управления, которая описывается уравнением (7.1). 7.1. Дифференциальные неравенства (7.3) Показательство. Покажем от противного.
Попустим при некотором С' > Со выполняется неравенство о(С) >ю(С), или Ь (С') = о (С') — и~(С') > О. Так как функции о(С) и ю(С) непрерывны и в начальный момент вРемени Ь(Со) < О, то настУпит такой момент вРемени Сз Е [Со, С'), когда Ь(Сь) = О, и при Сз < С < С' Ь(С) > О. (7.6) Вычитая из неравенства (7.2) уравнение (7.4) и учитывая условие (7.3), на интервале Сз < С < С' получим о(С)-ю(С) < У(о,С) — У(ю,С) < ЕС1(С), Принцип сравнения основывается на дифференциальных неравенствах. В этом параграфе рассмотрим две теоремы, связанные с дифференциальными неравенствами.
Т е ар ем а 7.1. Если непрерывная и дифференцируемая функция о = о(С) подчиняется неравенстпву о(С) < С(о, С), (7.2) где 7" (о, С) удовлетворяет условию Лившица [Ж, С) — У(о", С)[ < Е[о' — о" [ (Ь -- константа), то решение ю(С) уравнения ю = 7(1о, С), (7.4) для которого в начальный моменеп вьтолняется условие о(Со) < < ю(Со), удовлетворяет неравенству о(С) ч и'(С) 'С > Со. (7.5) 7,1. ДиФференциальные неравенства 206 ' "' <7,Д(1). де Проинтегрировав последнее неравенство от 1з до 1, получим 1п Д(1)! < 7 (1 — 1 ), или Д(1) < Д(1,)еьО-"' = О, что противоречит неравенству (7.6).
Теорема доказана. Теорема 7.2. Пусть элементы матрицы А = (ао) (1, з = 1, 2,...,п) на главной диагонали произвольны, а вне главной диагонали неотрицательны: а,. > О, 1 ~ з (з, з = 1,2,...,п). (7. 7) Тогда если функция х = х(хо,1) (х(хо.О) = хо) удовлетворяет неравенству х<Ах, хЕП",. (7.8) то решение у = у(х, 1) уравнения у=Ау, уЕП", (7.9) пра начальном условии у(хв, 0) = хо подчиняется неравенству х(х,ь) < у(хв,1), 1 > О.
(7.10) Матрицы, у которых элементы вне главной диагонали неотри- цательны, т.е. удовлетворяют условию (7.7), детально изучались Л.А. Метцлером и называются М-матрицами 116). Показательство. Введем в рассмотрение уравнение х = Ах+ ~р(1), где ы(1) < 0 при 1 > О. Решения этого уравнения и уравнения (7.9) согласно формуле Коши имеют соответственно вид х(х,1) = е 'х + ~е О 'чр(т) дг, в у(х,1) =е х .
Лля доказатольства неравенства (7.10) достаточно показать, что ~елО ')р(т)с1т < 0 или что ел" > 0 при в = 1 — т > О, так о как ~р(Х) < О. Сначала покажем это для случая, когда в (7.7) выполняется стро- гое неравенство ам > О, ~, 'ф з (1, з = 1,2,...,п). (7.11) В соответствии с определением матричной экспоненты имеем е~'7~=7+А — + —,А ( — ') +... 206 Гл, 7. Системы большой размерности. 7.2. Экспоненциальная устойчивость. Теорема Красовского Пусть система описывается уравнением х = Х(х.,1), Х(0.,1) = 0 Ч1) 1о., х е В", (7.12) где правая часть является гладкой функцией: она непрерывно диффе- ренцирусма в области ~х~ < р, 0 < б < со (р = сопз1 или р = со), (7.13) частные производные дХ,/дя удовлетворяют условию дХ, < Е, ь', 7' = 1,2,...,и (Е = соыв1).
(7.14) ди, 1'ешение уравнения (7.12) при начальном условии х(1о) = хв, как обычно, будем обозначать х(х, ь): х(х, ьо) = х . Определение 7.1. Положение равновесия (или невозмущенное движение) х(1) = 0 системы (7.12) называется экспоненциально ус- ~иойчивьиа, если существуют положительные постоянные сь и М такие, что при ~хв~ < р/М возмущенное движение х(хо,1) удовлетво- ряет условию ~х(х,1)( ( М~х ~ е од ьь~ 'и'1 > е (7.15) Если условие (7.15) выполняется при любых начальных условиях, то положение равновесия системы (7.12) называется елобально экспо- ненциально устойчивым или экспонснциально устойчивым в целом. Если линейная стационарная система устойчива, то она экспонен- циально устойчива в целом.
Теорема 7.3 (теорема Красовского). Если положение равнове- сия системы (712) экспоненциально устойчиво, то суи1ествуют у1ункция Ляпунова 1'(х,1) и положительные постоянные, с, (1 = = 1,2,3,4) такие, что выполняются неравенства сз ~х~ ~( 1 (х 8) ~( сз ~х~ 1 (х, б) = 1о(х) 1) ~ (сз(х! ) (7.16а) (7.166) (7. 16в) дЪ'(х, ь) ( дх Если 1У достаточно велико, знаки элементов главной диагонали будут определятся первым членом разложения, т.е. единичной матрицей 1, а знаки остальных элементов вторым членом разложения. Следовательно, все элементы матрицы е~'~~ и соответственно матрицы ел' = (е~'Ря)~ будут положительны: ел' > О.
Так как матричная экспонента является нопрерывной функцией элементов матрицы А, то при замене условия (7.1Ц на условие (7.7) получим ел' > О, что и требовалось доказать. 7.е. Экспоненииальная успьоачивосгаь. Теорема Красовского 207 В случае экспоненциально устойчивой линейной стационарной или нестационарной системы существует квадратичная форма И(х) = = х Вх или 1'(х,г) = х В(1)х, удовлетворяющая условию теоремы Красовского. В случае экспоненциально устойчивой нелинейной системы соответствующая функция Ляпунова может быть неквадратичной формой. При доказательстве теоремы Красовского используются две леммы, которые сейчас рассмотрим.
Лемма 7.1. Решение х(хо,ь) уравнения (7.12) удовлетворяет, условию хо~ге гьеь еь~ < (х(хо Е)~ < ~хо(гезь(е еь) г > г где А постоянная, которая входит в (7.14). Показательство. По теореме о среднем значении Х;(х, ь) = /дХ, ~' ') хо где звездочка сбоку производной обозначает ее значение в де средней точке (хы ..., х; ь х",, хе,.ы ..., х„) (х,* Е (О,х;)). Поэтому имеем едХ,з* х;х, = х,Х;(х,г) = х;( ') х; (1 = 1,2,...,п). дх, Используя условие (7,14), получаем Суммируя это соотношение от 1 до и, получим и )х;х,! < Ь(х! .
ь=1 Используя это неравенство, находим о п — = )х х! = ез х,х, < ~ ~(хех;) < А(х! . ~=1 1=1 Это неравенство можем записать в виде — 2Ь)х)з « — 2Ь)х)з. Интегрируя это неравенство от го до с, получаем (7.17). Лемма 7.2. Решение. х(хо,Ц уравнения (7.12) удовлетворяет условию дх х с <Негмьр — еь~ г>г ь' у 1 2 и (718) дх где Х -- положительная постоянная. 208 Гм 7.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
